申燁暉 李苗

[摘? 要] 數(shù)學概念是數(shù)學學習的核心內(nèi)容，在對數(shù)學教材的閱讀過程中要注重對數(shù)學概念的閱讀理解，教育數(shù)學通過對概念、命題、例題和習題等內(nèi)容的再創(chuàng)造式整理，促進概念從陳述性知識向程序性知識的轉(zhuǎn)變，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和實踐能力.

[關鍵詞] 概念;認知策略;知識分類;教育數(shù)學

學生對數(shù)學教材的閱讀是發(fā)展學生數(shù)學閱讀能力的重要方式，因為數(shù)學學習的核心問題是概念學習，所以對數(shù)學教材的閱讀主要是針對概念的閱讀理解. 教材知識的常見呈現(xiàn)方式為概念、命題、例題和習題等形式，由于例題和習題在數(shù)學教材中所占比例較大，評價方式也多是以習題的形式出現(xiàn)的，在數(shù)學學習中經(jīng)常會出現(xiàn)“輕概念，重練習”的情況，概念教學也經(jīng)常是“告訴”而非“生成”. 由于忽略了概念閱讀在數(shù)學學習中的統(tǒng)領和起始作用，使得學生對數(shù)學閱讀的路徑比較模糊，很難獲得數(shù)學閱讀能力的發(fā)展.

數(shù)學閱讀能力是對數(shù)學閱讀起調(diào)節(jié)作用的個性心理特征，它是一種數(shù)學關鍵能力. 廣義的知識分類認為：其中陳述性知識主要是概念和命題等內(nèi)容，程序性知識主要是例題和習題等解題過程.程序性知識又可以分為智慧智能和認知策略兩大類，智慧智能是指通過練習，其操作能達到相對自動化程度，很少或不需要受意識控制的程序化知識;而受意識控制難以達到自動化程度的程序知識就是認知策略. 學生數(shù)學能力的發(fā)展在很大程度上是在以認知策略為主要目標的教學形式中實現(xiàn)的[1]，而培養(yǎng)學生數(shù)學關鍵能力的途徑是從知識理解到知識遷移，最終實現(xiàn)知識創(chuàng)新.知識理解、知識遷移和知識創(chuàng)新又依次為學生數(shù)學核心素養(yǎng)的三級表現(xiàn)形態(tài)[2]. 所以從知識理解到知識創(chuàng)新的過程也是把陳述性知識向程序性知識轉(zhuǎn)化，再利用程序性知識解決新問題的過程. 從教材知識常見呈現(xiàn)方式上研究，就是首先形成對概念、命題等知識的動態(tài)認知，其次在解決例題和習題等過程中形成對概念的認知策略，最后將概念的認知策略在新的問題情境中再次應用的過程.

在學生學習的過程中，如果把一個概念作為靜態(tài)的知識來處理，它們就是陳述性知識;如果把它們用于解決問題，它們就是程序性知識，陳述性知識是可以轉(zhuǎn)化為程序性知識的. 張景中院士站在教育數(shù)學角度提出從幾個核心知識點出發(fā)，向數(shù)學的整個知識體系進行拓展，在新知識體系的應用過程中培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力. 張奠宙教授也提出把數(shù)學知識從學術形態(tài)轉(zhuǎn)化成學生容易接受的教育形態(tài)，并且指出教育形態(tài)的數(shù)學就是教育數(shù)學. 很明顯數(shù)學知識的學術形態(tài)主要是陳述性知識，而其教育形態(tài)是要形成程序性知識，在解決問題的過程中深入理解概念. 李尚志教授在對教育數(shù)學的進一步闡述中認為：不是把問題的答案作為新知識灌輸給學生，而是把它們作為應用舊知識解決新問題的習題來講解，希望學生在用舊知識做新習題的過程中提高解決問題的能力，在不知不覺中發(fā)現(xiàn)新知識[3]. 這是當前教育數(shù)學對教學內(nèi)容再創(chuàng)造式整理的界定. 這里問題的答案往往是學術結果，把它灌輸給學生，明顯就是以陳述性知識為主要目標的教學形式，而在用舊知識解決新習題的過程中發(fā)現(xiàn)新知識，明顯就是以認知策略為主要目標的教學形式.

不論是從信息加工心理學角度，還是從教育數(shù)學對數(shù)學知識的再創(chuàng)造式整理角度，教師都要讓概念在知識理解、知識遷移和知識創(chuàng)新的過程中成為便于學生認知的動態(tài)的知識，能夠用于解決一系列有足夠難度的題目. 因此在例題和習題的教學中，教師要引導學生深入理解概念在它們中的作用，形成概念網(wǎng)絡，明晰閱讀數(shù)學教材的路徑，發(fā)展學生的數(shù)學閱讀能力.

