朱國榮 朱術(shù)磊

小學(xué)“尺規(guī)作圖”的研究

近期，教育部頒布了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，在小學(xué)階段增加了尺規(guī)作圖的內(nèi)容，引發(fā)了小學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者的廣泛關(guān)注與思考。尺規(guī)作圖具體指什么？尺規(guī)作圖的教育價(jià)值是什么？如何在小學(xué)階段開展尺規(guī)作圖？浙江省特級(jí)教師朱國榮老師帶領(lǐng)其研究團(tuán)隊(duì)，以“畫線段”“畫三角形”“畫角”三項(xiàng)教學(xué)內(nèi)容為載體，厘清了小學(xué)數(shù)學(xué)“尺規(guī)作圖”的學(xué)理意蘊(yùn)及教學(xué)路徑。本刊選取其部分研究成果，以期能給熱衷于尺規(guī)作圖研究的一線教師以借鑒與引領(lǐng)。

【摘? ?要】尺規(guī)作圖是“2022年版課標(biāo)”小學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域中的新增內(nèi)容，是提高學(xué)生動(dòng)手操作能力、發(fā)展學(xué)生幾何直觀的重要載體。只有厘清尺規(guī)作圖的學(xué)理意蘊(yùn)，明晰尺規(guī)作圖的教學(xué)路徑，才能準(zhǔn)確把握尺規(guī)作圖的教學(xué)價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生在尺規(guī)作圖相關(guān)內(nèi)容的探究、學(xué)習(xí)中，掌握知識(shí)技能，發(fā)展幾何直觀，培養(yǎng)空間觀念。

【關(guān)鍵詞】尺規(guī)作圖;學(xué)理意蘊(yùn);教學(xué)路徑;幾何直觀

尺規(guī)作圖是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“2022年版課標(biāo)”）小學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域中的新增內(nèi)容，是提高學(xué)生動(dòng)手操作能力，發(fā)展學(xué)生幾何直觀的重要載體。尺規(guī)作圖是指用無刻度直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖。直尺的作用是畫線段、射線和直線。圓規(guī)的作用是畫圓，或截取相等的長度。本文從闡釋尺規(guī)作圖的學(xué)理意蘊(yùn)出發(fā)，結(jié)合三個(gè)典型課例明晰小學(xué)尺規(guī)作圖的教學(xué)路徑。

一、探物明理：厘清尺規(guī)作圖的學(xué)理意蘊(yùn)

2022年版課標(biāo)中，小學(xué)階段“尺規(guī)作圖”有三個(gè)課程內(nèi)容：一是“會(huì)用直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段”;二是“經(jīng)歷用直尺和圓規(guī)將三角形的三條邊畫到一條直線上的過程，直觀感受三角形的周長”;三是“經(jīng)歷基于給定線段用直尺和圓規(guī)畫三角形的過程，探索三角形任意兩邊之和大于第三條邊，并說出其中的道理……”可見，在小學(xué)階段，尺規(guī)作圖既是教學(xué)內(nèi)容，也是教學(xué)手段。教學(xué)中，學(xué)生除了掌握尺規(guī)作圖的技能，還要借助尺規(guī)作圖理解概念、探索規(guī)律，發(fā)展幾何直觀，增強(qiáng)運(yùn)用圖表描述和分析問題的意識(shí)與習(xí)慣，把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，明晰思維的路徑。

（一）分析有理有據(jù)：作圖原理痕跡化

以往的“幾何畫圖”學(xué)習(xí)中，學(xué)生直接用具有刻度的作圖工具畫出相應(yīng)的圖即可，作圖的方法與步驟較容易習(xí)得，教師很少引導(dǎo)學(xué)生思考操作背后的原理及意義。尺規(guī)作圖教學(xué)的一個(gè)重要價(jià)值在于引導(dǎo)學(xué)生在多種數(shù)學(xué)工具支撐的場(chǎng)景下，開展動(dòng)腦思考、動(dòng)手做數(shù)學(xué)的挑戰(zhàn)性創(chuàng)造活動(dòng)，以此提高學(xué)生的幾何直觀。為此，教學(xué)過程要特別重視得出作圖方法的分析過程，引導(dǎo)學(xué)生在充分分析圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，建立起直觀操作與抽象想法之間的聯(lián)系，讓學(xué)生對(duì)于自己的作圖過程“有跡可尋”，明白作圖的基本原理及意義。學(xué)生在作圖過程中，會(huì)逐步養(yǎng)成有理有據(jù)思考作圖的意識(shí)。

