摘 要：錯題集是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中將以往的錯誤整理起來，以避免錯誤的再次發(fā)生，同時鞏固所學(xué)知識、夯實學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的一種有效手段。大量的實踐表明，錯題集的恰當(dāng)整理與運用有助于推動學(xué)生以一種靈活且高效的方式學(xué)習(xí)知識，并據(jù)此養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。因此，各學(xué)科教師無論在日常教學(xué)中，還是在復(fù)習(xí)教學(xué)中，都應(yīng)當(dāng)有意識地引導(dǎo)學(xué)生整理錯題集，以便在需要的時候隨時拿出來翻閱，發(fā)揮其應(yīng)有的作用。文章立足于初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)實踐，以錯題集的使用為著力點，依次分析了初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中運用錯題集的價值、錯題集應(yīng)當(dāng)包含的內(nèi)容以及相關(guān)使用注意事項，旨在充分發(fā)揮錯題集的作用，切實提升初中生數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);錯題集;復(fù)習(xí)教學(xué);價值;注意事項

中圖分類號：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標(biāo)識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：2097-1737（2022）24-0079-03

引? 言

錯題集是指將學(xué)習(xí)過程中所做錯的題目整理到一起形成一個冊子的一種學(xué)習(xí)方式。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不可避免地會犯一些錯誤，做錯一些題目，將這些錯誤的題目及時而有效地整理出來，能在很大程度上讓學(xué)生明確哪些知識還未掌握，并進行有針對性的學(xué)習(xí)與突破。復(fù)習(xí)是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)，在這一系統(tǒng)的復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)，學(xué)生勢必需要完成大量的練習(xí)題目。這時，教師引導(dǎo)學(xué)生有意識地整理錯題集實質(zhì)上便起著“查漏補缺”的重要作用，能為學(xué)生的初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指明方向。以下，筆者僅結(jié)合自身的初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教育實踐經(jīng)驗，針對錯題集的合理運用，發(fā)表個人認識，望能引導(dǎo)更多的初中數(shù)學(xué)教育同人及其學(xué)生充分認識錯題集的價值，以錯題集切實助推初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)效率及質(zhì)量的提升與優(yōu)化。

一、初中生復(fù)習(xí)中整理錯題集的價值

在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，學(xué)生往往會做大量的題目，而相當(dāng)一部分學(xué)生持有的態(tài)度便是“老師讓做我便做”，但是至于哪些題目做對了，哪些題目做錯了，做錯的題目是因為什么做錯的，應(yīng)該怎么改正等，都不在學(xué)生的考慮范圍內(nèi)。這樣一味地陷入“題?！睉?zhàn)術(shù)，縱使做的題目很多，學(xué)生仍未能獲得良好的效果。但在引入錯題集之后，教師會督促學(xué)生將自己數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過程中所遇到的有錯誤的題目及時且系統(tǒng)地進行整理。學(xué)生不僅需要抄寫題目，還要將自己做錯的步驟、做錯的原因以及正確的解題步驟一一詳細而清晰地寫出來。這能推動學(xué)生在做錯數(shù)學(xué)題目之后加以分析與思考，讓學(xué)生“知其然更知其所以然”[1]。這樣的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)是優(yōu)質(zhì)的，能讓學(xué)生明確自身未掌握的知識點，有助于學(xué)生及時調(diào)整復(fù)習(xí)計劃及狀態(tài)，對自己未突破的數(shù)學(xué)內(nèi)容加以復(fù)習(xí)與鞏固，最終獲得預(yù)期的復(fù)習(xí)效果。這是恰當(dāng)運用錯題集對初中生數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)所具有的重要價值及影響，需要廣大師生廣泛關(guān)注與重視。

二、初中數(shù)學(xué)錯題集包含的內(nèi)容

在初中數(shù)學(xué)錯題集中，初中教師可引導(dǎo)學(xué)生從兩個方面入手整理，分別是“自己做錯的題目”“大家容易出錯的題目”。這些做錯的數(shù)學(xué)題目的有效運用，將切實發(fā)揮其應(yīng)有的推動初中生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)知識、掌握數(shù)學(xué)知識的良好作用[2]。