知識理解：在例題學習中形成概念網(wǎng)絡

利用數(shù)學概念解決數(shù)學問題，使得數(shù)學概念的認知過程成為一個動態(tài)的過程，使得學生理解的概念不是簡單的文字描述，更多的成為認知策略. 學生學習例題和解決習題，一方面形成數(shù)學基本技能，一方面也加深了對知識之間各種聯(lián)系的理解，形成數(shù)學知識網(wǎng)絡.

（人教版九下P76例5）如圖1所示，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80 n mile的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處. 這時，B處距離燈塔P有多遠（結果取整數(shù)）？

解：如圖1所示，在Rt△APC中，

PC=PA·sin65°=80×sin65°≈72.505.

這是一個很常見的例題，各個版本教材都選擇了類似的題目. 此題學生解決了三個問題：①對于非直角三角形，需要根據(jù)題目需要，過頂點作對邊的高，形成兩個直角三角形，強化了使用正弦時的前提條件是在直角三角形中，這是對概念前提條件的理解. ②已知一個角的正弦值和斜邊，可以求角的對邊. ③已知一個角的正弦值和對邊，也可以求斜邊. 這兩個問題是對正弦概念的等價定義，與正弦的概念一起形成了關于正弦概念的知識網(wǎng)絡，這樣正弦的概念就是動態(tài)的.

知識遷移：解決習題中發(fā)現(xiàn)新策略

知識遷移時要在新情境中應用知識，促進新知識的學習或者解決不同情境的問題[2]. 教育數(shù)學對于教材的習題賦予了新的價值，在解決習題的過程中，應用舊知識解決新問題，實現(xiàn)對數(shù)學知識的再創(chuàng)造式整理，這也是教育數(shù)學對現(xiàn)行數(shù)學教材的重要提升作用.

（人教版九下P85第12題）？荀ABCD中，已知AB，BC及其夾角∠B（∠B是銳角），能求出？荀ABCD的面積S嗎？如果能，用AB，BC及其夾角∠B表示S.

（北師大版九下P27第20題）一塊四邊形空地如圖3所示，求此空地的面積.（結果精確到0.01 m2）

（湘教版九上P137第14題）在銳角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，如圖5所示.

（1）△ABC的面積S與∠A，b，c之間的關系？

（蘇科版九下P121第15題）證明：銳角三角形的面積等于兩邊的長與其夾角的正弦值的乘積的一半.

尤其是北師大版和湘教版是比較典型的把利用正弦計算面積的公式轉(zhuǎn)化成利用概念解決習題的方式. 讓學生在應用正弦概念的過程中進一步理解正弦概念，使得學生對正弦概念的理解和使用是一個動態(tài)的過程，使得正弦概念發(fā)展成為一個更大的知識網(wǎng)絡.

知識創(chuàng)新：在新情境中應用新策略

2021年南京第16題）如圖7所示，將？荀ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到？荀A′B′C′D′的位置，使點B′落在BC上，B′C′與CD交于點E. 若AB=3，BC=4，BB′=1，則CE的長為______.

此題原來命題者是過點A作AM⊥BB′，過點E作EG⊥BC，通過△AMB∽△EGC，構建相似比，還利用勾股定理，在平行四邊形和等腰三角形等圖形之間進行計算，過程十分復雜. 通過面積法可以大大簡化思維和計算過程.

很明顯，教育數(shù)學應用面積法解決此題時，首先少添加了一條輔助線，其次選擇的相似三角形是十分明顯的，不需要進行復雜的證明，最后降低了計算的難度，明顯比原解法簡單. 并且教育數(shù)學的解法并沒有任何超綱的地方，所用的方法不是靠學生死記硬背得到，而是從概念發(fā)展來的認知策略. 學生表現(xiàn)出具有探究問題的意識和能力，能夠用數(shù)學的眼光判斷和分析事物，形成數(shù)學思維認識事物的世界觀和方法論，這就是數(shù)學創(chuàng)新[2].

可見，教師在數(shù)學閱讀過程中引導學生形成概念網(wǎng)絡，可以揭示概念和命題，例題和習題之間的內(nèi)在聯(lián)系. 例題和習題的教學價值是為了幫助學生建立概念網(wǎng)絡，突出概念的核心地位，明晰數(shù)學閱讀的途徑，促進概念從陳述性知識向程序性知識的轉(zhuǎn)化，使數(shù)學閱讀能力的培養(yǎng)符合學生的認知心理，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和實踐能力.

參考文獻：

[1] 喻平. 知識分類與數(shù)學教學[J]. 數(shù)學通報，2000（12）：12-14.

[2] 喻平. 數(shù)學核心素養(yǎng)評價的一個框架[J]. 數(shù)學教育學報，2017，26（02）：19-23+59.

[3] 李尚志，李立斌，賴虎強. 新思路數(shù)學[M]. 長沙：湖南科學技術出版社，2021.

基金項目：長沙市教育科學“十三五”規(guī)劃2019年度立項資助課題“初中生數(shù)學閱讀能力培養(yǎng)的實踐研究”（課題編號：CJK2019023）.

作者簡介：申燁暉（1976—），本科學歷，中學一級教師，從事初中數(shù)學教學工作.