（二）操作有條有理：作圖思考可視化

古希臘時(shí)期，幾何作圖就有了限定，根據(jù)這種限定，利用直尺、圓規(guī)作圖可以有五種方法：（1）過兩個(gè)已知點(diǎn)可以作一條直線。（2）確定兩條已知直線的交點(diǎn)。（3）以已知點(diǎn)為圓心，以已知長為半徑作一個(gè)圓。（4）確定已知直線和已知圓的交點(diǎn)。（5）確定兩個(gè)已知圓的交點(diǎn)。這些方法是客觀明確不需要證明的，所以這幾條也稱為作圖公法。從上面的描述來看，一個(gè)作圖問題，如果可以分解為有限次作圖公法來完成，這是尺規(guī)作圖可能問題。強(qiáng)調(diào)尺規(guī)作圖也就是在強(qiáng)調(diào)幾何學(xué)習(xí)對(duì)訓(xùn)練邏輯思維能力的特殊作用。在尺規(guī)作圖教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用圖形的性質(zhì)及圖形之間的關(guān)系去分析問題，有條有理地進(jìn)行作圖，不僅可以發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，還能有效地培養(yǎng)他們的邏輯思維能力。

（三）驗(yàn)證有道有術(shù)：作圖想象多樣化

在尺規(guī)作圖過程中，學(xué)生會(huì)經(jīng)歷嘗試、想象、分析、思考、驗(yàn)證等思維過程。因此，教師教學(xué)時(shí)應(yīng)該學(xué)會(huì)傾聽，給予學(xué)生學(xué)習(xí)上的支持。如在“畫等長線段”中，學(xué)生初次經(jīng)歷比較規(guī)范的尺規(guī)作圖的過程，完成根據(jù)已知線段作等長線段的活動(dòng)內(nèi)容，感受圓規(guī)兩腳之間的距離可以表示線段的長度，進(jìn)一步豐富對(duì)尺規(guī)的認(rèn)識(shí)。在“畫三角形”的過程中，學(xué)生充分發(fā)揮想象力，不斷體會(huì)兩弧的交點(diǎn)的重要意義，理解三角形第三個(gè)頂點(diǎn)確定的方法。尺規(guī)作圖是小學(xué)階段培養(yǎng)學(xué)生想象力和推理能力的載體，是可操作、可想象、可分析、可實(shí)現(xiàn)的，是學(xué)生感興趣的學(xué)習(xí)素材。學(xué)生在尺規(guī)作圖驗(yàn)證的過程中，能發(fā)展推理能力和空間觀念，增強(qiáng)幾何直觀。

二、追本溯源：明晰尺規(guī)作圖的教學(xué)路徑

史寧中教授指出，尺規(guī)作圖教學(xué)，要教想法，要教想象力，而非作圖技巧。因此，在“尺規(guī)作圖”教學(xué)過程中，教師需要充分認(rèn)識(shí)其價(jià)值，大膽探索，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷積累經(jīng)驗(yàn)的全過程。在尺規(guī)作圖中讓學(xué)生生長幾何直觀，建立幾何聯(lián)系，豐盈幾何想象，從而發(fā)展他們的空間觀念。根據(jù)2022年版課標(biāo)要求，筆者所在的研究團(tuán)隊(duì)創(chuàng)生了“畫線段”“畫三角形”和“畫角”三個(gè)緊密聯(lián)系、螺旋上升的教學(xué)內(nèi)容，明晰了小學(xué)階段尺規(guī)作圖的教學(xué)路徑。具體教學(xué)可以從以下三個(gè)方面進(jìn)行把握。

（一）抽象任務(wù)挑戰(zhàn)：直觀感知生長路徑

幾何直觀是核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一。教學(xué)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生從操作開始，對(duì)幾何對(duì)象進(jìn)行直觀感知，然后用幾何方法表達(dá)操作，這是增強(qiáng)學(xué)生幾何直觀的一種新的學(xué)習(xí)路徑。

以“畫三角形”為例，教師在引導(dǎo)學(xué)生回憶三角形的特征后，布置任務(wù)：“老師這里有三條線段，它們的長度分別是……它們其實(shí)是某個(gè)三角形的三條邊。看著它們，你能想象出這個(gè)三角形的樣子嗎？”（教師出示圖1）

教師繼續(xù)說：“我們今天的第一個(gè)任務(wù)就是要把這個(gè)三角形畫出來。請(qǐng)看，老師已經(jīng)把其中的一條邊畫好了，接下來請(qǐng)你用直尺把它畫完整，有沒有信心？”并引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)單上完成。

