【摘? ?要】關注思維發(fā)展的數學學習，要引領學生從已有經驗的“原點”走向思維生長的“遠點”?；凇耙活}一課”的“魔方表面涂色問題”教學，借助直觀的幾何模型，學生“由淺入深，通過遞進式探究學習推進思維深度;由此及彼，通過從特殊到一般的遷移擴展提升思維靈活度”，積累尋找規(guī)律、解決問題的思維經驗。

【關鍵詞】思維生長;涂色問題;空間觀念;一題一課

數學的本質是思維，幫助學生學會思維是數學教學的基本目標。數學思維的發(fā)展，要植根于學生已有知識經驗的“原點”，要撬動學生生長需要的“支點”，要引領學生在開闊、縱深的思維場中通往生長的“遠點”。

基于“一題一課”的“魔方表面涂色問題”教學，從小學生的認知視角出發(fā)，提供可拆分的正方體學具，讓學生借助直觀的幾何模型，通過遞進式探究學習推進思維深度，真正經歷探究過程，發(fā)現其中蘊含的規(guī)律。聚焦“一題”，充分挖掘其背后所承載的價值，進行教學設計，可幫助學生實現從特殊到一般的遷移擴展，提升思維靈活性，積累尋找規(guī)律、解決問題的思維經驗，發(fā)展空間觀念和推理能力。

【教學過程】

一、情境引入，提出問題

師：請看大屏幕，你認識它嗎？（出示圖1）

生：它是一個七階魔方。

師：這個魔方是個什么圖形？

生：正方體。

師：正方體有什么特征？

生：正方體有8個頂點，12條棱，6個面。

（板書：8個頂點，12條棱，6個面）

生：這個魔方中的小正方體一共有7×7×7=343個。

師：如果只在七階魔方的表面涂上顏色，那么每個小正立方體被涂上顏色的面數一樣多嗎？

生：不一樣。

師：猜一猜，會出現哪幾種不同的涂色情況？

生：我猜有3面涂色的、2面涂色的、1面涂色的，還有0面涂色的小正方體，一共有四類不同情況。

師：學習數學需要大膽地猜想，更應該小心地驗證。這就是我們今天要研究的“魔方表面涂色問題”。（板書課題）

（設計意圖：利用學生喜聞樂見的智力魔方，能迅速引發(fā)其學習欲望，在回顧正方體特征的過程中，借助直觀的幾何模型讓學生充分感知立體圖形，發(fā)展空間觀念。）

二、展開探究，解決問題

師：古代先哲老子說“天下難事，必作于易”。你們知道是什么意思嗎？

生：意思是說，要解決天下的困難大事，必須從容易處著手。

師：為你點贊，在數學上表現為化難為易、化繁為簡。（板書：化繁為簡）研究七階魔方這樣復雜的問題，我們可以先從簡單的、常見的魔方開始。

1.自主探究，探索規(guī)律

師：老師給每個小組準備了一個可拆分的“三階魔方”。下面以小組為單位研究魔方表面涂色問題，注意明確活動要求。

活動要求：

（1）找一找：三階魔方中每類涂色小正方體分別在大正方體的什么位置？各有幾個？

（2）想一想：五階魔方中每類涂色小正方體在大正方體中的位置變化了嗎？各有幾個？

（3）理一理：根據表中記錄的數據，你有什么發(fā)現？

（設計意圖：讓學生體會到從七階魔方入手比較困難，感受化繁為簡、探索規(guī)律、解決問題的必要性。提供可拆分的學具，便于學生直觀地找出小正方體表面的涂色及隱藏在中心沒有涂色的小正方體。經歷從三階到五階的探究過程，有利于學生建立數學模型，為發(fā)現規(guī)律積累活動經驗。）

2.分享交流，發(fā)現規(guī)律

生：在三階魔方中，3面涂色的小正方體都在大正方體的頂點位置，所以共有8個;2面涂色的小正方體在每條棱的中間，共有12個;1面涂色的小正方體在每個面中間，共有6個;0面涂色的在大正方體正中心，只有1個。

