楊小璐

［摘? 要］ 糾錯是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識與技能、提高解題能力的關(guān)鍵步驟，也是提高學(xué)生反思能力的基礎(chǔ)，對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展有著深遠(yuǎn)的影響. 研究者認(rèn)為糾錯教學(xué)需遵循目的性、針對性、主體性和鞏固性原則，同時提出糾錯的時機有及時與延后兩種，糾錯的方法有自糾、他糾與師糾.

［關(guān)鍵詞］ 糾錯；原則；時機；方法

心理學(xué)家R.Bainbridge認(rèn)為：差錯每個學(xué)生都有，教師若不加以利用是不可原諒的.錯誤是學(xué)習(xí)者攀上正確結(jié)論寶座的臺階，利用錯誤引導(dǎo)學(xué)生步入正軌是每個教師的基本職責(zé)［1］. 實踐證明，數(shù)學(xué)糾錯教學(xué)需要遵循一定的原則與方法，學(xué)生在糾錯過程中能不斷優(yōu)化思維，形成系統(tǒng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，為培養(yǎng)自身的辯證思維能力奠定堅實的基礎(chǔ).

糾錯教學(xué)應(yīng)遵循的原則

（一）目的性原則

錯誤產(chǎn)生的原因有多種，分別有教師、學(xué)生方面的問題，還有教學(xué)環(huán)境對學(xué)習(xí)產(chǎn)生的影響等.其中，最主要的錯誤原因集中在學(xué)生層面，有智力與非智力兩大因素.從錯誤的認(rèn)知結(jié)構(gòu)角度來區(qū)分，存在知識性、策略性、心理性與邏輯性等錯誤；從錯誤的表現(xiàn)形式來看，錯誤發(fā)生的原因有審題、運算、方法、運算或表述欠規(guī)范等.

人們常說的糾錯，主要是針對學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)方面的錯誤而言. 作為教師，首先要明確學(xué)生錯誤發(fā)生的原因，并在此基礎(chǔ)上明確教學(xué)目標(biāo)，此目標(biāo)包括認(rèn)知目標(biāo)、情感目標(biāo)以及智能目標(biāo)等，且目標(biāo)不宜過高或過多.

（二）針對性原則

每個學(xué)生受認(rèn)知經(jīng)驗的影響，所產(chǎn)生的錯誤類型各不一樣. 糾錯之前，教師應(yīng)根據(jù)錯誤類型，有針對性地對普遍性錯誤、抽象晦澀的錯誤以及解題方法錯誤等進(jìn)行糾錯教學(xué). 同時還要搜集、整理學(xué)生的典型錯誤，重點明確地、有針對性地進(jìn)行講解，以突出問題的本質(zhì). 切不可嘗試面面俱到地講解，那只會浪費課堂寶貴的時間，降低學(xué)習(xí)效率.

（三）主體性原則

學(xué)生是課堂的主人，糾錯課亦如此. 教師在糾錯教學(xué)時，應(yīng)突出學(xué)生的主體地位，創(chuàng)設(shè)豐富的教學(xué)情境，運用學(xué)生感興趣的教學(xué)手段，引導(dǎo)全體學(xué)生積極地參與到糾錯中來. 而教師應(yīng)充當(dāng)引導(dǎo)者的角色，在學(xué)生自主探究過程中，教師可在學(xué)生知識的生長點處加以啟發(fā)、引導(dǎo)與點撥，鼓勵學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)錯誤的根源，從而找出解決問題的關(guān)鍵. 或者鼓勵學(xué)生采用分組討論的方式，在取長補短中發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維的偏差點，及時糾正錯誤，實現(xiàn)思維的突破.

（四）鞏固性原則

實踐證明，缺乏練習(xí)的糾錯效果很差，往往隔幾天學(xué)生同樣的錯誤又會死灰復(fù)燃. 反饋練習(xí)是克服這個問題的主要手段，這里所說的反饋練習(xí)不僅僅是鞏固練習(xí)，還包括變式拓展，學(xué)生只有從根本上掌握數(shù)學(xué)思想方法與解題技巧，才能實現(xiàn)真正意義上的糾錯.

