劉鐵智 呂增鋒

【摘 要】從知識(shí)點(diǎn)教學(xué)走向?qū)W科大概念教學(xué)是解決數(shù)學(xué)原理課“沒(méi)什么好教”的有效途徑。大概念引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)原理課教學(xué)策略是：首先，立足“是什么”的大概念，解讀數(shù)學(xué)原理的育人功能；其次，立足“如何學(xué)”的大概念，構(gòu)建宏大的數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)場(chǎng)景；最后，立足“學(xué)得怎么樣”的大概念，在遷移應(yīng)用中獲得數(shù)學(xué)原理。

【關(guān)鍵詞】大概念；計(jì)數(shù)原理；數(shù)學(xué)原理教學(xué)；數(shù)學(xué)育人

根據(jù)教學(xué)內(nèi)容把數(shù)學(xué)課堂教學(xué)進(jìn)行分類，一般可以分為概念課、習(xí)題課、公式課、定理課、原理課等課型。相對(duì)于其他課型，純粹的數(shù)學(xué)原理課比較少，在高中數(shù)學(xué)中只有兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理、立體幾何的三個(gè)基本事實(shí)、充要條件等。此外，數(shù)學(xué)原理課內(nèi)容往往比較簡(jiǎn)單，就拿兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理來(lái)說(shuō)，就是小學(xué)階段加法運(yùn)算與乘法運(yùn)算的簡(jiǎn)單推廣，學(xué)生在理解上不會(huì)有太大難度，這也無(wú)形中讓教師產(chǎn)生“沒(méi)什么好教”的錯(cuò)覺(jué)。因此，在數(shù)學(xué)原理課教學(xué)中，原理建構(gòu)通常都被一帶而過(guò)，很多教師都把重心放在原理的應(yīng)用上，通過(guò)大量的例題與習(xí)題進(jìn)行鞏固提升，硬生生地把原理課上成了習(xí)題課，數(shù)學(xué)原理課應(yīng)有的育人功能無(wú)法得到充分發(fā)揮。因此，筆者建議教師應(yīng)從數(shù)學(xué)育人的角度重新審視數(shù)學(xué)原理課的教學(xué)策略。

一、大概念及大概念教學(xué)的內(nèi)涵

大概念指的是反映專家思維方式的概念、觀念或論題，它具有生活價(jià)值［1］，是居于學(xué)科基本結(jié)構(gòu)的核心概念或若干居于課程核心位置的抽象概念整合相關(guān)知識(shí)、原理、技能、活動(dòng)等課程內(nèi)容要素，形成有關(guān)聯(lián)的課程內(nèi)容組塊［2］。大概念的“大”不是指“龐大”，因此，不能以所包含的知識(shí)范圍的大小來(lái)判斷一個(gè)概念是否是大概念。這里的“大”指的是“核心”“高位”或“上位”，即學(xué)科領(lǐng)域中最精華、最有價(jià)值的核心內(nèi)容，是力圖對(duì)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)進(jìn)行集成與融合的概念，具有較強(qiáng)的遷移價(jià)值。比如，函數(shù)是刻畫客觀世界變化規(guī)律的重要模型；平面向量是溝通代數(shù)、三角、幾何的橋梁；解析幾何的核心是用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題；等等。這些都可以稱為數(shù)學(xué)中的大概念。大概念能夠解釋較大范圍內(nèi)的一系列相關(guān)現(xiàn)象、事實(shí)以及相互關(guān)系；能將較大范圍內(nèi)分散的知識(shí)和事實(shí)聯(lián)結(jié)為有結(jié)構(gòu)、有系統(tǒng)的整體；能作為一種解釋模型，賦予個(gè)別的、具體的事實(shí)以深層的意義。按照大概念的教學(xué)功能來(lái)分，可以被分為指向“學(xué)什么”“如何學(xué)”“學(xué)得怎么樣”的大概念。當(dāng)然這些指向有的是明指，有的是暗指，比如，幾何學(xué)是認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界的基石明指幾何學(xué)是基石，暗指幾何學(xué)在數(shù)學(xué)中的基石作用；又比如，用空間角來(lái)刻畫垂直關(guān)系明指空間角的重要作用，暗指證明垂直需要找到相應(yīng)的空間角。

