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      從一道幾何最值問題看研究性學(xué)習(xí)

      2022-05-30 10:48:04王廣輝
      基礎(chǔ)教育論壇·上旬 2022年9期
      關(guān)鍵詞:拓展思維最值問題

      王廣輝

      摘? 要:數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的典型特征是“變”,即通過改變數(shù)學(xué)問題對(duì)學(xué)生的思維方式和學(xué)習(xí)方式進(jìn)行訓(xùn)練。因此,在平時(shí)的教學(xué)中,教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生以研究者的身份,對(duì)于典型的數(shù)學(xué)問題從不同的角度拓展出諸多新的問題,舉一反三,開拓學(xué)生的思維,從而實(shí)現(xiàn)高效學(xué)習(xí)。

      關(guān)鍵詞:研究性學(xué)習(xí);最值問題;拓展思維

      良好的數(shù)學(xué)思維方式和學(xué)習(xí)習(xí)慣是學(xué)好數(shù)學(xué)的核心因素。因此,教師在教學(xué)中要讓學(xué)生以研究數(shù)學(xué)的態(tài)度來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。對(duì)于典型的數(shù)學(xué)問題,在初步解決的基礎(chǔ)上,教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)尋找一些相關(guān)的問題,并嘗試解決,這樣對(duì)于學(xué)生的高效學(xué)習(xí)大有裨益的。下面對(duì)一道典型的幾何最值問題進(jìn)行深入剖析,引導(dǎo)學(xué)生了解并掌握研究性學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法和技巧。

      一、典例精析

      題目? 如圖1,已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,∠A =[60°,] 點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。如果點(diǎn)M,N分別是邊AB,AD的中點(diǎn),求PM + PN的最小值。

      解析:此題源自人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)第85頁(yè)問題1。我們不難找到解決方案,即作出點(diǎn)M關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)M′(如圖2)。連接M′N,線段M′N的長(zhǎng)即為所求。由平行四邊形的性質(zhì)可知,M′N = AB = 4。所以PM + PN的最小值為4。

      波利亞曾經(jīng)形象地指出,好問題同采蘑菇有些相像,它們都能成堆地生長(zhǎng),找到一個(gè)后,你應(yīng)當(dāng)在周圍再找找,很可能附近就有好幾個(gè)。因此,我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生在上述問題解決的基礎(chǔ)上進(jìn)行思維發(fā)散,嘗試以此為基礎(chǔ)去解決更有挑戰(zhàn)性的問題。

      二、問題初探

      變式1:如果圖1中的點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn),點(diǎn)N是邊AD上的動(dòng)點(diǎn),試求PM + PN的最小值。

      解析:遵循慣性思維,我們自然會(huì)想到作出點(diǎn)M關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)M′,但由于點(diǎn)N是動(dòng)點(diǎn),再連接M′N是無(wú)意義的。此時(shí)應(yīng)該作M′N⊥AD于點(diǎn)N,垂線段M′N的長(zhǎng)即為所求,即[23。]

      【小結(jié)與歸納】從表面上看,由源問題過渡到變式1似乎是“舊瓶裝新酒”,但與源問題不同,變式1主要考查的是幾何性質(zhì)“垂線段最短”。接下來,我們進(jìn)一步拓展思維,思考如下問題:如果將變式1中的條件“點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)M是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)”(即點(diǎn)P,M,N均為動(dòng)點(diǎn))呢?此時(shí)動(dòng)點(diǎn)問題依次由“一動(dòng)兩定(點(diǎn))”過渡到“兩動(dòng)一定(點(diǎn))”,最終過渡到“三動(dòng)(點(diǎn))”,問題的難度層層遞進(jìn)。

      三、拓展研究

      變式2:如圖3,如果[AP=15,] 點(diǎn)M,N分別是邊AB,AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),求△PMN周長(zhǎng)的最小值。

      解析:如圖4,分別作出點(diǎn)P關(guān)于AB,AD的對(duì)稱點(diǎn)P1,P2。連接P1P2,分別交AB,AD于點(diǎn)M,N,則△PMN的周長(zhǎng)的最小值即為線段P1P2的長(zhǎng)度。連接AP1,AP2。在△AP1P2中,AP1 = AP2 = AP,∠P1AP2 = 2∠DAB = 120°,容易求出線段P1P2的長(zhǎng)為[35,] 即△PMN的周長(zhǎng)的最小值為[35。]

      【小結(jié)與歸納】以上問題把“將軍飲馬”問題分三類設(shè)計(jì),問題層層遞進(jìn),引導(dǎo)學(xué)生探究,使學(xué)生的認(rèn)知在類比與轉(zhuǎn)化中不斷走向深入。

      四、深度探究

      變式3:如圖5,如果點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn),點(diǎn)N是邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。將△AMN沿MN所在直線翻折,得到△A′MN。連接A′C,求線段A′C的最小值。

      解析:如圖6,由折疊可知A′M = AM = BM,因此點(diǎn)A′在以點(diǎn)M為圓心,半徑為2的半圓上。由三角形的三邊關(guān)系可知,A′C > MC - MA′。所以當(dāng)點(diǎn)M,A′,C三點(diǎn)在同一條線上時(shí),線段A′C的長(zhǎng)度最短。作CE⊥MB交MB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。在Rt△BCE中,∠CBE = 60°,BC = 4,則BE = 2,[CE=23。] 所以在Rt△CEM中,[CM=27。] 因?yàn)锳′M = 2,所以A′C的長(zhǎng)度的最小值為[27-2。]

      【小結(jié)與歸納】在變式3中,求最值所涉及的知識(shí)點(diǎn)主要是三角形三條邊之間的關(guān)系,即“三角形兩邊之和大于第三邊”。

      五、結(jié)束語(yǔ)

      我們看到,以上問題以菱形為載體,從不同的角度派生出諸多新的問題,設(shè)計(jì)精巧,從不同層面對(duì)學(xué)生的能力進(jìn)行考查,一步步拓展學(xué)生思維。

      通過數(shù)學(xué)問題的變式,拓展學(xué)生的思維,引導(dǎo)學(xué)生知道應(yīng)該怎樣進(jìn)行創(chuàng)造性地思考。在教學(xué)中,教師要經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生以研究者的身份對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行探索性地改變與思考。

      參考文獻(xiàn):

      [1]中華人民共和國(guó)教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)[M]. 北京:北京師范大學(xué)出版社,2022.

      [2]G.波利亞. 怎樣解題[M]. 閻育蘇,譯. 北京:科學(xué)出版社,1982.

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