糾錯教學(xué)應(yīng)遵循的時機

（一）及時

糾錯講究時效性. 學(xué)生新知建構(gòu)時所發(fā)生的錯誤，如概念、定理等的理解偏差或方法理解錯誤等問題，及時進(jìn)行糾正，往往能起到良好的效果；學(xué)生的一些無意識錯誤，表現(xiàn)比較隱匿，常常不會自主發(fā)現(xiàn)，如運算過程中的格式不規(guī)范等問題，若教師能給予及時引導(dǎo)與糾正，往往能起到良好的效果［2］.

例1 一部分學(xué)生，總是搞不清楚以下幾種說法所表達(dá)的真實意義：①x，y的平方差；②x，y的差的平方；③x，y的平方的差.

從字面來看，這三種表達(dá)方式非常接近，難怪學(xué)生會混淆不清. 為了清除學(xué)生學(xué)習(xí)道路上的障礙，教師應(yīng)及時引導(dǎo)學(xué)生對這幾種表達(dá)方式進(jìn)行辨別，只有從根本上弄清其所表達(dá)的意思，才能保證解題時不出現(xiàn)差錯.

如平方差公式的應(yīng)用，一些學(xué)生對這個知識點模糊不清，看到問題就生搬硬套，從而導(dǎo)致（-x+y）（x+y）=x2-y2錯誤的發(fā)生；還有學(xué)生將完全平方公式理解成（a+b）2=a2+b2. 面對這些錯誤，教師應(yīng)及時矯正學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，避免學(xué)生將錯誤的內(nèi)容建構(gòu)到認(rèn)知中，形成不良記憶，為后續(xù)解題帶來隱患.

（二）延后

面對下面兩類問題，教師可采取延后糾錯的方式：一是對學(xué)生整體數(shù)學(xué)思維與解題思路影響較小，對主體教學(xué)過程不會引起重大沖突的錯誤. 若即時糾正，則會打斷學(xué)生的解題思路，影響學(xué)生對問題的全局性理解；二是典型錯誤，具有顯著的代表性，需要重點強調(diào)、系統(tǒng)講解的錯誤.

例2 解方程（x+2）（x-1）=2+x.

錯誤：學(xué)生將方程的兩邊同時除以“2+x”，解得x=2的結(jié)論.

這是一個典型的錯誤類型，很多學(xué)生在初次接觸此類運算時，都會犯這樣的錯. 同時，本題對接下來的課堂講解不會造成不良影響. 為此，筆者采取延后的方式，帶領(lǐng)學(xué)生針對此類問題進(jìn)行啟發(fā)式的糾錯，以幫助學(xué)生形成正確的解題方式.

師：解本題時一些學(xué)生想到了用“約公因式”的解題方法，就在方程的兩邊同時除以“2+x”這個式子，并獲得了x=2的結(jié)論，你們覺得這種解題方法對嗎？

生1（語氣不夠肯定）：好像不對.

師：你們覺得哪里不對？大膽地說出你們的看法，錯了也沒有關(guān)系，讓我們一起來探討這個問題.

（學(xué)生沉思）

生2：“2+x”中含有未知數(shù)，我們還不知道它的取值，直接用來運算，好像不合理.

師：沒錯！在方程的兩邊同時除以一個包含未知數(shù)的代數(shù)式，運算后所得的方程和原方程不一定是同解.因此這樣的變形方式存在失根的情況.

（學(xué)生有所感悟）

生3：我是不是可以將本題的錯誤理解為：解題中因除掉了“x=-2”這個因子，致使失根的情況？

生4：對的. 因此我們遇到解此類方程的問題，不能將一個代數(shù)式作為除的對象，還是要先移項，再進(jìn)行因式分解，在降低方程次數(shù)的情況下解方程，才能避免出現(xiàn)失根的現(xiàn)象.

師：總結(jié)得非常好. 本題出現(xiàn)錯誤的關(guān)鍵在于除以了代數(shù)式“2+x”，以后我們遇到此類問題要避免出現(xiàn)這樣的錯誤. 本題除了以上解題方法之外，還存在其他的解題方法嗎？

（學(xué)生思考）

生5：如果我想堅持在等式的兩邊同時除以“2+x”，有沒有辦法解題？

學(xué)生們都覺得不可思議，這不是剛剛被否定掉的解題方法嗎？教室里傳來了竊竊私語.

生6：如果要從這條思路去解題的話，首先要確?！?+x”的值不為零.

生7：問題是題設(shè)條件中并沒有明確表示“2+x”不為零呀，而且當(dāng)“2+x”的值為零時，該方程也是成立的.

