王晉艷

[摘 要]概率與統(tǒng)計是高考數(shù)學的重要內(nèi)容。文章結(jié)合近幾年的廣西數(shù)學高考題，就如何基于核心素養(yǎng)進行高中數(shù)學概率與統(tǒng)計的教學進行了初步的探討。

[關(guān)鍵詞]核心素養(yǎng);概率與統(tǒng)計;數(shù)學建模;數(shù)據(jù)分析

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ? ? ?[文獻標識碼] ? ?A ? ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2022）15-0055-03

一、研究背景

2014年，教育部印發(fā)了《關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》，并提出了在各學段培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的要求?！镀胀ǜ咧袛?shù)學課程標準（2017年版）》中明確指出，數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析等6個方面。

數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行教學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)。數(shù)學是一門基礎(chǔ)學科，在我們的實際生活中數(shù)學無處不在，數(shù)學模型的建立、數(shù)學知識的合理運用推動了科技、工程、經(jīng)濟等方面的發(fā)展，這充分體現(xiàn)了數(shù)學的應用價值。在高中數(shù)學教學中，教師應注重培養(yǎng)學生的數(shù)學建模意識，提升學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力和數(shù)學應用能力。在數(shù)學建模過程中，通常需要對已有數(shù)據(jù)與條件進行分析，尋找合理的數(shù)學模型，所以需要有一定的數(shù)據(jù)分析能力。

學生在數(shù)學學習中若具備一定的數(shù)據(jù)分析能力，則能夠從數(shù)據(jù)中探究數(shù)學規(guī)律，尋找解決實際問題的合理方法。在學習高中數(shù)學概率與統(tǒng)計這一部分內(nèi)容時，需要學生從已有信息及數(shù)據(jù)中找出蘊含其中的數(shù)學規(guī)律，并進行合理分析，借助數(shù)學建模與數(shù)據(jù)分析解決問題。本文結(jié)合學生數(shù)學建模意識與數(shù)據(jù)分析能力的培養(yǎng)要求，就高中數(shù)學概率與統(tǒng)計的教學進行初步的探討。

概率與統(tǒng)計是中考的必考內(nèi)容。初中所學的概率與統(tǒng)計知識主要有條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、頻數(shù)與頻率、簡單的概率計算等，其中涉及的概念有平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標準差等。中考數(shù)學中對這些相關(guān)內(nèi)容的考查主要體現(xiàn)在基本概念、基本計算方法上。但近年來中考數(shù)學的題型更加靈活多樣，要求學生具備一定的數(shù)據(jù)分析能力，能用數(shù)學知識解決一些生活中的實際問題，這已經(jīng)體現(xiàn)了數(shù)學建模的初步要求。高中數(shù)學概率與統(tǒng)計的學習主要通過已有數(shù)據(jù)尋找蘊含其中的數(shù)學規(guī)律，并做出合理的預測與決策。隨著人們對“大數(shù)據(jù)”的廣泛使用，高中數(shù)學教材中概率與統(tǒng)計的內(nèi)容近年來有所增加，并得到廣大師生更多的關(guān)注。初中數(shù)學涉及平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標準差等統(tǒng)計方面的基本概念，高中數(shù)學在此基礎(chǔ)上增加的統(tǒng)計方面的內(nèi)容主要有頻率分布直方圖、莖葉圖、變量的相關(guān)關(guān)系、相關(guān)系數(shù)、一元線性回歸模型、列聯(lián)表、獨立性檢驗等;概率計算中主要增加了隨機抽樣，隨機事件的概率，古典概型，條件概率，離散型隨機變量的分布列與數(shù)字特征，超幾何分布，二項分布，正態(tài)分布，等等。與初中生相比，高中生主要是理性思維占主導，其運算能力更強，對應用題型的分析也更全面。那么，在高中數(shù)學概率與統(tǒng)計教學中，如何使學生較好地掌握知識，同時又能有效培養(yǎng)學生的數(shù)學建模意識和數(shù)據(jù)分析能力？對此，筆者有以下幾點思考。

二、教學實踐

（一）結(jié)合教學內(nèi)容和學生的特點，精心設(shè)計概率與統(tǒng)計教學的各個環(huán)節(jié)