這樣的任務(wù)能幫助學(xué)生打通抽象與直觀之間的聯(lián)系。學(xué)生在完成這個(gè)任務(wù)的過程中，遇到了困難。他們無法找到第三個(gè)頂點(diǎn)。教師啟發(fā)學(xué)生思考：“我相信，如果有足夠的時(shí)間，大家都能找到這個(gè)頂點(diǎn)。但是，你能不能想到其他方法，使我們快速、準(zhǔn)確地找到三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)呢？”教師請(qǐng)學(xué)生進(jìn)一步思考：“用圓規(guī)怎樣快速、準(zhǔn)確地找到這個(gè)點(diǎn)呢？”讓學(xué)生嘗試用圓規(guī)找點(diǎn)畫三角形，并引導(dǎo)學(xué)生思考：“為什么這個(gè)交點(diǎn)是三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)？”

在這個(gè)例子中，借助有刻度的直尺畫出指定邊長的三角形的過程是直觀可見的，學(xué)生可以通過不斷的試誤來完成。但是用圓規(guī)和直尺畫三角形的做法是較難想到的，也是很難理解的。學(xué)生通過挑戰(zhàn)任務(wù)、思考跟進(jìn)以及微課導(dǎo)學(xué)，突破了這一學(xué)習(xí)難點(diǎn)，在作圖方法的習(xí)得中發(fā)展了幾何直觀。

（二）自由探索體驗(yàn)：概念觀聯(lián)系路徑

在相關(guān)幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，學(xué)生用尺規(guī)作圖方法作出線段、角、平行線、三角形、平行四邊形等，并思考作圖過程的邏輯依據(jù)，深化對(duì)相關(guān)圖形的性質(zhì)及其相互關(guān)系的理解。隨著學(xué)習(xí)的不斷深入，學(xué)生既需要學(xué)會(huì)運(yùn)用尺規(guī)作圖來直觀地驗(yàn)證已有幾何性質(zhì)和圖形的關(guān)系，又能用關(guān)聯(lián)的幾何知識(shí)來解釋尺規(guī)作圖的基本原理和方法。

在“畫線段”的學(xué)習(xí)中，研究團(tuán)隊(duì)經(jīng)過思考和討論，決定把“給定一條線段做等長線段”及“將三角形的三條邊畫到一條直線上”這兩個(gè)內(nèi)容放在一個(gè)課時(shí)中完成。目的是讓學(xué)生了解尺規(guī)作圖的含義，會(huì)用直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段，了解作圖的道理，同時(shí)保留作圖的痕跡，經(jīng)歷自主探索三角形周長的過程，感知線段長度的可加性，一般性地理解圖形的周長（如圖2）。

本節(jié)課是學(xué)生第一次在小學(xué)階段接觸“尺規(guī)作圖”，我們以“畫線段”為核心，引導(dǎo)學(xué)生用直尺和圓規(guī)作給定線段的等長線段，借助用直尺和圓規(guī)作圖的方法，引導(dǎo)學(xué)生自主探索三角形的周長，感知線段長度的可加性，一般性地理解圖形的周長。通過直觀感受圖形的性質(zhì)，學(xué)生將這些圖形之間的性質(zhì)進(jìn)行聯(lián)系，增強(qiáng)幾何直觀。

（三）練習(xí)延伸創(chuàng)思：想象力豐盈路徑

空間想象能力是指對(duì)空間形式進(jìn)行觀察、分析、抽象和概括的能力。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)展空間想象能力要求學(xué)生必須對(duì)空間形式進(jìn)行深入的觀察。以“畫線段”為例，在課的拓展練習(xí)環(huán)節(jié)中，教師以“尋寶”為情境：有一塊正方形草坪ABCD，被對(duì)角線分成了四個(gè)三角形的區(qū)域。在這塊草坪上，某個(gè)點(diǎn)的下面藏著一個(gè)寶物。藏寶人給大家提供了兩個(gè)尋寶錦囊，里面有尋寶的線索。你們想先打開哪個(gè)？學(xué)生首先通過錦囊1中提供的“尋寶信息”，明確寶物距離點(diǎn)A的長度等于正方形的邊長，并動(dòng)手操作，自己找寶物。經(jīng)過集體討論后，學(xué)生意識(shí)到：寶物位置不確定，這一條弧上都有可能有寶藏。隨后，打開錦囊2：“寶物距離點(diǎn)B的長度等于對(duì)角線的一半。”根據(jù)錦囊1給出的條件，我們畫出了一條弧線，這條弧上的點(diǎn)都有可能是寶物，所以單靠這個(gè)錦囊是找不到寶物的。再通過錦囊2，也畫出了一條弧線，這條弧線上的點(diǎn)距離點(diǎn)B的長度都等于對(duì)角線的一半。這兩條弧線交叉的地方就是寶物的位置，因?yàn)檫@個(gè)點(diǎn)既滿足了錦囊1的條件，又滿足了錦囊2的條件。整個(gè)“尋寶”過程，讓學(xué)生進(jìn)一步理解了尺規(guī)作圖的原理：因?yàn)閳A規(guī)兩腳之間的距離始終沒有改變，所以同一條弧上的任意一點(diǎn)到中心點(diǎn)的距離都相等。這為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)用尺規(guī)作三角形和掌握?qǐng)A的本質(zhì)打下了基礎(chǔ)，豐盈了學(xué)生的空間想象力。