在這兩位學(xué)生的交流中，不少學(xué)生恍然大悟，提出用分類討論的方式來解決.

師：應(yīng)該怎么分類呢？

生8：自然是以2+x=0與2+x≠0兩種方式來分類.

……

通過教師的點撥與學(xué)生的自主探究，本題獲得了不同的解決方法. 回過頭來看，延后糾錯從本質(zhì)上來看，就是讓學(xué)生圍繞某個特定的錯誤，給予學(xué)生充足的探討與反思空間，讓學(xué)生在一定的范圍內(nèi)進(jìn)行探索研究的過程. 延后糾錯的方式更符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，可以讓學(xué)生的思維在探索中得到有效提升. 同時，學(xué)生的思維之門被打開，常會得到意想不到的收獲. 因此，延后糾錯法是初中數(shù)學(xué)糾錯教學(xué)的重要手段之一.

糾錯教學(xué)應(yīng)遵循的方式

（一）自糾

學(xué)習(xí)過程中，有些錯誤是學(xué)生常會犯的. 作為教師，要做到心中有數(shù)，對于學(xué)生常犯的一些典型錯誤，可鼓勵學(xué)生與同伴多交流，及時發(fā)現(xiàn)錯誤，從而自主糾正.如何培養(yǎng)學(xué)生的自主糾錯能力是筆者經(jīng)常思考的問題. 實踐證明，教學(xué)過程中將正確的檢查方法滲透給學(xué)生，對學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)錯誤具有重要作用. 不論遇到什么問題，教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真讀題、審題，及時發(fā)現(xiàn)問題中的關(guān)鍵信息，這樣能避免錯誤的發(fā)生.

例3 已知關(guān)于x的方程（m2-4）x2+2（1+m）x+1=0有實根，求m的取值范圍.

本題是一道常規(guī)題，難度系數(shù)并不大，但學(xué)生在解題中總會出現(xiàn)錯誤. 為此，筆者特邀請兩位成績中等的學(xué)生到黑板上演示解題過程，以供大家討論.

生1：題設(shè)條件明確提出此方程有實根，那么可確定Δ=［2（1+m）］2-4（m2-4）=20+8m≥0，可得m≥-，由此可知本一元二次方程中m的取值范圍為≥-.

師：請同學(xué)們重新審題，看看本題有沒有什么隱含條件，或者被我們忽略的東西呢？

（學(xué)生重新審題）

生2：本題并未明確表示該方程是一個一元二次方程.

師：哦？遇到這種情況，我們該怎么處理呢？

生3：需要分類討論，才能回答完整.

師：本題該從什么角度進(jìn)行分類討論呢？

生4：可分為m2-4=0與m2-4≠0兩種情況進(jìn)行討論.

……

隨著教師的引導(dǎo)，學(xué)生在解題過程中不僅發(fā)現(xiàn)了錯誤的原因，還自主找到了解決問題的具體辦法. 這種教學(xué)模式，不僅能有效地提升學(xué)生的糾錯能力，還能有效地發(fā)展學(xué)生的思維，為學(xué)生的辯證思維能力的形成奠定基礎(chǔ).

（二）他糾

學(xué)生因年齡特征與生活經(jīng)驗的相似性，對問題的看法常存在一定的共性. 當(dāng)學(xué)生對概念、定理或公式的理解出現(xiàn)偏差時，教師可引導(dǎo)學(xué)生觀察同伴的解題過程，并針對同伴所呈現(xiàn)的方法與結(jié)論談?wù)勛约旱目捶ǎ@樣能讓學(xué)生從其他學(xué)生身上看到自己的影子，不僅能糾正別人的錯誤，還能有效地提高自己的洞察力［3］. 同時，學(xué)生可取長補短、查漏補缺，避免別人的錯誤在自己身上發(fā)生.

例4 如圖1，已知正方形ABCD的邊長是4，點P為BC邊上的一個動點，且QP與AP為垂直的關(guān)系，交CD于點Q，假設(shè)PB=x，△DQA的面積是y.

