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      依托數(shù)形結(jié)合 助推圖形測(cè)量

      2022-05-29 16:45:52金姻脂
      關(guān)鍵詞:問(wèn)題解決數(shù)形結(jié)合

      [摘? 要] “圖形的測(cè)量”是積累幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)空間思維的主要載體。在“圖形的測(cè)量”板塊教學(xué)時(shí),通過(guò)結(jié)合實(shí)例、動(dòng)手操作、溝通聯(lián)系,以形助數(shù)讓圖形度量更直觀;通過(guò)對(duì)比、梳理、反思,以數(shù)釋形讓圖形計(jì)算走向深刻;通過(guò)以形表思、以數(shù)輔形、數(shù)形互通,把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,抽象問(wèn)題直觀化,使知識(shí)的學(xué)習(xí)更加深刻明了。

      [關(guān)鍵詞] 數(shù)形結(jié)合;圖形度量;圖形計(jì)算;問(wèn)題解決

      數(shù)形結(jié)合思想是新課程標(biāo)準(zhǔn)體現(xiàn)的一項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)思想,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)至關(guān)重要。“圖形的測(cè)量”是小學(xué)數(shù)學(xué)教材中積累幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)空間觀念的主要載體。著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò):“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬(wàn)事休。”在“圖形的測(cè)量”的教學(xué)過(guò)程中,挖掘其中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想方法的內(nèi)容(圖1),能貫通學(xué)生心中數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系,幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),還能引導(dǎo)學(xué)生建立空間觀念,培養(yǎng)空間思維,提高問(wèn)題解決能力。

      一、以形助數(shù),助推圖形度量板塊

      加強(qiáng)對(duì)度量單位實(shí)際意義的理解,對(duì)“圖形的測(cè)量”板塊的教學(xué)起到?jīng)Q定性的作用。教學(xué)時(shí),教師應(yīng)讓學(xué)生明白為什么要統(tǒng)一度量單位,經(jīng)歷度量單位產(chǎn)生的過(guò)程,以及度量單位間的區(qū)別與聯(lián)系。要想準(zhǔn)確區(qū)分這些度量單位并正確運(yùn)用,教師應(yīng)嘗試以形助數(shù),讓“度量單位”變直觀,構(gòu)建完整的度量單位的知識(shí)網(wǎng),以便知識(shí)的靈活應(yīng)用(圖2)。

      (一)結(jié)合實(shí)例,在直觀中感知度量

      度量板塊教學(xué)時(shí),教師要著眼于度量表象的建立。讓學(xué)生親密接觸度量的對(duì)象,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)具體實(shí)例進(jìn)行觀察、比較等感知活動(dòng),給學(xué)生豐富感知的機(jī)會(huì)。

      例如“面積的認(rèn)識(shí)”,身邊哪些物體有面?讓每個(gè)學(xué)生都找一找,會(huì)發(fā)現(xiàn)面無(wú)處不在,桌子、凳子、練習(xí)本、文具盒等,這些物體都有面,面是長(zhǎng)在物體上的,這些物體如果畫下來(lái)就是一個(gè)平面圖形。再看一看、摸一摸這些面,會(huì)知道面是看得見、觸摸得到的。再比一比,會(huì)發(fā)現(xiàn)這些面有大有小,面的大小就是它們的面積。如此,學(xué)生對(duì)面的大小有了直觀的感知。

      “面積”的學(xué)習(xí),標(biāo)志著學(xué)生的認(rèn)知領(lǐng)域從一維空間延伸到二維區(qū)域,這是學(xué)生認(rèn)知系統(tǒng)一個(gè)質(zhì)的飛躍。通過(guò)摸一摸,直觀感知面是立體圖形的一部分,有曲面和平面之分;再通過(guò)比一比,認(rèn)識(shí)到面是有大小的。結(jié)合具體實(shí)例,理解面積的含義,對(duì)面積的進(jìn)一步學(xué)習(xí)有很好的促進(jìn)作用。

