許浩

［摘 ?要］ “二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)”的教學(xué)過程需要遵從研究函數(shù)圖像的基本思路，類比一次函數(shù)梳理教學(xué)主線，突出教學(xué)重點；采用描點畫圖的方式構(gòu)建二次函數(shù)圖像，通過數(shù)形結(jié)合、對比分析生成相應(yīng)的結(jié)論；同時設(shè)計多層次問題引導(dǎo)學(xué)生探究，強化知識，提升學(xué)生的思維.

［關(guān)鍵詞］ 二次函數(shù)；圖像；性質(zhì)；主線；作圖

“二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)”是初中數(shù)學(xué)的重難點內(nèi)容，是繼一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)的探究后又一典型函數(shù)的探究. 通過探索二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，有助于學(xué)生深刻理解二次函數(shù)，是后續(xù)解決問題的知識基礎(chǔ). 下面結(jié)合教材梳理主線，開展教學(xué)探討.

回顧類比中梳理主線

學(xué)生在前面已經(jīng)深入學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，掌握了一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，雖然二次函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)有著顯著的不同，但整體上的研究思路、內(nèi)容和方法是相一致的. 可以引導(dǎo)學(xué)生回顧一次函數(shù)的知識內(nèi)容，用以探索二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，梳理教學(xué)主線.

一次函數(shù)的探究是圍繞三大內(nèi)容開展的：一是解析式的形式；二是研究過程；三是研究內(nèi)容. 對于二次函數(shù)圖像與性質(zhì)的探究，同樣需要把握上述三大內(nèi)容，即引導(dǎo)學(xué)生從概念出發(fā)，關(guān)注二次函數(shù)的解析式；探索二次函數(shù)圖像與性質(zhì)的研究方法；探討二次函數(shù)圖像與性質(zhì)要研究的具體內(nèi)容.

在概念探究中，引導(dǎo)學(xué)生從全局與局部的關(guān)系出發(fā)來思考問題，把握二次函數(shù)的概念，關(guān)注二次函數(shù)的解析式. 即從函數(shù)的概念出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生辨析二次函數(shù)的概念，并引出二次函數(shù)解析式的兩種基本形式：一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0），頂點式y(tǒng)=a（x-h）2+k（a≠0）. 開展兩式的變式互化訓(xùn)練，為后續(xù)的圖像與性質(zhì)的探究做鋪墊.

在二次函數(shù)圖像與性質(zhì)的研究中，引導(dǎo)學(xué)生類比一次函數(shù)，構(gòu)建二次函數(shù)圖像與性質(zhì)的研究方案，為后續(xù)分析問題、解決問題提供途徑. 整體上采用知識探究的方式，生成“定義探究→圖像性質(zhì)→性質(zhì)應(yīng)用”系統(tǒng)的研究主線，引導(dǎo)學(xué)生體驗探究活動，積累探究經(jīng)驗. 而在性質(zhì)的探究過程中合理滲透思想方法，由易到難逐層剖析.

對于二次函數(shù)的研究內(nèi)容，同樣類比一次函數(shù)，主要集中在以下幾點：一是圖像的特征；二是函數(shù)的性質(zhì)；三是具體的研究步驟；四是研究方法. 其中，圖像的特征研究中關(guān)注函數(shù)曲線的形狀、位置和關(guān)鍵點；性質(zhì)研究中關(guān)注因變量y隨自變量x的變化規(guī)律；而研究步驟需要引導(dǎo)學(xué)生掌握“作圖→觀察”的研究思路；同時在研究過程中要合理采用分類討論、數(shù)形結(jié)合、對比分析等思想方法.

描點畫圖中構(gòu)建二次函數(shù)圖像

描點畫圖法是繪制二次函數(shù)圖像的重要方法，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注該方法的具體步驟，掌握性質(zhì)分析的方法. 描點畫圖法的教學(xué)指導(dǎo)可分為四個環(huán)節(jié)：列表、描點、連線、特征分析. 具體教學(xué)以簡單的、具有代表性的二次函數(shù)y=x2為例，具體探究過程如下.

