通過“做數(shù)學(xué)”進(jìn)行單元教學(xué)的嘗試

【摘 要】通過做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)方式“做數(shù)學(xué)”，可以將所學(xué)知識與經(jīng)驗(yàn)、實(shí)踐、應(yīng)用相結(jié)合，將知識激活。教師引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中“去葉、削枝、強(qiáng)干”，將碎片化的知識結(jié)構(gòu)化形成知識體系，可以讓學(xué)習(xí)走向深度，幫助學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)、生長關(guān)鍵能力，實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人和課堂教學(xué)的減量提質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；核心素養(yǎng)；單元教學(xué)

【中圖分類號】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2022）83-0033-04

【作者簡介】王宗信，上?？萍即髮W(xué)附屬學(xué)校（上海，201210）教師，正高級教師，江蘇省數(shù)學(xué)特級教師。

“做數(shù)學(xué)”是一種動(dòng)手動(dòng)腦相結(jié)合的數(shù)學(xué)活動(dòng)，是教師根據(jù)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，引導(dǎo)學(xué)生在給定的問題情境中，借助一定工具，以“做”為支架，經(jīng)歷操作、觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、交流，調(diào)動(dòng)多種感官參與學(xué)習(xí)過程，學(xué)思結(jié)合，手腦并用，獲得數(shù)學(xué)概念，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的一種學(xué)習(xí)方式。通過“做數(shù)學(xué)”進(jìn)行單元教學(xué)，既可以培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力，又可以讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)展其數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，達(dá)到學(xué)科育人的目的。

筆者于2021年9月從江蘇調(diào)到上海從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作。經(jīng)過一段時(shí)間的工作，筆者發(fā)現(xiàn)上海初中預(yù)備年級上冊（六年級上冊，上海為五四學(xué)制）由4章組成：第一章“數(shù)的整除”、第二章“分?jǐn)?shù)”、第三章“比和比例”、第四章“圓和扇形”。這四章密切關(guān)聯(lián)，可以進(jìn)行結(jié)構(gòu)化教學(xué)。其中，“圓和扇形”探究圓的周長和弧長、圓的面積和扇形的面積，這些概念都是整體和部分的關(guān)系，整個(gè)教材的幾何部分也與蘇科版教材有相似之處，都注重“做中學(xué)”。

一、單元教學(xué)目標(biāo)及課時(shí)安排

在領(lǐng)悟了教材的編寫意圖后，筆者確定了以下單元教學(xué)目標(biāo)：（1）通過點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)認(rèn)識圓的特征，理解圓、圓弧、扇形等概念；（2）通過操作實(shí)驗(yàn)，對圓的周長和面積、弧長與扇形等面積公式進(jìn)行驗(yàn)證；（3）通過實(shí)驗(yàn)掌握圓的周長和面積、弧長與扇形的面積等公式，并進(jìn)行簡單度量問題的計(jì)算；（4）通過近似與精確的數(shù)學(xué)思想，經(jīng)歷數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的研究方法；（5）通過操作實(shí)驗(yàn)，感悟教材知識滲透的“化曲為直”和“無限逼近”的數(shù)學(xué)思想。

基于對目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容的理解和認(rèn)識，筆者對本章單元課時(shí)進(jìn)行統(tǒng)籌考慮，課時(shí)安排為圓的周長1課時(shí)、弧長1課時(shí)、圓的面積2課時(shí)、扇形的面積2課時(shí)、思維導(dǎo)圖1課時(shí)、自習(xí)1課時(shí)。同時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了4次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，幫助學(xué)生將核心知識結(jié)構(gòu)化。下面是本次單元教學(xué)實(shí)施的嘗試與思考。

二、單元教學(xué)流程

第1課時(shí)，學(xué)生和教師一起用圓規(guī)畫圓，得出圓的定義和弧、圓心角、扇形等基本概念。接著，筆者安排了第一個(gè)“做數(shù)學(xué)”的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

1.圓的周長實(shí)驗(yàn)

（1）“化曲為直”實(shí)物測量實(shí)驗(yàn)——測量圓的周長

實(shí)驗(yàn)過程：準(zhǔn)備5角硬幣、1元硬幣、瓶蓋或其他圓形物體、細(xì)繩、直尺或卷尺，安排學(xué)生分組報(bào)出測量結(jié)果并填表計(jì)算。測量5角、1元和圓形瓶蓋的周長C和直徑d，并求出C與d的比值（得數(shù)保留兩位小數(shù)），把測得的數(shù)據(jù)填在表中。

