數(shù)學中的對稱性及其應用

周傳楷

【關鍵詞】數(shù)學 ?對稱性 ?解題

【中圖分類號】G64 ?【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2022）05-0181-03

數(shù)學當中的對稱現(xiàn)象較多，無論是圖形還是公式當中都具有一定的對稱性。利用對稱性解決數(shù)學問題可以豐富解題思路、減輕解題工作量，為此本文將對數(shù)學中的對稱性及其應用進行簡要分析。

1.對稱概述

對稱指的是某種意義下的平衡、對等[1]。從某種角度來看，對稱象征著協(xié)調(diào)、和諧。日常生活中的對稱現(xiàn)象有很多，如太陽、埃菲爾鐵塔等，具有較強的美感。數(shù)學本身就是研究客觀世界中空間形式與數(shù)量關系的學科，而客觀世界中有大量的對稱現(xiàn)象，所以對稱性也是數(shù)學研究的重點。在古希臘時期，人們就開始研究數(shù)學中的對稱性。例如，泰勒斯應用比例原理檢測了金字塔的高度。歐幾里得所著的《原本》描述了大量的對稱性命題，而赫爾曼·外爾在《對稱》一書當中描述了多種對稱形式，如旋轉(zhuǎn)對稱性、雙側(cè)對稱性、結(jié)晶對稱性等。我國對數(shù)學中的對稱性也有深入研究，例如《九章算術》中的“盈不足術”就分析了平面圖形與立體圖形的對稱性。

2.對稱性在初等數(shù)學中的表現(xiàn)形式與應用

從義務教育到高等教育，數(shù)學一直是重點學科。而對稱性在數(shù)學中也占據(jù)著重要地位，例如對稱性在初等數(shù)學中發(fā)揮著重要作用。對稱性與初等數(shù)學息息相關，無論是平面幾何還是立體幾何當中都包含大量的對稱性內(nèi)容，且代數(shù)知識當中也展現(xiàn)出了大量的對稱性。

2.1對稱性在初等數(shù)學中的表現(xiàn)形式

對稱性在初等數(shù)學中的表現(xiàn)主要體現(xiàn)在平面幾何、立體幾何以及公式、定理等方面。

（1）對稱性在平面幾何中的表現(xiàn)形式。

從平面幾何來看，軸對稱圖形、中心對稱圖形以及平移對稱圖形當中都蘊含了對稱性知識。第一，軸對稱圖形。軸對稱圖形指的是若沿著平面上的一條直線對一個平面圖形進行折疊，且圖形在直線兩邊的部分能夠完全重合，這一平面圖形就屬于軸對稱圖形，而平面上的這條直線就屬于對稱軸。從軸對稱的定義來看，對稱軸可以將圖形分為相等的兩部分，且在鏡面反射過程中也不會出現(xiàn)變化。常見的軸對稱圖形有等腰三角形、等邊三角形以及正方形等（如圖1所示）。第二，中心對稱圖形。初等數(shù)學中對中心對稱圖形的表述為“若將一個平面圖形繞著平面上某一個點旋轉(zhuǎn)180°后，旋轉(zhuǎn)后的圖形能與之前的圖形完全重合，這一圖形就屬于中心對稱圖形，這一點屬于對稱中心”[2]。常見的中心對稱圖形有橢圓形、拋物線以及雙曲線等。而中心對稱圖形與軸對稱圖形也有一定的關系，例如中心對稱圖形具有一個對稱中心點，而軸對稱圖形具有一條對稱軸;驗證中心對稱圖形需要將圖形圍繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180°，而驗證軸對稱圖形需要將圖形按照對稱軸反轉(zhuǎn)180°;在旋轉(zhuǎn)之后，中心對稱圖形的旋轉(zhuǎn)圖形會與原圖形重合，而軸對稱圖形的旋轉(zhuǎn)圖形會與另一圖形重疊。從這些方面來看，軸對稱圖形不一定是中心對稱圖形，如等腰三角形等只屬于軸對稱圖形，不屬于中心對稱圖形。而中心對稱圖形也不一定是軸對稱圖形，如平行四邊形屬于中心對稱圖形，但不屬于軸對稱圖形。也有很多圖形同屬于軸對稱圖形和中心對稱圖形，如橢圓、正方形等。第三，平移對稱圖形。平移對稱圖形指的是如果按照一個方向?qū)⒁粋€平面圖形平移一段距離，且平移后的圖形能與原圖形重合，該圖形就屬于平移對稱圖形。例如，正弦函數(shù)的圖像就屬于平移對稱圖形。