      (二)動(dòng)手操作,在實(shí)踐中體驗(yàn)度量

      度量知識(shí)的即時(shí)掌握并不重要,重要的是在獲取知識(shí)的過(guò)程中學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累。度量知識(shí)的真正掌握需要教師給學(xué)生提供動(dòng)手操作的機(jī)會(huì),讓學(xué)生經(jīng)歷用不同的方式進(jìn)行測(cè)量、感受、理解的過(guò)程。讓學(xué)生在操作中體驗(yàn),在體驗(yàn)中掌握。在反復(fù)操作中體驗(yàn)度量單位,加深對(duì)度量單位的理解,建立度量單位的概念,讓度量知識(shí)真正內(nèi)化。

      例如“面積單位的認(rèn)識(shí)”的教學(xué),讓學(xué)生找一找,找身邊的1平方厘米、1平方分米、1平方米的平面;比一比,用學(xué)具驗(yàn)證自己對(duì)這些面大小的估計(jì)是否準(zhǔn)確;量一量,用1平方厘米的小正方形度量橡皮的一個(gè)面;鋪一鋪,用1平方厘米的小正方形來(lái)密鋪1平方分米的正方形;站一站,在1平方米大小的正方形紙上站一站,看看能站幾個(gè)小朋友。再如容積單位“毫升的認(rèn)識(shí)”的教學(xué),可以這樣安排:讓學(xué)生猜一猜,1毫升的水大概有多少;量一量,用量筒量出1毫升水;數(shù)一數(shù),1毫升水有幾滴;玩一玩,把1毫升水倒在手心來(lái)感受;比一比,在杯子中倒入10毫升水,與1毫升水比一比。

      長(zhǎng)度單位、面積單位、體積單位等這些度量單位都是比較抽象的概念,所以教師在教學(xué)時(shí)更要提供多種實(shí)踐的機(jī)會(huì),設(shè)置豐富的體驗(yàn)活動(dòng)。在動(dòng)手操作的過(guò)程中,深度體驗(yàn)度量,讓學(xué)生在多維的體驗(yàn)活動(dòng)中建立度量單位的表象,形成對(duì)度量單位的建模。

      (三)加強(qiáng)聯(lián)系,在溝通中頓悟度量

      數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)要從知識(shí)間的聯(lián)系去思考問(wèn)題,度量的學(xué)習(xí)更不能孤立地進(jìn)行。不同度量單位間的進(jìn)率有差異,而且它們的教學(xué)零散地分布在不同的年級(jí),所以學(xué)生對(duì)度量單位的掌握也是碎片化的,這樣的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生造成很大困擾。因此,教師要從整體上進(jìn)行溝通聯(lián)系,構(gòu)建度量單位的知識(shí)網(wǎng),讓知識(shí)變得更直觀、更有序。

      例如在理解體積單位之后,可以進(jìn)行長(zhǎng)度、面積、體積單位之間的溝通整理教學(xué),讓學(xué)生用手分別比畫出1厘米、1平方厘米、1立方厘米的大小。在比畫的過(guò)程中,引導(dǎo)學(xué)生去感受:三者所表示的形狀不同,意義也不同,1厘米是一條線,只需從一個(gè)方向進(jìn)行比畫;1平方厘米是一個(gè)面,要比畫長(zhǎng)和寬兩個(gè)方向;而1立方厘米是一個(gè)體,要比畫長(zhǎng)寬高三個(gè)方向。然后復(fù)習(xí)長(zhǎng)度單位間、面積單位間、體積單位間的進(jìn)率,進(jìn)而發(fā)現(xiàn):兩個(gè)面積單位間的進(jìn)率就等于相對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度單位間進(jìn)率的平方,兩個(gè)體積單位的進(jìn)率就等于相對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度單位間進(jìn)率的立方。

      數(shù)學(xué)知識(shí)是層層深入、不斷推進(jìn)的過(guò)程,度量教學(xué)借助形來(lái)描述度量單位,找到它們的聯(lián)系與區(qū)別。從一維到二維再到三維,讓度量由線及面,面動(dòng)成體,由體成系,在溝通中理解度量,掌握各度量單位之間的進(jìn)率,能獲得理想的教學(xué)效果。