大概念教學(xué)則是以大概念為錨點(diǎn)組織教學(xué)的一種方式，其一般操作步驟如下。首先，用大概念統(tǒng)攝與組織教學(xué)內(nèi)容，能夠使離散的事實(shí)、技能相互聯(lián)系、結(jié)構(gòu)化，并被賦予一定意義。其次，大概念教學(xué)強(qiáng)調(diào)引導(dǎo)學(xué)生超越對(duì)知識(shí)和技能的學(xué)習(xí)，走向那些超越時(shí)空和情境所存在的、可遷移的觀點(diǎn)和思想［3］，從而促使深度學(xué)習(xí)的發(fā)生。最后，大概念教學(xué)有明晰的學(xué)習(xí)目標(biāo)，有效的表現(xiàn)性任務(wù)，有利于學(xué)生自主、合作、探究學(xué)習(xí)，完成學(xué)習(xí)成果。在大概念教學(xué)中，教師要成為學(xué)科教學(xué)的專家，不僅要知道教什么，還要知道為什么而教；不僅要理解學(xué)生，也要理解設(shè)計(jì)，包括單元設(shè)計(jì)、活動(dòng)設(shè)計(jì)、問(wèn)題設(shè)計(jì)等，用自己豐富的專業(yè)知識(shí)引領(lǐng)學(xué)生像專家那樣思考，使學(xué)生也成為學(xué)習(xí)的專家。大概念教學(xué)結(jié)構(gòu)、聯(lián)系、遷移的基本特征，使其可以直指數(shù)學(xué)原理的中樞，不僅可以讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)原理，而且有助于在原理教學(xué)中實(shí)現(xiàn)由知識(shí)教學(xué)向素養(yǎng)培育的跨越。下面筆者以“兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理”為例，談?wù)劥蟾拍钜I(lǐng)下的數(shù)學(xué)原理課教學(xué)。

二、大概念引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)原理課教學(xué)

（一）立足“是什么”的大概念，解讀數(shù)學(xué)原理的育人功能

眾所周知，對(duì)教學(xué)內(nèi)容的解讀是教學(xué)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，解讀是否到位，不僅關(guān)系到能否真正發(fā)揮教材的作用，還會(huì)直接影響到課堂教學(xué)的質(zhì)量。不同于一般的教學(xué)內(nèi)容，數(shù)學(xué)原理往往具有內(nèi)容的基礎(chǔ)性和運(yùn)用的無(wú)意識(shí)性并存的特點(diǎn)，即數(shù)學(xué)原理本身簡(jiǎn)單，學(xué)生平時(shí)也在運(yùn)用，但這種運(yùn)用是一種無(wú)意識(shí)的運(yùn)用，學(xué)生不會(huì)把這種運(yùn)用上升到數(shù)學(xué)原理的高度去理解。因此，在對(duì)數(shù)學(xué)原理的解讀中，不要局限于對(duì)零碎知識(shí)點(diǎn)的剖析，而是要立足“是什么”的大概念的前提下，在關(guān)注“四基”“四能”的同時(shí)，著重分析其潛在的育人功能，以育人功能來(lái)統(tǒng)領(lǐng)知識(shí)與方法，從而喚醒學(xué)生主動(dòng)提煉數(shù)學(xué)原理、運(yùn)用數(shù)學(xué)原理的意識(shí)。