教學(xué)中，首先引導(dǎo)學(xué)生觀察二次函數(shù)y=x2的特征，猜想該函數(shù)的圖像形狀，在此基礎(chǔ)上按照描點畫圖法的流程進(jìn)行探究.

（1）列表：引導(dǎo)學(xué)生圍繞x=0進(jìn)行正負(fù)對稱取值，并計算對應(yīng)的y值完成列表.

列表完成后，不必急于描點，而是引導(dǎo)學(xué)生觀察表格中的數(shù)對是否具有對稱性.

（2）描點：在該環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，在坐標(biāo)系中根據(jù)表格中的數(shù)對描點. 同時引導(dǎo)學(xué)生重溫平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)建方式，理解坐標(biāo)系的原點、坐標(biāo)軸、正方向和象限等概念.

（3）連線：連線時引導(dǎo)學(xué)生思考用何種線來連接（是直線，還是平滑的曲線），并解釋具體的原因. 教學(xué)中讓學(xué)生對比一次函數(shù)思考二次函數(shù)的連線方式——利用光滑的曲線連點，如圖1所示.

（4）分析：分析環(huán)節(jié)是對二次函數(shù)性質(zhì)的直觀歸納. 教學(xué)中讓學(xué)生思考系數(shù)a的符號，基于符號開展性質(zhì)分析，即按照如下順序逐層分析：系數(shù)a的符號→開口方向→圖像對稱軸→圖像最低點→圖像兩側(cè)的變化趨勢. 引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)地完成二次函數(shù)y=x2的圖像特征及性質(zhì)的概括.

同樣以函數(shù)y=x2的圖像為例，引導(dǎo)學(xué)生提取圖像的最低點的坐標(biāo)——（0，0），以圖像的對稱軸為界，將曲線分割為兩部分，分別分析圖像的單調(diào)性：

在對稱軸的左側(cè)（x<0時）：y隨著x的增大而減小；在對稱軸的右側(cè)（x>0時）：y隨著x的增大而增大.

二次函數(shù)的性質(zhì)探究則應(yīng)立足二次函數(shù)解析式與圖像，構(gòu)建圖像與解析式的聯(lián)系. 教學(xué)中以特殊的二次函數(shù)為例，采用繪圖、分析的方式，引導(dǎo)學(xué)生直觀分析，深刻理解二次函數(shù)的單調(diào)性. 探究分析環(huán)節(jié)要注重思維的邏輯性，由“式”到“形”，再由“形”總結(jié)規(guī)律.

對比分析中歸納總結(jié)

對于二次函數(shù)圖像與性質(zhì)的全方位歸納，建議采用數(shù)形對比、特殊到一般的方式，即利用具體函數(shù)的直觀圖像進(jìn)行對比分析，歸納總結(jié)一般函數(shù)的圖像性質(zhì). 教學(xué)中建議結(jié)合二次函數(shù)的頂點式y(tǒng)=a（x-h）2+k（a≠0），探索二項式系數(shù)a的符號和大小以及k對二次函數(shù)圖像的影響. 因此探究教學(xué)可以分三步進(jìn)行：第一步，以特殊函數(shù)為例，描點畫圖作圖像；第二步，觀察圖像，猜想規(guī)律；第三步，總結(jié)概括，生成函數(shù)圖像與性質(zhì).

1. 探索二次項系數(shù)a的符號對二次函數(shù)圖像的影響

教學(xué)中同樣以較為簡單的特殊的二次函數(shù)為例，利用畫圖描點法繪制圖像. 如分別繪制y=x2和y=-x2的圖像，如圖2①和圖2②所示.

以上述實例引導(dǎo)學(xué)生觀察兩個二次函數(shù)圖像的相同點和不同點，并結(jié)合二次函數(shù)圖像分析二次項系數(shù)a的符號對其的影響，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建“a的符號”與“拋物線開口”之間的聯(lián)系.

