談?wù)勥\(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解題的思路

王燁斐

數(shù)學(xué)歸納法是證明與自然數(shù) n 有關(guān)命題的重要方法，是從特殊到一般的推理方法.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟如下：

1.若 n0是滿(mǎn)足條件的最小整數(shù)，需先驗(yàn)證 n = n0時(shí)命題是否成立;

2.假設(shè) n = k（k ≥ n0 ， n ∈ N）時(shí)命題成立，據(jù)此進(jìn)行推理、運(yùn)算，證明當(dāng) n = k +1時(shí)，命題也成立

3.得出結(jié)論：對(duì)任意 n ≥n0 ， n ∈ N ，命題均成立.下面舉例說(shuō)明.

例1.若 n ∈ N ，且 n ≥5，證明：2n > n2.證明：①當(dāng) n =5時(shí)，2n =32，n2=25，故不等式2n > n2成立;

②假設(shè) n = k（k >5）時(shí)，2k > k2成立，

當(dāng) n = k +1時(shí)，2k +1=2×2k >2k2= k2+ k2，因?yàn)?k2+ k2> k2+5k > k2+2k +1=（k +1）2，

所以2k +1>（k +1）2，即當(dāng) n = k +1時(shí)，2n > n2成立，綜上所述，n ∈ N ，且 n ≥5，2n > n2成立.

本題中 n 的初始值為5，需從 n =5時(shí)開(kāi)始驗(yàn)證不等式是否成立，再假設(shè)當(dāng) n = k 時(shí)不等式成立，將其作為已知條件，利用不等式的傳遞性和可加性證明當(dāng) n = k +1時(shí)不等式成立，從而證明對(duì)任意自然數(shù) n ≥5不等式都成立.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)需注意：? （1）首先確定初始值n0 ，有些命題不一定從 n =1開(kāi)始成立，可從任意一個(gè)正整數(shù) n0開(kāi)始，此時(shí)需從 n = n0 開(kāi)始驗(yàn)證命題是否成立;（2）在假設(shè) n = k 命題成立時(shí)，要注意 k ≥n0 ，以保證遞推的連續(xù)性;（3）將 f （k）拓展至 f （k +1）時(shí)，常需采用放縮法，對(duì)不等式進(jìn)行放大或縮小，以證明不等式成立.

例2.若數(shù)列{an }的通項(xiàng)公式為 an = ，數(shù)列{bn }的通項(xiàng)公式為 bn =（1- a）（1- a2）???（1- an ）.求證：bn =.

證明：①令 n =1，b1=（1- a1）=（1-4）=-3，滿(mǎn)足 bn =;

②假設(shè)當(dāng) n = k 時(shí)，bk =， bk =（1- a）（1- a2）???（1- ak），

當(dāng)n = k +1時(shí)，bk +1=（1- a）（1- a2）???（1- ak）（1- ak +1），

可得=1- ak +1，

則bk +1= bk （1- ak +1）=（1-2k）（1- ak +1）

2k +1??????? 2k +3?? 2（k +1）+1

=（1-2k）?= -1-2k =1-2（k +1），

滿(mǎn)足bn =.所以命題得證.

由 n = k 時(shí)的命題證明n = k +1時(shí)的命題成立，要將 n = k 時(shí)的命題作為推理、運(yùn)算的條件，并尋找 n = k +1與 n = k 時(shí)命題之間的聯(lián)系，通過(guò)因式分解、添拆項(xiàng)、配方等方式進(jìn)行恒等變換，從而證明當(dāng) n = k +1時(shí)命題也成立.

例 3 .某平面內(nèi)有 n 條直線(xiàn)，其中任何兩條直線(xiàn)不平行，三條直線(xiàn)不相交于同一點(diǎn)，證明：這 n 條直線(xiàn)有Pn = 1 2 n（n - 1） 個(gè)交點(diǎn).

證明：①當(dāng)n =2時(shí)，P2=1，命題成立;

②假設(shè) n = k（k >2）時(shí)，命題成立，即 k 條直線(xiàn)共有Pn = n（n -1）個(gè)交點(diǎn);

③當(dāng)n = k +1時(shí)，直線(xiàn)有 k +1條，

因?yàn)槠渲腥魏蝺蓷l直線(xiàn)不平行，三條直線(xiàn)不相交于同一點(diǎn)，

所以新增的一條直線(xiàn)與原來(lái)的 k 條直線(xiàn)均有1個(gè)交點(diǎn)，即新增了 k 個(gè)交點(diǎn)，

此時(shí)Pk +1= Pk + k=k（k -1）+ k = k（k -1）=（k -1）?[（k +1）-1]，即當(dāng) n = k +1時(shí)，命題成立.

綜上所述，對(duì)任意自然數(shù) n ，這 n 條直線(xiàn)有

Pn = n（n -1）個(gè)交點(diǎn).

解答本題的關(guān)鍵在于由 n = k 時(shí)的命題成立推出在 n = k +1時(shí)的命題成立.需明確 n 從 k 到 k+1的轉(zhuǎn)變過(guò)程中，對(duì)Pn的影響，并重點(diǎn)分析 k 條直線(xiàn)所形成的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與 k+1條直線(xiàn)所形成的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)之間的差異以及聯(lián)系.

總之，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題，要按照上述兩個(gè)步驟對(duì)命題進(jìn)行證明，這樣才能確保對(duì)任意 n ≥n0 ， n ∈ N ，命題均成立.同時(shí)，同學(xué)們要重視培養(yǎng)運(yùn)算、觀察、邏輯推理能力，這樣才能靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)順利證明命題.