（一）初中數(shù)學(xué)錯題集應(yīng)包含自己做錯的題目

初中生在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過程中會做錯一些題目，這是再正常不過的一件事情。對此，初中數(shù)學(xué)教師要引導(dǎo)學(xué)生將自己做錯的一些數(shù)學(xué)題目加以認真篩選與整理。這是初中數(shù)學(xué)錯題集上應(yīng)包含的主要內(nèi)容之一。

例如，一名學(xué)生在自己的錯題集上整理了如下一道做錯的數(shù)學(xué)題目：

3ab3-7a3b+5a3b

=（3-7+5）ab3

=ab3

很顯然，這道數(shù)學(xué)題目做錯了。究其原因，該學(xué)生錯誤地將ab3、a3b看成了相同的內(nèi)容。因此，在整理這一數(shù)學(xué)題目時，這名學(xué)生在寫出了上述錯誤步驟之后，又在錯題本邊上寫出了自己做錯的原因“馬虎，沒認真審題”，并用紅色的筆重點標(biāo)注出了正確的解題步驟：

3ab3-7a3b+5a3b

=（-7a3b+5a3b）+3ab3

=（-7+5）a3b+3ab3

=-2a3b+3ab3

這一數(shù)學(xué)錯誤題目雖然并不是學(xué)生知識點的缺漏，但是學(xué)生粗心、馬虎導(dǎo)致的，對其進行整理與翻閱，能提醒學(xué)生在日后做題時注意避免粗心、不認真，養(yǎng)成仔細審題、做題的良好習(xí)慣。這對學(xué)生的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)來講顯然意義重大。

又如，對于“解不等式>x-1”這一數(shù)學(xué)題目，許多學(xué)生看到這道題，通常會采用兩邊同時取平方的方法進行求解。這種方法可以解決這道題，但并不是最優(yōu)解。學(xué)生可以通過將這道數(shù)學(xué)題目記錄到錯題集上來總結(jié)此次解題的經(jīng)驗。令左邊式子等于y，則y2=-（x-3），由于設(shè)置的中間變量y大于等于0，所以該式子做出的拋物線僅僅保留上半部分，同樣，令y=x-1，對應(yīng)的圖像則呈現(xiàn)出一條直線。這一最優(yōu)解法為作出拋物線y2=-（x-3）（y≥0），以及直線y=x-1，然后將這兩個式子聯(lián)立解得這兩個圖像交點的橫坐標(biāo)，得x=2或x=-1（舍去）。由圖像可知，當(dāng)x>2時不等式成立，所以該題的答案為x<2。通常來說，像這種式子兩邊均是基本函數(shù)的不等式都可以用數(shù)形結(jié)合求解，可以將代數(shù)問題轉(zhuǎn)換為幾何問題，使問題直觀化，方便學(xué)生理解?？傊勺龀龊瘮?shù)圖像的不等式或方程都可以采用數(shù)形結(jié)合的方法去求解函數(shù)的值域。

特別需要指出的是，上述例題并不是學(xué)生做錯的題目，而是學(xué)生受到慣性思維極容易找到的解決方法并不是唯一的解決方法。將這一道數(shù)學(xué)題目記錄到錯題集上的意義在于引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)與記住這一嶄新的解題經(jīng)驗，從而能在日后的數(shù)學(xué)解題過程中做到多一種思路、多一種思維。

（二）初中數(shù)學(xué)錯題集應(yīng)包含大家做錯的題目

大多數(shù)學(xué)生容易做錯的題目在很大程度上代表著學(xué)生未能有效突破與掌握的知識點。對此，登記與整理一些大家普遍容易出錯的問題，學(xué)生能從共性中尋找原因，有則改之無則加勉，這也構(gòu)成了初中生數(shù)學(xué)錯題集上的一項重要內(nèi)容。