第一，面對稱圖形。在給定平面的反射情況下，若立體圖形能夠變?yōu)樵瓐D形，則該立體圖形屬于面對稱圖形。常見的面對稱圖形有正方體、正四面體等，其中正方體的對稱面有九個，而正四面體有六個對稱面。同時，球體、圓錐也屬于面對稱圖形，且都具有無數(shù)個對稱面。從某種角度來看，面對稱圖形與軸對稱圖形十分相似，所以可以將軸對稱圖形看作是特殊的面對稱圖形[3]。但是，面對稱圖形的對稱性更加復雜，需要深入研究。第二，旋轉(zhuǎn)對稱圖形。如果將一個立體圖形繞著某一條定直線旋轉(zhuǎn)任意角度，且旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原圖形重合，該圖形就屬于旋轉(zhuǎn)對稱圖形。例如，正四面體旋轉(zhuǎn)120°或240°都能與原圖形重合。

（3）對稱性在公式與定理中的表現(xiàn)形式。

第一，公式。公式對稱性指的是公式當中的運算符號具有可交換性，即使互換公式中的符號也不會影響公式作用的發(fā)揮。相比于幾何圖形的對稱性，公式的對稱性不太明顯，但是可以豐富公式的內(nèi)涵。例如，s=屬于海倫公式，具有計算三角形面積的作用[4]。在這一公式當中，a、b、c代表的是三角形三邊的周長，p指的是三角形周長的二分之一。任意更換a、b、c都不會改變公式的意義。且這一公式的對稱性屬于對稱輪換，受到了乘法結(jié)合律以及乘法交換律等因素的影響。第二，定理。大量的概念與定理當中也具有對稱性的特點，如乘法與除法、加法與減法、函數(shù)與反函數(shù)等。

2.2對稱性在初等數(shù)學中的應用

利用對稱性可有效解決各類數(shù)學問題。

第一，可以利用對稱性預測問題的結(jié)果。部分數(shù)學題目較難，應用對稱性可以預測問題的答案，之后再逐步驗證答案正確與否。

第三，利用對稱性進行題目的轉(zhuǎn)化。部分數(shù)學題目當中蘊含了對稱性知識，但是很難看出來，就需要分析其中的對稱性，并將復雜題目轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵晤}目。

第四，利用對稱性進行正確選擇。很多數(shù)學題目的解題方法都不止一種，但是為了提高解題效率需要選擇最簡便的解題方法。而利用對稱性就可以分析題目的簡單解題方法，從而提高解題質(zhì)量。

3.對稱性在高等數(shù)學中的表現(xiàn)形式與應用

對稱性在高等數(shù)學中也占據(jù)著重要地位，需要充分了解對稱性在高等數(shù)學中的表現(xiàn)形式與具體應用。

3.1對稱性在高等數(shù)學中的表現(xiàn)形式

微積分主要是由微分學與積分學共同構成的，其中微分學包括極限理論、微分、導數(shù)等內(nèi)容，而積分學包括定積分與不定積分等內(nèi)容。極限理論指的是若一個函數(shù)或數(shù)列無限接近于一個常數(shù)，這個常數(shù)就是這個函數(shù)或數(shù)列的極限;微分指的是對函數(shù)局部變化率的線性描述，可以描述當函數(shù)自變量的取值發(fā)生十分微小的變化時，函數(shù)的值發(fā)生的變化;導數(shù)即當自變量的增量無限接近于零時，因變量的增量與自變量的增量之商的極限[5]。而對稱性在微積分中發(fā)揮著重要作用，需要綜合分析其作用。

3.2對稱性在高等數(shù)學中的應用

對稱性在高等數(shù)學中的應用范圍十分廣泛。例如，對偶是常見的對稱性表現(xiàn)形式。從本質(zhì)上看，對偶屬于極性互反關系，主要包括序?qū)ε?、邏輯對偶以及射影空間對偶等類型。其中，序?qū)ε贾傅氖嵌P系中的≧，≦;邏輯對偶指的是存在與不存在之間的關系，某個與任意之間的關系;射影空間對偶指的是射影平面上的點與直線。射影定理指的是在直角三角形當中，斜邊上的高是兩個直角邊在斜邊上射影的比例中項，每一條直角邊都是這條直角邊在斜邊上的射影以及斜邊的比例中項。而對偶原理在射影空間中占據(jù)著重要地位，可以利用對偶原理分析射影定理問題，判斷命題的真假性。例如，若a、b、c、d屬于四個不同的平面，且a，b這兩個平面的交線和c，d這兩個平面的交線共面。判斷，a、b、c、d四個平面共點，且a，c這兩個平面的交線與b，d這兩個平面的交線也共面這一命題的真假。這一問題的難度相對較大，可以利用對偶原理解決問題，從而證明命題的真假。

4.結(jié)語

根據(jù)難度可以將數(shù)學分為初等數(shù)學與高等數(shù)學，而對稱性這一概念貫穿數(shù)學本身，在初等數(shù)學與高等數(shù)學中發(fā)揮著重要作用。在初等數(shù)學中，可以利用對稱性解決平面幾何與立體幾何等問題。在高等數(shù)學中，可以利用對稱性解決二重積分等問題。需高度重視對稱性在數(shù)學中的應用，并通過有效措施充分發(fā)揮對稱性的作用。

參考文獻：

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