師：你們是怎么得到這些結論的？

生：我先觀察三階魔方，不確定時就“掰”開來數一數。

師：這位同學用了一個動詞——“掰”，非常形象！我們通過課件再來數一數，看看他們“掰”開來數得是否正確。

（課件動態(tài)演示幾種情況，如圖2）

師：通過課件動態(tài)演示，我們可以直觀地數出：魔方頂點位置的小正方體3面涂色，共有8個;每條棱中間位置的這個小正方體2面涂色，共6個;魔方每一個面（9個小正方形）中間位置的小正方體1面涂色;整個魔方正中心位置的這個小正方體沒有涂色，1個沒有涂色。那么，五階魔方中的涂色情況是怎樣的？

生：五階魔方中，3面涂色的也是8個，都在頂點位置;2面涂色的36個，在大正方體的棱中間的位置;1面涂色的54個，在大正方體每個面的中間;0面涂色的27個，在大正方體的中心位置。

師：同樣，我們通過課件演示，再來數一數。

（課件動態(tài)演示幾種情況，如圖3）

生：我發(fā)現三階和五階魔方中，涂色3面的小正方體個數相同，都是8個，且都在頂點位置。

師：不錯的發(fā)現！2面涂色、1面涂色和0面涂色的小正方體是否也有規(guī)律？

生：各類涂色小正方體所在的位置都沒有變化。

師：非常棒，你找到了它們的位置特征。那么，個數上是否也存在一定的規(guī)律？

生：2面涂色個數=（階數-2）×12，1面涂色個數=（[階數-2]）[2]×6，0面涂色個數=（[階數-2]）[3]。

師：這些算式中都有一個“階數-2”，說說你們是怎么想的。

生：階數就是大正方體每條棱長上小正方體的個數，3面涂色的小正方體都在大正方體頂點位置，2面涂色的是（階數-2）。1面涂色的正好是邊長為（階數-2）的正方形，0面涂色的在大正方體正中心，是棱長為（階數-2）的正方體。

師：不但結論正確，而且思路清晰。掌聲表揚！

師：此刻，請想象一下，七階魔方表面涂色，各類涂色的小立方體分別有多少個？把數據記錄在表格中。

（設計意圖：經歷過程比得出結果更重要。從三階魔方的“掰”開來數，到五階魔方的想象中數，從通過幾何模型感知“數”與“形”之間的聯系，到適時追問并運用課件動態(tài)演示，其目的都是讓學生將直觀的經歷內化為個體的理解，并能對最終得出的規(guī)律進行合理解釋，即經歷推理的過程。）

3.深度探究，解釋規(guī)律

師：如果繼續(xù)研究下去，在n階魔方表面涂色，可以怎樣表示前面的規(guī)律？（學生獨立思考后，與同桌交流討論）

生：在n階魔方中，3面涂色的還是8個，2面涂色的是（n-2）×12個，1面涂色的是（n-2）2×6個，0面涂色的是（n-2）3個。

（根據學生的回答，利用小棒教具直觀演示）

師：通過觀察、想象和總結，我們發(fā)現了各類涂色小正方體的個數與大正方體的頂點、棱、面都有著密切聯系。（形成板書，如表1）

（設計意圖：將探究內容從可見的一定階數的魔方推進至用字母表示的抽象正方體，從探究魔方表面涂色問題推向發(fā)現正方體表面涂色的一般規(guī)律，學生在從一維到二維，再到三維的空間轉換中，不斷內化對數學模型的理解，豐富和積累解決問題的基本活動經驗。）

三、鞏固應用，抽象拓展

1.學以致用，應用規(guī)律

師：剛才，我們一起解決了七階魔方表面涂色問題。現在，八階、九階魔方的表面涂色問題，你們能解決了嗎？

師：其實不管幾階魔方，都是正方體，只要應用這些規(guī)律，就可以順利解決正方體表面涂色問題。那么，如果在長方體表面涂色，我們能用同樣的思維方式遷移到長方體來解決問題嗎？