例如，方程2x+3y=20的正整數(shù)解有幾組？這一簡單的數(shù)學(xué)題目，不少學(xué)生卻非常容易犯錯誤。班上一名學(xué)生自己雖然沒有做錯，但是在講評試卷的過程中，卻發(fā)現(xiàn)不少人都做錯了。為此，他特意將這一數(shù)學(xué)題目登記在了自己的錯題集上。首先，他分析了其他同學(xué)做錯的原因，“可能忽視了‘正整數(shù)解這一關(guān)鍵詞，所以會選擇‘無數(shù)組的答案”;其次，他又寫出了正確的解答思路及過程：∵2x+3y=20，∴x=10-1.5y，∵x和y都必須為正整數(shù)，∴滿足其條件限制的只有三組，分別為：x=1時，y=6;x=4時，y=4;x=7時，y=2。

又如，下列說法正確的是（）A.0是最小的數(shù)? ?B.有理數(shù)有最大的值? C.正、負整數(shù)加起來就是整數(shù)? D.0是最小的非負數(shù)。

這是一道非常簡單但學(xué)生又極容易出錯的題目，其考查的是學(xué)生對整數(shù)、有理數(shù)、正數(shù)、負數(shù)等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念的理解。該名學(xué)生將這一道數(shù)學(xué)題目寫在了自己的錯題集上，并一一給出了自己的正確理解：0不是最小的數(shù)，負數(shù)要小于0，且沒有最小的值;有理數(shù)沒有最大值;整數(shù)包括正整數(shù)、負整數(shù)以及0;0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，但是最小的非負數(shù)。

如此一來，借助這些別人數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中易錯的題目，該名學(xué)生梳理了自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思路，在日后的復(fù)習(xí)及考試中也形成了“認真分析題干中的關(guān)鍵詞”的意識，這都為他提升數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率及質(zhì)量，以更好的狀態(tài)應(yīng)對考試奠定了良好的基礎(chǔ)。

再如，以下一道數(shù)學(xué)題目：

已知兩個二次函數(shù)y=x2-mx+和y=x2-mx-。

（1）兩個函數(shù)的圖像有一條與x軸存在A、B兩個不同的交點，判斷是哪一個。

（2）若A點坐標(biāo)為（-1，0），求出B點的坐標(biāo)，并解釋此函數(shù)在取何值時y隨著x的增大而減小。

對于這一數(shù)學(xué)題目，易錯點在于第二個問題：將A點坐標(biāo)（-1，0）帶入原函數(shù)解析式y(tǒng)=x2-mx-中得出m=0或m=2，其中，當(dāng)m=0時，原函數(shù)y=x2-1的圖像開口向上，對稱軸為x=0，則當(dāng)x<0時，函數(shù)值y隨x的增大而減小;當(dāng)m=2時，原函數(shù)y=x2-2x-3的圖像開口向上，對稱軸為x=1，則當(dāng)x<1時函數(shù)值y隨x的增大而減小。此題的解題過程略微復(fù)雜，因此不少學(xué)生在實際解答的時候極容易出現(xiàn)錯誤，這一題目包括這一類型的數(shù)學(xué)題目也便成為學(xué)生的易錯題。

一名學(xué)生將這道錯題整理到自己的錯題集上，他首先寫下了正確的解題步驟。

解：

（1）關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2-mx+，由于Δ=（-m）2-4×1×=-m2-2<0，所以函數(shù)圖像與x軸沒有交點。關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2-mx-，由于Δ=（-m）2-4×1×（-）=3m2+4>0，所以此函數(shù)圖像與x軸存在兩個交點。

（2）將A點坐標(biāo)代入二次函數(shù)y=x2-mx-中，可得：1+m-=0，整理得-m2+2m=0，解一元二次方程得m=0或m=2，當(dāng)m=0時，y=x2-1，令y=0，可得x1=-1，x2=1，則當(dāng)m=0時，B點坐標(biāo)為（1，0）。當(dāng)m=2時，y=x2-2x-3，令y=0時，可得x1=1，x2=3，則當(dāng)m=2時，B點坐標(biāo)為（3，0）。并且當(dāng)m=0時，原函數(shù)y=x2-1的圖像開口向上，對稱軸為x=0，則當(dāng)x<0時，函數(shù)值y隨x的增大而減小;當(dāng)m=2時，原函數(shù)y=x2-2x-3的圖像開口向上，對稱軸為x=1，則當(dāng)x<1時函數(shù)值y隨x的增大而減小。

