數(shù)隨形變 變則歸一

謝曉華

華羅庚說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微?！睌?shù)與形的結(jié)合可以幫助我們直觀地解決很多數(shù)學(xué)問題。不僅如此，在幾何問題中，圖形中的“位置關(guān)系”決定著“數(shù)量關(guān)系”。在圓這一章中，點(diǎn)、線、角、弧與圓位置關(guān)系的情況比較多，我們稍不注意，就會導(dǎo)致漏解、錯解。

類型一 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

例1 點(diǎn)M是非⊙O上的一點(diǎn)，若點(diǎn)M到⊙O上的點(diǎn)的最小距離是4，最大距離是8，則⊙O的半徑是。

【錯解】6。

【錯因分析】點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種：點(diǎn)在圓內(nèi)、圓外、圓上。此處忽略了點(diǎn)在圓外這種位置關(guān)系，導(dǎo)致漏解。

【正解】本題有如下兩種情況：

如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在⊙O內(nèi)，連接OM，過點(diǎn)M作直徑AB，則AM=8，BM=4。

∵⊙O的直徑AB=AM+BM=8+4=12，

∴⊙O的半徑=[12]AB=[12]×12=6。

如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在⊙O外時，同理可得⊙O的半徑=[12]AB=[12]×（8-4）=2。

綜上，⊙O的半徑是6或2。

【總結(jié)】處理點(diǎn)與圓的相關(guān)問題時，從“位置關(guān)系”來看有三種情況：點(diǎn)在圓內(nèi)、圓外、圓上；從“數(shù)量關(guān)系”來看，點(diǎn)在圓內(nèi)、圓外這兩種情況對應(yīng)圓的半徑分別為：點(diǎn)到圓上距離的最大值與最小值之和的一半、點(diǎn)到圓上距離的最大值與最小值之差的一半。

類型二 圓心與圓內(nèi)兩條平行弦的位置關(guān)系

例2 ⊙O中兩條平行的弦長分別為AB=6和CD=8，圓的半徑為5，則兩條平行弦AB和CD之間的距離為。

【錯解】1。

【錯因分析】圓心與圓中的兩條平行弦有兩種位置關(guān)系：圓心在兩條平行線之間，圓心在兩條平行線外。此處忽略了圓心在兩條平行線之間的情況，導(dǎo)致漏解。

【正解】本題有如下兩種情況：

如圖3，當(dāng)圓心在兩條平行線之間時，過點(diǎn)O作OM⊥AB交AB于點(diǎn)M，延長MO交CD于點(diǎn)N，連接OB、OD。

∵OM⊥AB，

∴MA=MB=[12]AB=3。

在Rt△BOM中，∠BMO=90°，

∴OM=[OB2-BM2]=[52-32]=4。

又∵∠OMB=90°，AB∥CD，

∴∠OMB+∠OND=180°。

∴∠OND=90°。

∴DN=CN=[12]CD=4。

在Rt△DON中，∠OND=90°，

∴ON=[OD2-DN2]=[52-42]=3。

∴MN=OM+ON=4+3=7。

如圖4，當(dāng)圓心在兩條平行弦AB和CD外時，同理可得兩條平行弦間的距離為1。

綜上，兩條平行弦AB和CD之間的距離為7或1。

【總結(jié)】在圓中，圓心與圓內(nèi)一組平行弦的關(guān)系，從“位置關(guān)系”來看有兩種情況：圓心在兩條平行線之間，圓心在兩條平行線外；從“數(shù)量關(guān)系”來看，平行弦之間的距離等于圓心到兩條弦之間的距離和或差。

類型三 圓心與圓周角的位置關(guān)系

例3 ⊙O的半徑為2，弦AB=[22]，AC=[23]，則∠BAC的度數(shù)為。

【錯解】15°。

【錯因分析】圓心與圓周角的位置關(guān)系有兩種：圓心在圓周角內(nèi)，圓心在圓周角外。此處忽略了圓心在圓周角內(nèi)的情況，導(dǎo)致了漏解。

【正解】本題有如下兩種情況：

如圖5，當(dāng)圓心在圓周角∠CAB內(nèi)部時，過點(diǎn)O作OM⊥AB、ON⊥AC，分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，連接OA。

∵OM⊥AB，∴MA=MB=[12]AB=[2]。

在Rt△AOM中，∠AMO=90°，

∴OM=[OA2-AM2]=[22-2]=[2]。

∴△AOM為等腰直角三角形。

∴∠AOM=∠OAB=45°。

同理，在Rt△AON中，NA=[3]，OA=2，ON=1，∴∠OAN=30°。

∴∠BAC=∠OAB+∠OAC=45°+30°=75°。

如圖6，當(dāng)圓心在圓周角∠CAB外部時，同理可得∠BAC=∠OAB-∠OAC=45°-30°=15°。

綜上，∠BAC=75°或15°。

【總結(jié)】在圓中，對于圓心與圓周角，從“位置關(guān)系”來看有兩種：圓心在圓周角內(nèi)，圓心在圓周角外；從“數(shù)量關(guān)系”來看，∠BAC的度數(shù)分別為圓周角頂點(diǎn)和圓心的連線與圓周角的兩邊構(gòu)成的兩個角的和與差。

類型四 動點(diǎn)與弧的位置關(guān)系

例4 點(diǎn)P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為⊙O上與A、B不重合的點(diǎn)，若∠P=30°，則∠C的度數(shù)為 。

【錯解】75°。

【錯因分析】點(diǎn)在圓上時，點(diǎn)與圓弧有兩種位置關(guān)系：點(diǎn)在優(yōu)弧上，點(diǎn)在劣弧上。此處忽略了點(diǎn)在劣弧上的情況，導(dǎo)致漏解。

【正解】本題有如下兩種情況：

如圖7，當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧[AB]上時，連接OA、OB。

∵PA與⊙O相切于A點(diǎn)，OA是⊙O的半徑，∴∠OAP=90°。

同理，∠OBP=90°。

在四邊形AOBP中，∠OAP+∠P+∠OBP+∠AOB=360°。

∴∠AOB=360°-∠OAP-∠P-∠OBP=150°。

∴∠C=[12]∠AOB=75°。

如圖8，當(dāng)點(diǎn)C在劣弧[AB]上時。

∵四邊形ACBC'是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠C+∠C'=180°?！唷螩'=105°。

綜上，∠C=75°或105°。

【總結(jié)】在圓中，對于點(diǎn)與圓弧，從“位置關(guān)系”來看有兩種情況：點(diǎn)在優(yōu)弧上，點(diǎn)在劣弧上；從“數(shù)量關(guān)系”來看，這兩種情況下的兩個角互為補(bǔ)角。同學(xué)們可以利用切線、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形求解。

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)知識的核心構(gòu)成要素，尤其是在幾何的學(xué)習(xí)過程中，數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是數(shù)與形關(guān)系的直接體現(xiàn)。在圓這一章的學(xué)習(xí)過程中，我們要考慮點(diǎn)、線、角、弧在圖形中的不同位置。位置關(guān)系不同，數(shù)量關(guān)系也會發(fā)生變化，更深入地分析可以發(fā)現(xiàn)：不同位置關(guān)系下對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系之間也存在著對應(yīng)關(guān)系。也正是位置的不確定，我們才需要分類討論出不同的數(shù)量關(guān)系。

（作者單位：江蘇省南京市致遠(yuǎn)初級中學(xué)）