2.類比遷移，思維關聯

出示：如圖4，把一個長方體的六面都涂上顏色，再沿著長、寬、高把它切成若干個相同的小正方體，3面、2面、1面和0面涂色的小正方體各有幾個？

生：我發(fā)現，8個頂點位置的小正方體還是3面涂色。2面涂色、1面涂色和0面涂色的小正方體所處位置與魔方中相同，只是計算起來好像又不一樣。

生：其實，本質上是相同的。只是正方體12條棱長相等，而在長方體中計算（n-2）時，需要區(qū)分是長、寬，還是高，也就是（ɑ-2）、（b-2）、（h-2）。

師：好一個本質上相同！透過現象看到本質，才能讓我們的思維更清晰、更通透！

（設計意圖：正方體是特殊的長方體，將正方體表面涂色這一特殊情況遷移到長方體中解決一般問題，即從“一題”走向“一類”。這樣的遷移，既對學生進行了解決問題的方法指導，也促使學生的數學思維更具深刻性。）

四、微課鏈接，關聯生活

微課鏈接：三階魔方中，3面涂色的8個叫角塊，2面涂色的12個叫棱塊，1面涂色的6個叫中心塊。0面涂色的那1個小立方體在真正的魔方中是不存在的，因為魔方轉動時，需要有一個用來支撐的中心軸，那個中心軸占據了這個位置。

【教學思考】

一、幾何直觀：植根已有知識經驗的“原點”

精準把握學生已有知識經驗的“起點”，引發(fā)數學學習與學生已有認知之間的沖突，可以激發(fā)學生思考、探究和解決問題的內在需求?！澳Х奖砻嫱可珕栴}”重在經歷探索過程，而不是規(guī)律的應用。教師可在學生充分感受到用原有的經驗和方法解決問題有困難時，提供可拆分的“魔方”，通過任務驅動，讓學生借助“真實”直觀的幾何模型，從已有的思維“原點”出發(fā)，動手、動口、動腦，多種感官協調活動，不斷拓寬獲取數學知識的渠道。學生在經歷探索規(guī)律、發(fā)現規(guī)律和解釋規(guī)律的整個過程中，多角度感悟其中蘊含的數學思想，豐富與積累思維活動經驗，感受數學思考的無窮魅力。

二、空間觀念：撬動生長需要的“支點”

認知心理學認為，學生學習知識的過程就是不斷同化與順應的過程。引導學生從已有知識經驗的“原點”躍至深層次的思維“遠點”，空間觀念這個支點至關重要。從“掰”開來找一找到想一想的過程，正是幫助學生從通過觀察建立直觀表象，走向根據直觀進行推理想象。學生在活動中經歷了從具體形象到本質抽象的轉化過程，發(fā)展了空間觀念和數學思維能力。

三、通透思維：走向思維生長的“遠點”

學生在課堂教學中的學習表現、感悟、體驗，是未來“遠點”成長的基石。正方體表面涂色問題中的探索規(guī)律只是個例子，將探究內容遷移擴展到長方體中解決問題，不僅讓學生進一步感悟到正方體和長方體之間的密切聯系，而且豐富了學生數學學習和解決問題的經驗。從特殊走向一般，從“一題”推進“一類”，學生的數學認知不斷豐富，思維逐步走向通透。課尾，通過微課展示的知識鏈接，讓教學從課堂再次回歸到生活，通過對魔方的各部分名稱和中心軸問題加以說明，讓學生逐步學會用數學的眼光解釋生活中的現象，感受數學無處不在的應用價值。

如此，“一題一課”教學關注的是不僅僅是分類計數問題中規(guī)律的探索，也關注對學生解決問題方法的指導，引領學生真正實現從已有知識經驗的“原點”走向思維生長的“遠點”，提升數學學習能力，發(fā)展核心素養(yǎng)。

參考文獻：

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[2]謝東伊.借助直觀? ?經歷過程? ?發(fā)展思維：人教版五下《探索圖形》教學實踐與思考[J].數學教學通訊，2017（10）.

[3]董春艷.滲透思想? ?感悟方法：“探索圖形”教學實踐的思考[J].基礎教育論壇，2021（5）.

（浙江省杭州市錢塘區(qū)教師教育學院? ?310018）