      二、以數(shù)釋形,助推圖形計(jì)算板塊

      圖形具有形象直觀的優(yōu)點(diǎn),所以不管是立體圖形的表面積和體積的計(jì)算,還是平面圖形的周長(zhǎng)和面積的學(xué)習(xí),在初學(xué)時(shí)都會(huì)給學(xué)生一種假象,讓他們覺得這些知識(shí)很簡(jiǎn)單,易學(xué),但等到知識(shí)一綜合,就會(huì)發(fā)現(xiàn)情況不妙了,周長(zhǎng)與面積混淆了,表面積跟體積的內(nèi)容又沒那么清晰了。光靠直觀的表象不能很好地解釋圖形里面蘊(yùn)藏的本質(zhì),很難讓知識(shí)深刻。因此,教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察各圖形的特點(diǎn),溝通圖形之間的聯(lián)系,發(fā)掘里面的隱含信息,從“形”中抽象出“數(shù)”,以數(shù)釋形,讓直觀走向深刻(圖3)。這樣才能真正理解圖形計(jì)算,明白圖形計(jì)算的本質(zhì),讓圖形的計(jì)算落地生根。

      (一)在對(duì)比中明理,讓算理更清晰

      在圖形計(jì)算的教學(xué)中,不能讓學(xué)生直接進(jìn)行計(jì)算公式的死記硬背。知識(shí)的混淆,究其原因,都是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)概念的本質(zhì)、方法的本質(zhì)理解不清晰、不深刻。應(yīng)加強(qiáng)對(duì)比教學(xué),凸顯其本質(zhì)特征。平面圖形之間、立體圖形之間都不是孤立存在的,這些知識(shí)相互關(guān)聯(lián),有聯(lián)系又有區(qū)別。需要教師創(chuàng)設(shè)條件,組織學(xué)生在觀察中找到聯(lián)系,在不斷地對(duì)比中,總結(jié)方法,構(gòu)建知識(shí)框架,梳理出知識(shí)脈絡(luò)。

      “平行四邊形的面積”的教學(xué),都是把“新知”平行四邊形轉(zhuǎn)化成“舊知”長(zhǎng)方形(如圖4),左邊圖形是把平行四邊形“推拉”成長(zhǎng)方形,右邊圖形是把平行四邊形“割補(bǔ)”成長(zhǎng)方形,為什么一個(gè)不可以計(jì)算出平行四邊形的面積,一個(gè)卻可以?“推拉”“割補(bǔ)”后的圖形與原來(lái)的比較,什么沒變,什么變了?“推拉”之后,周長(zhǎng)不變,面積變了,所以平行四邊形的周長(zhǎng)=長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=(鄰邊+底)×2;“割補(bǔ)”之后,面積不變,周長(zhǎng)變了,所以平行四邊形的面積=長(zhǎng)方形的面積=底×高。

      平面圖形、立體圖形相互之間都是有著內(nèi)在聯(lián)系的,所以需要找到其中的連接點(diǎn),不斷地對(duì)比學(xué)習(xí)。包括新知與舊知的對(duì)比學(xué)習(xí),易錯(cuò)點(diǎn)的對(duì)比學(xué)習(xí),在對(duì)比學(xué)習(xí)中清晰概念,理解計(jì)算。

      (二)在梳理中構(gòu)建,讓方法聯(lián)成網(wǎng)

      圖形計(jì)算的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)分散在各個(gè)年級(jí)、各章節(jié)的教材中。教學(xué)時(shí),教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖形的特征進(jìn)行觀察探究,讓學(xué)生感受圖形之間的聯(lián)系和區(qū)別,并經(jīng)歷推導(dǎo)轉(zhuǎn)化的過(guò)程。以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)圖形計(jì)算方法形成深刻體驗(yàn),在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行計(jì)算方法的梳理、歸納、總結(jié)。還要貫通知識(shí)的前后聯(lián)系,注重知識(shí)之間的內(nèi)在關(guān)系,溝通它們之間的區(qū)別與聯(lián)系,完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在形的學(xué)習(xí)中抽象出數(shù)的規(guī)律,以數(shù)釋形。

      從學(xué)生獨(dú)立整理的作品反饋中(圖5為其中之一),可以看出學(xué)生能對(duì)這些在不同時(shí)間段學(xué)習(xí)的平面圖形知識(shí)有序梳理,并進(jìn)行溝通、聯(lián)系。由此可見平面圖形、立體圖形的學(xué)習(xí),都需要通過(guò)一條主線將各知識(shí)點(diǎn)串起來(lái),使之“豎成線”“橫成片”,形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系,構(gòu)成完整的知識(shí)體系。