常用的指向“是什么”的大概念有“數(shù)學(xué)是模型”“數(shù)學(xué)是工具”“數(shù)學(xué)是運(yùn)算”“數(shù)學(xué)是推理”等。“兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理”是為“計(jì)數(shù)”服務(wù)的，分類計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題是將一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題分解為若干類別，然后分類解決，各個(gè)擊破；分步計(jì)數(shù)原理是將一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題的解決過(guò)程分解為若干步驟，先對(duì)每個(gè)步驟進(jìn)行細(xì)致分析，再整合為一個(gè)完整的過(guò)程。由此，可以得到計(jì)數(shù)原理“是什么”的大概念，即計(jì)數(shù)原理是實(shí)現(xiàn)科學(xué)計(jì)數(shù)的方法與策略。于是，在這個(gè)大概念的引領(lǐng)下再對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行解讀的話，本節(jié)課的核心內(nèi)容及育人功能就很清晰，即“一個(gè)中心”“兩個(gè)原理”“三個(gè)關(guān)鍵”“四個(gè)素養(yǎng)”，如圖1，其中“四個(gè)素養(yǎng)”指的是育人功能。

圍繞“是什么”的大概念來(lái)進(jìn)行教學(xué)分析，不僅可以明確數(shù)學(xué)原理的本質(zhì)，而且還能解決數(shù)學(xué)原理解讀中存在的邏輯混亂、顧此失彼、視角單一等一系列問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)教學(xué)分析完整化、系統(tǒng)化。

（二）立足“如何學(xué)”的大概念，構(gòu)建宏大的數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)場(chǎng)景

不可否認(rèn)，數(shù)學(xué)原理本身往往比較簡(jiǎn)單，內(nèi)容也比較單薄，但這并不意味著數(shù)學(xué)原理的教學(xué)就可以不用遵循意義建構(gòu)的方法與原則，其教學(xué)過(guò)程就可以簡(jiǎn)化為教師呈現(xiàn)原理，學(xué)生記憶原理與運(yùn)用原理。事實(shí)上，數(shù)學(xué)原理的形成都需要經(jīng)歷從具體到抽象的過(guò)程，要讓學(xué)生真正了解原理的來(lái)龍去脈，必須要依托數(shù)學(xué)大概念，因?yàn)閿?shù)學(xué)大概念本身就是對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)、核心素養(yǎng)、教學(xué)重難點(diǎn)、評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)等深度提煉的結(jié)果，其所展現(xiàn)出來(lái)的“如何學(xué)”的內(nèi)涵可以有效調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在驅(qū)動(dòng)力。

常用的指向“如何學(xué)”的大概念有“數(shù)學(xué)重在理解”“用聯(lián)系的觀點(diǎn)看數(shù)學(xué)”“數(shù)學(xué)要關(guān)注應(yīng)用”“數(shù)學(xué)要凸顯文化價(jià)值”等。計(jì)數(shù)問(wèn)題不僅與生活息息相關(guān)，而且歷史悠久。早在數(shù)字出現(xiàn)之前，古人就開(kāi)始結(jié)繩計(jì)數(shù)，其原理是把繩結(jié)與要計(jì)數(shù)的對(duì)象對(duì)應(yīng)起來(lái)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的映射思想；隨著數(shù)字的發(fā)明，古希臘的數(shù)學(xué)家開(kāi)始構(gòu)形計(jì)數(shù)，用鵝卵石把數(shù)字按照一定形狀排列出來(lái)，就形成了所謂的形數(shù)，比如三角形數(shù)、四邊形數(shù)、五邊形數(shù)等，再通過(guò)圖形的幾何特征來(lái)計(jì)數(shù)，我國(guó)古代的垛積數(shù)采用的也是相同的方法；隨著運(yùn)算的發(fā)展就進(jìn)入了算法計(jì)數(shù)的時(shí)代，各種算法的出現(xiàn)加快了計(jì)數(shù)的效率。由此可見(jiàn)，盡管兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理只是加法運(yùn)算與乘法運(yùn)算的推廣，但其背后蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)文化。因此，計(jì)數(shù)是一種文化應(yīng)該成為如何學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的大概念。在這個(gè)大概念的引領(lǐng)下，就可以構(gòu)建生成“兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理”的三大學(xué)習(xí)場(chǎng)景，即生活中的計(jì)數(shù)、計(jì)數(shù)的歷史、計(jì)數(shù)的原理（如圖2所示），從而使本節(jié)課的學(xué)習(xí)成為一場(chǎng)數(shù)學(xué)文化的盛宴。