（1）求x，y之間存在怎樣的函數(shù)關(guān)系，列式表達(dá)；

（2）求點P位于何位置，△DQA的面積值最大？

在學(xué)生解完題后，教師并沒有馬上呈現(xiàn)正確答案，也沒有進(jìn)行講評，而是要求同桌之間互相查看對方的答案與自己的答案是否有差異. 在同學(xué)的交流過程中，不少學(xué)生發(fā)現(xiàn)同伴出現(xiàn)了以下的錯誤解題方式：

錯解：（1）y=x2-2x+8；（2）根據(jù)y=x2-2x+8，解得（x-2）2+6，因此在x=2時，△DQA的面積最大為6.

觀察發(fā)現(xiàn)，班上有好幾名學(xué)生都發(fā)生了類似的錯誤. 為了讓學(xué)生記住正確的解題方法，教師鼓勵學(xué)生以小組合作的方式來討論本題，由小組長與同學(xué)一起分析錯因，小組成員一起探尋正確的解題方法.

巡視過程中，教師聽到如下交流：觀察圖1，如果點P的位置恰巧在點B處，點Q的位置就位于點C處，那么此時△DQA的面積與△ABC的面積則相等，為8. 顯然大于以上所求得的6，因此這種解題方法肯定是不對的.

通過交流，學(xué)生得到以下結(jié)論：本題在解第二問時，特別容易出現(xiàn)兩個錯誤，分別是：①將最小值理解為最大值；②認(rèn)為所求面積只存在最小值，沒有最大值. 而出現(xiàn)這些問題的根本原因就在于解題過程中，點P的限制條件被忽略了.

隨著互相糾錯法的應(yīng)用，學(xué)生對此知識點產(chǎn)生了深刻的認(rèn)識，這比教師拼盡全力地講解效果來得直接、明顯. 他糾的方式，一般適用于錯誤比較單一，學(xué)生容易理解的錯誤中. 學(xué)生在互相糾錯的過程中，不僅體驗到學(xué)習(xí)帶來的樂趣，還有效地培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力與思維能力.

（三）師糾

有些錯誤的發(fā)生呈群體性，且錯誤的成因特別混亂、復(fù)雜，自糾與他糾無法達(dá)到良好的效果. 遇到這種情況，就要發(fā)揮教師的作用了. 教師首先要分析錯誤發(fā)生的原因、學(xué)生的認(rèn)知水平以及預(yù)期的教學(xué)效果等，做到知此知彼，才能百戰(zhàn)不殆. 有時，反例法的點撥，能開闊學(xué)生的視野，讓學(xué)生徹底告別混亂不清的思緒.

例5 如圖2，已知∠ABD=∠BCA，∠ABC=∠D. 不少學(xué)生根據(jù)這兩個條件，就確定△ABD≌△ACB. 面對這個錯誤，教師首先應(yīng)分析學(xué)生形成這個錯誤的原因，并根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在歸因后采取一定的教學(xué)手段進(jìn)行糾錯.

學(xué)生所提到的這兩個三角形并非是全等的關(guān)系，因為△ABC中所涉及的AB邊與△ABD中的AB邊并非為對應(yīng)的兩條邊.

與之類似的還有一些學(xué)生，將兩個三角形中兩條邊和一對角對應(yīng)相等的情況，判斷為這兩個三角形為全等關(guān)系. 以上錯誤都是學(xué)生對概念的理解不夠清晰引起的，在遇到解決實際問題時，就會出現(xiàn)知識的混亂，覺得差不多就給予判斷，從而導(dǎo)致錯誤的發(fā)生. 遇到此類情況，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生回過頭來將基礎(chǔ)的概念、定理等重新分析、解讀，幫助學(xué)生實現(xiàn)知識的重構(gòu).

總之，錯誤并不可怕，只要教師用正確的態(tài)度去面對錯誤，充分挖掘與利用錯誤資源，那么錯誤就是寶貴的、有價值的教學(xué)資源. 教師從心理學(xué)角度出發(fā)，利用錯誤在學(xué)生心中形成的落差效應(yīng)，抓住契機，用適當(dāng)?shù)姆绞浇o學(xué)生帶來認(rèn)知上的震撼與沖擊，往往能起到良好的糾錯效果.

參考文獻(xiàn)：

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［2］ 李善良. 怎樣培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維能力——美國中小學(xué)教材考察報告［J］. 教育科學(xué)研究，2012（03）：69-75.

［3］ 梁麗巧. 談初中學(xué)生數(shù)學(xué)糾錯能力的培養(yǎng)［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2014（08）：24-26.