      (三)在反思中內(nèi)化,讓能力得升華

      波利亞曾說(shuō):?jiǎn)栴}的解決只是數(shù)學(xué)研究工作的一半,更重要的是解題后的反思與回顧。任何知識(shí)都需要一個(gè)內(nèi)化的過(guò)程,通過(guò)反思,能夠更深層次地理解知識(shí),在不斷地反思中對(duì)圖形重新認(rèn)識(shí)和理解,從而探尋出圖形計(jì)算的本質(zhì)。

      例如梯形面積的計(jì)算的教學(xué),有了三角形面積計(jì)算的基礎(chǔ),可讓學(xué)生將兩個(gè)完全一樣的梯形拼成一個(gè)大平行四邊形,再把大平行四邊形的面積除以2就是其中一個(gè)梯形的面積,所以梯形的面積=大平行四邊形的面積÷2=(上底+下底)×高÷2。公式的得到可以說(shuō)是水到渠成,可在解決問(wèn)題時(shí),經(jīng)常會(huì)有學(xué)生忘記除以2,所以在得出結(jié)論后,教師還要追問(wèn),以引發(fā)學(xué)生反思:“為什么要除以2?”“(上底+下底)×高計(jì)算的是什么?”“先算出上底加下底的和又是為什么?”在不斷追問(wèn)中,回顧和思考剛才的學(xué)習(xí)過(guò)程,讓梯形面積的計(jì)算方法在反思中鞏固。有了這樣的討論和理解,后面當(dāng)已知梯形的面積,計(jì)算梯形的高或上下底時(shí),都要用梯形的面積先乘2,學(xué)生也能很快反應(yīng)出“梯形面積乘2”這是算大平行四邊形的面積,再用這個(gè)面積除以底等于高,除以高等于底。有了這樣的經(jīng)驗(yàn)六年級(jí)學(xué)習(xí)圓錐的體積、計(jì)算圓錐的高,也就有基本的思維模式了。

      任何學(xué)習(xí)都需要不斷回顧與反思,圖形的學(xué)習(xí)更甚,反思有助于圖形與算式的溝通,對(duì)圖形的理解更加深刻。反思更是為后面的學(xué)習(xí)提供更多的思維方式,有了這樣的思考習(xí)慣,圖形的學(xué)習(xí)會(huì)變得更加深刻。

      三、數(shù)形互譯,助推解決問(wèn)題板塊

      數(shù)形結(jié)合思想是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)解決問(wèn)題的思想方法,通過(guò)數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化,把數(shù)與形統(tǒng)一起來(lái)。數(shù)形結(jié)合能使許多數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單、直觀。數(shù)形互譯能使“圖形的測(cè)量”板塊的教學(xué)問(wèn)題解決變得簡(jiǎn)單有趣,從而吸引學(xué)生主動(dòng)參與解決問(wèn)題的過(guò)程。

      (一)以形表思,讓抽象問(wèn)題直觀化

      笛卡爾曾說(shuō):“沒有任何東西比幾何圖形更容易印入腦際了。因此,用這種方式來(lái)表達(dá)事物是非常有益的?!睂?duì)于純文字的題目,借用圖形將關(guān)鍵信息表達(dá)出來(lái),有助于更加有效地思考問(wèn)題、分析問(wèn)題,尋求解決問(wèn)題的方法。

      例如:一個(gè)圓柱的高是10厘米,如果高減少3厘米,那么表面積比原來(lái)減少94.2平方厘米。原來(lái)圓柱的表面積是多少平方厘米?教師講解時(shí)通過(guò)畫圖(圖6),學(xué)生很容易明白:94.2平方厘米就是減少部分的側(cè)面積。所以底面周長(zhǎng)為94.2÷3=31.4(厘米),底面半徑為31.4÷3.14÷2=5(厘米),表面積為31.4×10+3.14×5×5×2=471(平方厘米)。再如推導(dǎo)圓柱體積公式時(shí),教師把圓柱切拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體,切拼前和切拼后,體積不變。那表面積呢?增加了,增加了多少?通過(guò)圖形的幫助(圖7),學(xué)生就能發(fā)現(xiàn)增加的部分是兩個(gè)底面半徑乘高,也就是2rh。這樣把文字信息轉(zhuǎn)化成圖形的形式,可以讓思考有了拐杖,有了具體的表象,以形表思,讓解題思路一目了然,讓抽象問(wèn)題直觀化。