三、反思內(nèi)?。撼咭?guī)作圖的實(shí)踐感悟

軌跡和作圖能加強(qiáng)學(xué)生分析和全面觀察問題的能力，并加深對(duì)幾何各部分關(guān)系的理解。本次關(guān)于“尺規(guī)作圖”這一內(nèi)容的教學(xué)實(shí)踐中，團(tuán)隊(duì)主要研究了“畫線段” “畫三角形”和“畫角”三個(gè)內(nèi)容，學(xué)生在這樣的學(xué)習(xí)中，不僅鍛練了邏輯思維能力，還發(fā)展了幾何直觀，從而讓“畫圖”學(xué)習(xí)有方向、有思考、有趣味。

（一）邏輯訓(xùn)練內(nèi)生：學(xué)生“畫圖”有方向

錢偉長教授指出，數(shù)學(xué)訓(xùn)練是一切訓(xùn)練的基礎(chǔ)。訓(xùn)練使我們的下一代能夠懂得在某個(gè)特定條件下會(huì)發(fā)生什么事情，用正確的邏輯思維就可以做推論，就可以使我們將來的行為不再是靠“拍腦袋”決定。錢偉長教授的意見對(duì)于我們探索尺規(guī)作圖的教育功能有很強(qiáng)的指導(dǎo)性。學(xué)生在“畫線段”的學(xué)習(xí)中，不斷在想怎么畫，并且思考畫圖的步驟，留下作圖痕跡，不但積累了畫圖的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，而且在畫圖中發(fā)展了邏輯思維能力。通過這樣的操作活動(dòng)，學(xué)生能自然生長幾何直觀，同時(shí)也對(duì)“尺規(guī)作圖”的學(xué)習(xí)有了初步認(rèn)識(shí)。

（二）圖表描述悟行：學(xué)生“畫圖”有思考

在幾何內(nèi)容學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生用尺規(guī)作圖畫出線段、角、三角形等，有助于學(xué)生對(duì)相關(guān)圖形的性質(zhì)及其相互關(guān)系進(jìn)行深度理解。從某種意義上說，這其實(shí)也是一種思維抽象化的過程。隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不斷深入，思考問題就會(huì)越來越一般化，圖形對(duì)象的抽象程度會(huì)不斷提高，也就形成了某些“數(shù)學(xué)感覺”，這些“數(shù)學(xué)感覺”或是幾何直觀，或是空間意識(shí)，或是推理意識(shí)，或是創(chuàng)新意識(shí)。

（三）概念理解潤心：學(xué)生“畫圖”有趣味

對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，幾何問題是一個(gè)學(xué)習(xí)難點(diǎn)。在“尺規(guī)作圖”的學(xué)習(xí)中，教師不能一味地追求學(xué)生對(duì)圖形特征概念的理解、對(duì)作圖技巧的掌握等，而是需要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)“尺規(guī)作圖”的學(xué)習(xí)興趣。如在“畫角”的學(xué)習(xí)過程中，教師通過動(dòng)態(tài)演示的方法，使調(diào)試的過程惟妙惟肖，讓學(xué)生的“畫圖”更有趣味。

對(duì)數(shù)學(xué)教育的認(rèn)識(shí)，仁者見仁，智者見智。重要的是，每個(gè)數(shù)學(xué)教育工作者都在實(shí)踐與思索，真理總是會(huì)在各種意見的爭(zhēng)鳴中，在未來的實(shí)踐中凸顯出來，每一項(xiàng)人類科學(xué)成果都會(huì)在這中間占據(jù)一個(gè)適當(dāng)?shù)奈恢?。如何挖掘尺?guī)作圖對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的教育功能，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)幾何學(xué)習(xí)對(duì)象由直觀感性的操作上升到理性邏輯的認(rèn)識(shí)，并在這一過程中發(fā)展幾何直觀，更是一個(gè)需要進(jìn)一步探索的新主題。

參考文獻(xiàn)：

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（浙江省嘉興教育學(xué)院? ?314000）