圓的周長是曲線，學(xué)生沒學(xué)過測量曲線的長度的方法。由于學(xué)生在科學(xué)課上做過測量硬幣周長的實(shí)驗(yàn)，筆者便借助此方法，引導(dǎo)學(xué)生用細(xì)線纏在硬幣的圓周，做好標(biāo)記，然后展平為直線（線段），測量這條線段的長度，化曲為直測量出圓的周長，并計(jì)算圓的周長與直徑的比值。由此把比式寫成等式，得到圓的周長公式。

（2）利用計(jì)算機(jī)軟件推導(dǎo)圓的周長公式實(shí)驗(yàn)

由于實(shí)物測量有誤差，為了更好地檢驗(yàn)結(jié)論的正確性，可以用幾何畫板軟件進(jìn)行繪制、測量、計(jì)算。

實(shí)驗(yàn)過程：請同學(xué)們用幾何畫板軟件畫一條線段，以該條線段為直徑畫圓，利用幾何畫板軟件的度量功能度量圓的直徑和周長，計(jì)算出圓的周長C和直徑d的比值。改變直徑的長度，觀察圓的周長與直徑的比值，把比式寫成等式。（見圖1）

這兩個(gè)實(shí)驗(yàn)從真實(shí)情境引出測量和計(jì)算圓的周長的方法，引導(dǎo)學(xué)生探索科學(xué)實(shí)驗(yàn)探究的方法，培養(yǎng)其科學(xué)精神，體會(huì)近似與精確的數(shù)學(xué)思想；將實(shí)物測量與計(jì)算機(jī)軟件運(yùn)用相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的求真意識；測量硬幣等圓形物體的周長，讓學(xué)生感受“化曲為直”的思想方法。嘗試用不同的方法解決問題，既提高了學(xué)生解決問題的能力，也可以讓學(xué)生感受到學(xué)科之間是相通的，在潛移默化中實(shí)現(xiàn)學(xué)科融合。這樣的教學(xué)使學(xué)生經(jīng)歷知識的生成過程，也為后續(xù)弧長公式的推出做了很好的鋪墊。

2.圓的面積實(shí)驗(yàn)

考慮單元教學(xué)的需要，筆者將圓的面積前置至第2課時(shí)。這樣安排教學(xué)課時(shí)是因?yàn)榛『蛨A心角可以組成扇形，由周長和圓的面積分別推出弧長公式和扇形面積是從整體到部分的運(yùn)用，可以更好地將本章知識系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化。

（1）等分圓實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)：計(jì)算機(jī)教室

實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備：在教學(xué)的前一天布置家庭作業(yè)，安排學(xué)生自行在紙上畫一個(gè)半徑為3厘米的圓形，第一組學(xué)生將其4等分并裁下，標(biāo)上相應(yīng)的圓心角度數(shù)；第二組學(xué)生將其8等分并裁下，標(biāo)上相應(yīng)的圓心角度數(shù)；第三組學(xué)生將其12等分并裁下，標(biāo)上相應(yīng)的圓心角度數(shù)；第4組學(xué)生將其16等分并裁下，標(biāo)上相應(yīng)的圓心角度數(shù)。第二天課上，各組將裁下的扇形帶到數(shù)學(xué)課堂進(jìn)行拼圖實(shí)驗(yàn)。

拼圖實(shí)驗(yàn)：各組按照圖2所示剪圖、拼圖，觀察所拼成圖形的整體形狀。

想象：如果把一個(gè)圓形紙片60等分然后按照上面的拼圖方式拼出來的圖形整體形狀會(huì)是怎么樣的？180等分、360等分、3600等分、無限等分呢？

思考：把圓等分的份數(shù)越多，拼成的圖形是不是就越接近于一個(gè)長方形？這個(gè)長方形的長和寬分別是什么？能否由此推出圓的面積公式？

實(shí)驗(yàn)結(jié)論：半徑為r、面積為S的圓可以拼成一個(gè)長為半個(gè)圓的周長、寬為半徑的長方形。（見圖3）

（2）圓的面積驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)過程：打開幾何畫板軟件，畫一條線段，以這條線段為半徑畫圓，利用幾何畫板軟件的度量功能度量半徑的長度和圓的面積，計(jì)算圓的面積S和半徑的平方r2的比值。改變半徑的長度，觀察圓的面積S和半徑的平方r2比值的變化。類比圓的周長公式的推導(dǎo)過程，寫出圓的面積S和半徑的平方r2的關(guān)系式。（見圖4）