      (二)以數(shù)輔形,讓幾何問(wèn)題代數(shù)化

      圖形的知識(shí)可以通過(guò)數(shù)和計(jì)算幫助理解,還可以由算式探究圖形蘊(yùn)含的規(guī)律,增進(jìn)學(xué)生對(duì)圖形的理解。在教學(xué)中,通過(guò)觀察、找規(guī)律、歸納等方法,可以尋找出解決問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系式,使幾何問(wèn)題代數(shù)化。以數(shù)輔形,用代數(shù)的方法使問(wèn)題能更順利地得到解決。

      例如計(jì)算多邊形的內(nèi)角和,可從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)畫對(duì)角線把多邊形分成若干個(gè)三角形,分成了幾個(gè)三角形,就是幾個(gè)180°,由此可以求出多邊形的內(nèi)角和。再通過(guò)畫圖,找到其中的規(guī)律,學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)三角形個(gè)數(shù)跟邊數(shù)之間是有關(guān)系的,多邊形內(nèi)角和=(多邊形的邊數(shù)-2)×180°,為問(wèn)題的解答找到了更簡(jiǎn)便的方法。如圖8,已知正方形OABC的面積是10平方厘米,求圓的面積。按常規(guī)思路,求圓的面積,我們需要知道圓的半徑??墒莾H從小學(xué)的知識(shí)儲(chǔ)備,不能算出半徑的長(zhǎng)度。但已知正方形的面積是10平方厘米,從圖可以看出正方形的邊OA、OC都是圓的半徑,所以半徑的平方就等于10平方厘米。圓的面積等于半徑的平方乘圓周率,也就不需要算半徑是多少,圓的面積就等于10×3.14=31.4平方厘米。

      可見根據(jù)已知的圖形信息和圖形本身的特點(diǎn),尋找其中的關(guān)聯(lián),將圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)換為代數(shù)問(wèn)題,實(shí)現(xiàn)由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化,讓問(wèn)題解決更加快捷、準(zhǔn)確。

      (三)數(shù)形互通,讓方法技能靈動(dòng)化

      數(shù)形結(jié)合能使隱藏的數(shù)量關(guān)系變得直觀,能將淺顯的圖形問(wèn)題變得深刻,在解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)不斷嘗試,學(xué)會(huì)將數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形語(yǔ)言進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

      如圖9,密閉容器中的水,若倒過(guò)來(lái),水面的高度是多少?從圖中,可以知道現(xiàn)在水的高度是23厘米,由等底的圓柱和圓錐組成,其中圓錐的高為18厘米,所以計(jì)算得出圓柱的高為23-18=5(厘米)。若倒過(guò)來(lái),那么圓柱部分形狀不變,可是圓錐部分將變成一個(gè)跟現(xiàn)在等底的圓柱。因?yàn)榈鹊椎润w積的圓柱與圓錐,它們的高是3倍的關(guān)系,所以新圓柱的高為18÷3=6(厘米),所以水的高度為5+6=11(厘米)。

      數(shù)形結(jié)合能使數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系變得直觀,使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,抽象問(wèn)題具體化,因此,在問(wèn)題解決教學(xué)中,應(yīng)使學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢(shì),并培養(yǎng)他們數(shù)形結(jié)合的思想,提升他們解決問(wèn)題的能力。

      綜上所述,在“圖形的測(cè)量”板塊教學(xué)時(shí),通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想,在數(shù)與形之間搭建腳手架,讓數(shù)形結(jié)合成為“圖形的測(cè)量”教學(xué)的助推器。幫助學(xué)生準(zhǔn)確理解圖形的本質(zhì),積極探討數(shù)與形之間的數(shù)學(xué)聯(lián)系,讓數(shù)直觀,讓形入微。教師需要不斷提高自身的素養(yǎng),研究相關(guān)的理論,做教學(xué)的有心人,挖掘數(shù)形結(jié)合點(diǎn),設(shè)計(jì)科學(xué)有效的教學(xué)活動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生建立空間思維,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

      作者簡(jiǎn)介:金姻脂(1983—),本科學(xué)歷,一級(jí)教師,溫嶺市名師,從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作。

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