2. 探索二次項系數(shù)a的大小對二次函數(shù)圖像的影響

顯然，二項式系數(shù)a的大小對二次函數(shù)圖像也具有一定的影響，教學(xué)中可以針對a的大小來作圖探究. 在同一平面直角坐標(biāo)系中繪制不同二次函數(shù)的圖像，如圖3所示，引導(dǎo)學(xué)生分別探究y=2x2，y=x2，y=x2，以及y=-2x2，y=-x2，y= -x2的圖像的開口大小，讓學(xué)生從a的視角作出相應(yīng)的猜想.

3. 探索頂點式中的k對二次函數(shù)圖像的影響

在頂點式中的k的影響探究中，給出二次函數(shù)的頂點表達(dá)式y(tǒng)=a（x-h）2+k（a≠0），引導(dǎo)學(xué)生明晰（h，k）為拋物線的頂點坐標(biāo). 先在同一平面直角坐標(biāo)系中繪制y=2x2+1和y=2x2-1的圖像，如4圖所示；然后引導(dǎo)學(xué)生從下述方向進(jìn)行探究：一是解析式的異同點，二是圖像的異同點. 即關(guān)注頂點式中的k值的不同，明晰k值與頂點坐標(biāo)之間的聯(lián)系——k值將影響拋物線的頂點坐標(biāo)，決定二次函數(shù)圖像的位置.

活學(xué)活用中完成知識強化

二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)屬于初中數(shù)學(xué)的重難點內(nèi)容，知識的規(guī)律性極強，探究教學(xué)中要注意知識的應(yīng)用，即設(shè)計合理的變式問題，引導(dǎo)學(xué)生探究思考，幫助學(xué)生內(nèi)化吸收，鍛煉學(xué)生的思維. 問題設(shè)計建議從以下兩方面入手：一是基本規(guī)律調(diào)用分析，二是綜合性問題探究分析. 前者注重基礎(chǔ)知識的規(guī)律，后者則應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生掌握問題的分析方法.

問題設(shè)計1：已知二次函數(shù)y=mx2經(jīng)過點A（-2，-8）.

（1）求該二次函數(shù)的解析式，并判斷該函數(shù)是否存在最大值或最小值；

（2）分析點M（2，-8）是否位于此拋物線上？

（3）試求該拋物線上縱坐標(biāo)為-4的點的坐標(biāo).

教學(xué)立足三個小問，分三個環(huán)節(jié)進(jìn)行引導(dǎo)：

環(huán)節(jié)1：引導(dǎo)學(xué)生重溫待定系數(shù)法，結(jié)合點的坐標(biāo)計算二次函數(shù)的解析式.

環(huán)節(jié)2：重溫二次函數(shù)的性質(zhì)規(guī)律，即a>0時，函數(shù)有最小值；a<0時，函數(shù)有最大值，且函數(shù)的最值實則就是拋物線頂點的縱坐標(biāo).

環(huán)節(jié)3：構(gòu)建點的坐標(biāo)與二次函數(shù)解析式的聯(lián)系，即二次函數(shù)圖像上的點滿足其解析式.

問題設(shè)計2：現(xiàn)有函數(shù)y=kx2和函數(shù)y=kx+k，在同一平面直角坐標(biāo)系中，兩圖像的大致位置關(guān)系是下圖中的（ ?）

該問題設(shè)計有一定的拓展性，旨在考查學(xué)生對函數(shù)位置關(guān)系的理解，教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生按照如下思路進(jìn)行分析：①思考k對一次函數(shù)的位置的影響；②思考k的符號對兩函數(shù)單調(diào)性的影響；③思考兩函數(shù)相對的位置關(guān)系.

總之，“二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)”教學(xué)是一個動態(tài)分析、圖像觀察、結(jié)論歸納總結(jié)的探究過程，對學(xué)生各方面的能力有著較高的要求. 教學(xué)中要合理設(shè)計環(huán)節(jié)，采用科學(xué)的探究方法，引導(dǎo)學(xué)生直觀分析、分類討論、嚴(yán)謹(jǐn)論證，完成知識生成. 過程教學(xué)注重將數(shù)學(xué)思想融入性質(zhì)探究中，促進(jìn)學(xué)生知識與能力的雙重提升.