高中數(shù)學概率與統(tǒng)計大部分內(nèi)容都來源于生活，因此教師在設(shè)計教學時應重視創(chuàng)設(shè)問題情境，以激發(fā)學生的學習興趣，幫助學生根據(jù)已有的數(shù)學知識與學習經(jīng)驗選擇適當?shù)臄?shù)學模型研究問題。一元線性回歸模型是近年來高考數(shù)學考查的“熱點”內(nèi)容之一，其涉及的數(shù)據(jù)十分繁雜，學生初學時常常無從下手，進而產(chǎn)生畏難情緒。對此，教師可適當?shù)貏?chuàng)設(shè)問題情境，引導學生建立正確的回歸方程，并進行合理的預測，為問題解決方案的提出提供有力的數(shù)據(jù)支撐。學生了解建立數(shù)學模型解題的實際意義后，能提高學習的積極性，主動進行數(shù)學問題的研究。

高中數(shù)學概率與統(tǒng)計問題中所列出的數(shù)據(jù)較多，可供選擇的數(shù)學模型也較多，究竟應選擇哪一個數(shù)學模型來解決問題，通常是學生比較糾結(jié)的事情。比如在應選擇超幾何分布還是二項分布來展開計算的時候，不少學生就很難選擇。對此，可讓學生將題型相近或易混淆的內(nèi)容進行對照學習，厘清不同模型的本質(zhì)特點，從而使學生能夠有效區(qū)分并選用正確的模型。教師還可以采取專題化的教學方法，比如在離散型隨機變量的分布列的教學中，超幾何分布與二項分布是重點內(nèi)容，教師可以引導學生開展專題學習，對多種題型進行反復深入研究，這樣有利于學生掌握相關(guān)知識。

近年來，高考數(shù)學中比較重要的統(tǒng)計內(nèi)容的考點還有獨立性檢驗，要解決其相關(guān)問題往往先要填寫列聯(lián)表，這就要求學生能從所給數(shù)據(jù)中提煉、計算出所需數(shù)據(jù)，這個過程需要學生有一定的數(shù)據(jù)分析能力。2020年高考數(shù)學全國Ⅲ卷理科第18題的考查內(nèi)容關(guān)于概率與統(tǒng)計，試題第（1）問考查頻數(shù)分布表的識別和概率的計算，第（2）問考查平均數(shù)的計算，第（3）問考查獨立性檢驗。2021年高考數(shù)學全國甲卷理科第17題的考查內(nèi)容關(guān)于概率與統(tǒng)計，試題第（1）問考查頻數(shù)分布表的識別和頻率的計算，第（2）問考查獨立性檢驗。筆者對照近幾年的高考數(shù)學全國卷理科試題發(fā)現(xiàn)，2018年、2020年、2021年關(guān)于概率與統(tǒng)計的試題第（2）或第（3）問都考查了獨立性檢驗。在進行獨立性檢驗運算前，學生必須進行前期的數(shù)據(jù)處理。因此，教師在進行獨立性檢驗的教學設(shè)計時，一方面應做好前期的鋪墊，指導學生通過頻數(shù)分布圖、頻率分布直方圖、莖葉圖等多種圖表提取相關(guān)數(shù)據(jù)并理解題意;另一方面要幫助學生厘清獨立性檢驗的原理及計算方法，為學生后續(xù)的正確計算及結(jié)論得出做好鋪墊。

精心設(shè)計教學內(nèi)容是有效教學的基礎(chǔ)，課堂教學是否達到預期目標，與教學模式有著很大的關(guān)聯(lián)。高中數(shù)學教學內(nèi)容多，傳統(tǒng)的教學通常是以教師為中心進行知識講授，學生被動接受知識，這樣的教學模式雖然能保證課堂教學的容量，但是學生缺少探究與反思的時間和機會，不利于學生提問能力和探究能力的培養(yǎng)。在新課程改革背景下，高中數(shù)學課堂教學重視學生的反思能力與探究能力的培養(yǎng)，注重留給學生一定的思考與探究時間，讓學生小組討論如何根據(jù)題意選擇正確的數(shù)學模型并展開合理運算。概率與統(tǒng)計題目的計算量通常都比較大，解題需要花費的時間也較多，導致有些教師比較注重學生對原理的理解，往往在分析完題目后就繼續(xù)下一個內(nèi)容的教學，留給學生的計算時間很少。筆者認為，正是因為概率與統(tǒng)計題目的數(shù)據(jù)多，計算容易出錯，所以更應該留給學生足夠的思考與計算時間，從而有效培養(yǎng)學生篩選數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的能力。教師還應通過現(xiàn)場演算發(fā)現(xiàn)學生解題中的思維漏洞與易錯點，及時引導學生進行修正，從而提升學生的解題能力。