等分圓實(shí)驗(yàn)再次鞏固了化曲為直的思想方法，也使學(xué)生體驗(yàn)了無限逼近以及把未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題的思想方法。再次使用幾何畫板軟件進(jìn)行畫圖、度量和計(jì)算，定量地驗(yàn)證圓的面積公式的正確性，也讓學(xué)生學(xué)會(huì)用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，有利于學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)、培養(yǎng)關(guān)鍵能力。

3.弧長、扇形面積實(shí)驗(yàn)

基于扇形與圓、弧長與圓的周長都是部分與整體的關(guān)系，筆者設(shè)計(jì)了以下教學(xué)實(shí)驗(yàn)。

弧長公式實(shí)驗(yàn)：打開幾何畫板軟件，畫一個(gè)圓O，設(shè)弧AB，計(jì)算弧AB的長度與圓的周長的比值、圓心角∠AOB與圓周角的比值。改變圓心角的度數(shù)，觀察比值，求得弧長公式。（見圖5）

扇形面積實(shí)驗(yàn)：打開幾何畫板軟件，畫一個(gè)圓O，設(shè)扇形AOB，計(jì)算扇形AOB的面積與圓的面積的比值、圓心角∠AOB與圓周角的比值。改變圓心角的度數(shù)，觀察比值，得出扇形面積公式。（見圖6）

總結(jié)推導(dǎo)：推導(dǎo)扇形面積與弧長公式之間的關(guān)系，思考問題“把一個(gè)圓盡可能多等分，所得的每一個(gè)扇形是否為腰為半徑的等腰三角形”。再次用化曲為直的思想，得到S_扇形＝1/2lr；進(jìn)而把圓看作扇形，推導(dǎo)出S_圓形＝1/2?× 2πr × r＝πr²。

本教學(xué)環(huán)節(jié)中，筆者設(shè)計(jì)了探究弧長隨著圓心角度數(shù)的變化而變化的實(shí)驗(yàn)，以動(dòng)態(tài)幾何的觀點(diǎn)，由特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)部分與整體的關(guān)系歸納得出圓心角為n°的弧長公式和扇形面積公式，形成知識團(tuán)。

4.單元思維導(dǎo)圖實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)過程：安排學(xué)生分組討論半徑、圓心角、周長、弧長、圓的面積、扇形的面積之間的關(guān)系，將本單元知識系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化。（見圖7）

三、教學(xué)思考

首先，單元向上承接課程目標(biāo)，向下統(tǒng)領(lǐng)單元內(nèi)課時(shí)目標(biāo)、內(nèi)容、活動(dòng)、作業(yè)、評價(jià)、資源等。教師在教學(xué)時(shí)，要注意傳遞性、結(jié)構(gòu)性的問題，要對教材進(jìn)行二次開發(fā)與重組。所以，單元教學(xué)要站在教材的高度去思考和設(shè)計(jì)，注重知識的結(jié)構(gòu)化。教師、備課組要做好對教材的二次開發(fā)，調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，把碎片化的知識點(diǎn)結(jié)構(gòu)化、體系化、系統(tǒng)化，形成知識團(tuán)，使教學(xué)內(nèi)容符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)、符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)與能力。

其次，當(dāng)知識與經(jīng)驗(yàn)、實(shí)踐、應(yīng)用相結(jié)合的時(shí)候才會(huì)被激活。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)通過動(dòng)手動(dòng)腦“做數(shù)學(xué)”，變“聽數(shù)學(xué)”為“做數(shù)學(xué)”，變“看演示”為“動(dòng)手操作”，變“機(jī)械接受”為“主動(dòng)探究”，學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中作為參與者建構(gòu)知識，有利于培養(yǎng)其創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力。例如，筆者在教授本單元時(shí)，把未知問題圓的面積轉(zhuǎn)化成矩形的面積，把圓的周長轉(zhuǎn)化為線段長，實(shí)驗(yàn)中的無限逼近、操作過程中的力求精確有助于學(xué)生形成求真的價(jià)值觀。

“做中學(xué)”通過創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)情境，激發(fā)學(xué)生參與實(shí)驗(yàn)的興趣，增強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手能力，幫助學(xué)生積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。這樣的教學(xué)可以擴(kuò)展學(xué)生獲取知識的空間，改變學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方式，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，加強(qiáng)學(xué)生的主體參與意識，提高學(xué)生的創(chuàng)新意識，從而實(shí)現(xiàn)初中數(shù)學(xué)教與學(xué)方式的變革，促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)模式的創(chuàng)新。

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