在“生活中的計(jì)數(shù)”場(chǎng)景中，教師可以設(shè)計(jì)以下問(wèn)題引發(fā)學(xué)生對(duì)于生活中“計(jì)數(shù)”需求的思考。

問(wèn)題1-1 我國(guó)民用汽車號(hào)牌的編號(hào)由兩部分組成。第一部分為用漢字表示的省、自治區(qū)、直轄市簡(jiǎn)稱和用英文字表示的發(fā)牌機(jī)關(guān)代號(hào)。第二部分為由阿拉伯?dāng)?shù)字和英文字母組成的序號(hào)，其中，序號(hào)的編碼規(guī)則為：

（1）由10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字和除0之外的24個(gè)英文字母組成；

（2）最多只能有2個(gè)英文字母。

如果某地級(jí)市發(fā)牌機(jī)關(guān)采用5位序號(hào)編碼，那么這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放多少?gòu)埰囂?hào)牌？

問(wèn)題1-2 某運(yùn)動(dòng)會(huì)上，8名男運(yùn)動(dòng)員參加100米決賽，其中甲、乙、丙三人必須在1，2，3，4，5，6，7，8八條跑道的奇數(shù)號(hào)跑道上，則安排這8名運(yùn)動(dòng)員比賽的方式共有? ?種。

問(wèn)題1-3 用0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字，

（1）可以排成多少個(gè)三位數(shù)字的電話號(hào)碼？

（2）可以排成多少個(gè)三位數(shù)？

（3）可以排成多少個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

問(wèn)題1-4 如果數(shù)量很少，可以一個(gè)一個(gè)的數(shù)；如果數(shù)量很多，還能一個(gè)一個(gè)地去數(shù)嗎？

在“計(jì)數(shù)的歷史”場(chǎng)景中，通過(guò)介紹繩結(jié)計(jì)數(shù)、構(gòu)形計(jì)數(shù)、算法計(jì)數(shù)三種計(jì)數(shù)方法來(lái)呈現(xiàn)計(jì)數(shù)的歷史脈絡(luò)。其中，繩結(jié)計(jì)數(shù)是人類最原始、最簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)方法，對(duì)應(yīng)的計(jì)數(shù)原理就是逐個(gè)數(shù)，特點(diǎn)是操作簡(jiǎn)單，但效率低；構(gòu)形計(jì)數(shù)指的是通過(guò)把數(shù)字按照一定的規(guī)律排列成幾何圖形，再利用圖形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)數(shù)，古希臘的“形數(shù)”和我國(guó)古代的“垛積術(shù)”均屬于這類計(jì)數(shù)的范疇，其特點(diǎn)是化數(shù)為形，巧妙構(gòu)造；算法計(jì)數(shù)借助比較成熟的運(yùn)算法則與技巧進(jìn)行計(jì)數(shù)，程序化、高效化是其最顯著的優(yōu)點(diǎn)，尤其進(jìn)入信息時(shí)代，算法計(jì)數(shù)成為發(fā)展趨勢(shì)，而本節(jié)課的兩個(gè)原理正是算法計(jì)數(shù)的理論基礎(chǔ)。

在“計(jì)數(shù)的原理”場(chǎng)景中，讓學(xué)生經(jīng)歷原理的形成、原理的比較、原理的推廣、原理的應(yīng)用的完整過(guò)程，在豐富的生活情境中，逐步領(lǐng)會(huì)分類標(biāo)準(zhǔn)不重不漏、分步標(biāo)準(zhǔn)步驟完整的計(jì)數(shù)精髓。