同時，為了提醒自己，該名學(xué)生還在這一正確解題思路下面寫出了需要自己單獨注意的內(nèi)容：只要理清思路，逐步分析，題目難度并不大。

就這樣，一道大家極容易出錯的數(shù)學(xué)題目便被這名學(xué)生分析得一目了然。學(xué)生知道了正確的解法，并能進行靈活的遷移，就達到了舉一反三的良好效果。收集與整理普遍易錯的數(shù)學(xué)題目所具有的重要意義顯而易見。

三、初中數(shù)學(xué)錯題集使用注意事項

初中數(shù)學(xué)錯題集的恰當(dāng)使用具有突出的意義與價值，為引導(dǎo)學(xué)生更好地進行系統(tǒng)的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指明了方向。但初中數(shù)學(xué)教師在教育實踐中還應(yīng)當(dāng)加強對學(xué)生的引導(dǎo)，使其科學(xué)而合理地使用錯題集[3]。

（一）整理錯題集，還需及時復(fù)習(xí)、鞏固

在初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中存在這樣一種現(xiàn)象，即很多時候，學(xué)生會在教師的鼓勵下認真整理錯題集，隨著時間的積累，他們錯題集上的題目越來越多，也正是如此，不少學(xué)生很容易走入一個誤區(qū)，即只抄寫、整理，不及時翻看。這便導(dǎo)致學(xué)生所整理的錯題內(nèi)容僅僅在當(dāng)時發(fā)揮了作用，而未能全面發(fā)揮其應(yīng)有的作用。對此，初中數(shù)學(xué)教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生認真做好錯題集整理，還要鼓勵學(xué)生定期或者根據(jù)自身的實際情況不時翻閱，以達到“溫故而知新”的效果。在不斷梳理錯題集的過程中，學(xué)生才能喚醒整理時的思維與想法，在內(nèi)心進行進一步的升華。這樣錯題集的價值才能得以有效發(fā)揮，切實起到助力學(xué)生開展優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的良好效果。

（二）整理錯題集，需發(fā)揮學(xué)生的主體作用

在運用錯題集的過程中，部分教師習(xí)慣于要求學(xué)生怎么做、如何做、做到什么程度，即要整理哪些數(shù)學(xué)題目、要用什么樣的方式對其進行整理等。這樣的方式符合教師心意，卻未必符合學(xué)生實際認知水平與個性化成長需求。初中數(shù)學(xué)教師在教育實踐中一定要有意識地摒棄上述做法，在充分發(fā)揮學(xué)生主體作用的基礎(chǔ)上，再發(fā)揮自身的主導(dǎo)作用[4]。教師需要做到的是尊重學(xué)生的實際需求，將整理與復(fù)習(xí)錯題集的權(quán)限最大限度地交還學(xué)生，這樣學(xué)生才能記錄與整理自己需要的錯題，充分發(fā)揮錯題集應(yīng)有的作用。

結(jié)? 語

人非圣賢，孰能無過。初中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、復(fù)習(xí)的過程中做錯一些題目是再正常不過的一件事情。初中數(shù)學(xué)教師無須談“錯題”色變，一味地批評與指責(zé)學(xué)生做錯了題目，而應(yīng)巧妙利用這些做錯的數(shù)學(xué)題目，讓這些做錯的數(shù)學(xué)題目成為推動學(xué)生提升復(fù)習(xí)效率的一筆寶貴財富。在日后的初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教育實踐中，筆者將進一步對初中數(shù)學(xué)錯題集的整理與運用進行更深入的探索，以優(yōu)化與創(chuàng)新初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的形式，讓學(xué)生以錯題集為載體，更有效、更高質(zhì)量地學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)知識，切實提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率。

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徐向明.吃“苦果”嘗“甜頭”：探究初中數(shù)學(xué)錯題集的運用方法[J].數(shù)學(xué)大世界（小學(xué)五六年級版），2019（10）：82-84.

黃艷娜.初中數(shù)學(xué)錯題集的使用對數(shù)學(xué)教學(xué)的重要性[J].中外交流，2019（36）：195.

作者簡介：林仁果（1972.1-），男，福建仙游人，任教于福建省莆田市仙游縣第三中學(xué)，一級教師，2020年8月被評為“仙游縣優(yōu)秀教育工作者”。