（三）立足“學(xué)得怎么樣”的大概念，在遷移應(yīng)用中獲得數(shù)學(xué)原理

數(shù)學(xué)原理往往是在運(yùn)用中被感知與發(fā)現(xiàn)的，兩個(gè)計(jì)數(shù)原理其實(shí)就是人們?cè)诮鉀Q計(jì)數(shù)問(wèn)題中的經(jīng)驗(yàn)與方法的總結(jié)，而且遷移應(yīng)用也是衡量“理解”的一個(gè)重要指標(biāo)，即把所學(xué)的知識(shí)遷移到新的環(huán)境和挑戰(zhàn)中，而不僅僅是知識(shí)的回憶和再現(xiàn)。深入的理解是獲得數(shù)學(xué)原理的前提，為了加速這個(gè)過(guò)程，教師應(yīng)圍繞“學(xué)得怎么樣”大概念設(shè)計(jì)相關(guān)的啟發(fā)性問(wèn)題，比如，“是否可以利用大概念來(lái)解釋問(wèn)題”“是否需要對(duì)大概念做進(jìn)一步完善”“能否運(yùn)用大概念進(jìn)行創(chuàng)造性活動(dòng)”等［4］，從而使學(xué)生在經(jīng)歷從具體到抽象的歸納，再?gòu)某橄蟮骄唧w的演繹過(guò)程中實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)原理的自然建構(gòu)。

常用的指向“學(xué)得怎么樣”的大概念既包括“四基”“四能”“三會(huì)”，還包括學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所具備的思維品質(zhì)，比如，敢于質(zhì)疑、善于思考、實(shí)事求是的精神。例如，為了區(qū)分兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的異同，可以圍繞“三會(huì)”這個(gè)大概念設(shè)計(jì)形同質(zhì)異的問(wèn)題。

問(wèn)題2-1 如果用一個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字來(lái)給座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼？

問(wèn)題2-2 某班級(jí)有男生30名，女生24名，現(xiàn)從中任選1名男生或女生代表班級(jí)參加比賽，共有多少種不同的選法？

問(wèn)題3-1 如果要求座位編號(hào)是兩位編碼，第一位是英文字母，第二位是阿拉伯?dāng)?shù)字，共能編出多少種不同的座位編號(hào)？

問(wèn)題3-2 某班級(jí)有男生30名，女生24名，現(xiàn)從中任選男生和女生各1名代表班級(jí)參加比賽，共有多少種不同的選法？

通過(guò)比較分析兩組問(wèn)題的“異”與“同”，不僅可以讓學(xué)生體會(huì)到現(xiàn)實(shí)計(jì)數(shù)中“差之毫厘謬以千里”的客觀事實(shí)，幫助學(xué)生樹(shù)立仔細(xì)審題的意識(shí)，而且有助于揭示計(jì)數(shù)原理中“分類”“分步”兩個(gè)本質(zhì)屬性。

例如，為了構(gòu)建原理應(yīng)用的路徑，教師可以圍繞“四能”這個(gè)大概念設(shè)計(jì)能夠引發(fā)學(xué)生思考的表格（見(jiàn)表1）。

計(jì)數(shù)原理指向的是解決問(wèn)題的策略與方法，表1為計(jì)數(shù)提供了一般的路徑，實(shí)現(xiàn)了計(jì)數(shù)問(wèn)題的算法化，尤其是學(xué)生一開(kāi)始對(duì)于計(jì)數(shù)問(wèn)題不熟悉的時(shí)候，這張表格可以為學(xué)生提供思維指引，可以有效避免計(jì)數(shù)的重復(fù)與遺漏。

教學(xué)是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)工程，每個(gè)學(xué)期、每個(gè)單元、每節(jié)課既有各自目標(biāo)，又相互影響、相互制約，它們之間構(gòu)成一個(gè)有機(jī)整體。在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，教師須持有這種整體的理念來(lái)規(guī)劃教學(xué)［5］。大概念引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)原理教學(xué)，可以將數(shù)學(xué)原理的本身、原理育人的功能、原理的構(gòu)建等都納入數(shù)學(xué)教學(xué)的大系統(tǒng)中去考量，從而促使知識(shí)體系結(jié)構(gòu)化、整體化，有助于發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

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（責(zé)任編輯：陸順演）