（二）改變課堂教學方式，重視信息技術(shù)在高中數(shù)學概率與統(tǒng)計教學中的運用

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》中提出：高中數(shù)學課程應反映先進的教育思想和理念，關(guān)注信息化環(huán)境下的教學改革，關(guān)注學生多樣化的學習和發(fā)展需求，促進人才培養(yǎng)模式的轉(zhuǎn)變，著力發(fā)展學生的核心素養(yǎng)。

從高中數(shù)學課程標準及學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求中可以看出，社會的發(fā)展對中學生的信息運用意識與能力的培養(yǎng)有了新的要求。教師在教學中，不能僅按照傳統(tǒng)教學模式講解新知識，應當適應信息化時代的發(fā)展要求，有效運用信息技術(shù)輔助教學。針對高中數(shù)學概率與統(tǒng)計這一教學內(nèi)容，教師應該精心設(shè)計教學，將教學內(nèi)容中的情境引入、教學重難點、典型例題等在課前利用多媒體設(shè)備錄制成一個個簡短的微課。例如，在2019年人教版普通高中教科書數(shù)學選擇性必修第三冊中，學生要學習兩個變量的隨機關(guān)系，并進行一元線性回歸模型的研究與計算，這些是統(tǒng)計的“熱點”內(nèi)容之一，但無論是對原理的理解還是計算，學生初次學習時都有一定的困難。在新授課中，教師可以提前錄制與教學主題相關(guān)的微課，并根據(jù)教學實際需要在課堂中進行有選擇性的播放。學生的基礎(chǔ)有一定的差異，因此他們對同一內(nèi)容的理解與掌握也有快慢之分，如果能有涉及教學重難點及例題分析講解的微課在課后供他們再次學習加以鞏固，教學效果會更好。此外，在學生的課堂練習過程中，教師可以通過投影或拍照上傳等方式及時呈現(xiàn)學生的解答過程，找到學生的錯解原因，當堂解決“易錯點”問題。高中數(shù)學概率與統(tǒng)計題目大多文字描述長、圖表多，計算過程相對煩瑣，教師如果按照傳統(tǒng)的方式板書題目并列出每一題的詳細解答過程，必將耗費過多的教學時間，從而影響教學進度。提前錄制包含部分例題或練習題的解答過程的微課，可在一定程度上提高課堂教學的效率。

高中數(shù)學概率與統(tǒng)計的內(nèi)容多、計算難度較大，教師要通過一定量的課后作業(yè)和測試考查學生對所學知識的掌握情況。對于課后作業(yè)和測試，教師通常會講解重點題型的解答過程，并進行易錯點分析，而對于學生在解題過程中的典型錯誤，由于時間的關(guān)系，教師往往不能一一展示。隨著智能手機的普遍使用，呈現(xiàn)學生解答概率與統(tǒng)計題目過程的方式有了更多的選擇，教師可以用手機拍照，將批改作業(yè)和試卷中發(fā)現(xiàn)的優(yōu)秀答卷和典型錯誤進行數(shù)據(jù)采集。教師還可以用學生答卷的圖片制作典型的微課或PPT，在課堂講解中參照微課或PPT，對學生的錯因進行分析，讓學生發(fā)現(xiàn)解題時容易出現(xiàn)錯漏的地方，引起重視，幫助學生進行正確的建模及梳理答題思路并規(guī)范解題過程。學生解答概率與統(tǒng)計題目需要有清晰的解題思路、過硬的計算能力，也需要有準確必要的文字描述。若教師能長期堅持用信息化手段進行典型題目的收集、整理與展示，引導學生通過不同類型的數(shù)學問題尋找到正確的數(shù)學模型，并進行數(shù)據(jù)分析與處理，相信學生一定會受益匪淺。

（三）引導學生進行合作學習，強化學生探究意識，培養(yǎng)學生概率與統(tǒng)計的學習與分析能力

要提升學生概率與統(tǒng)計的學習效果，組建數(shù)學學習合作小組是一個可行的方法。教師可以組織學生走進社會進行調(diào)研，或從網(wǎng)絡(luò)上搜集生活實例及其相關(guān)數(shù)據(jù)（比如商品的銷售決策、道路的通行預測、保險的保費計算等），了解概率與統(tǒng)計知識在實際生活中的重要作用，體會建立數(shù)學模型與分析處理數(shù)據(jù)的必要性。2019年人教版普通高中教科書數(shù)學選擇性必修第三冊中有一個小節(jié)的內(nèi)容是“建立統(tǒng)計模型進行預測”，該部分提出了組建學生合作團隊，引導學生小組合作進行和概率與統(tǒng)計內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學建模活動的要求，研究過程包括背景分析、數(shù)據(jù)收集、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建模、獲得結(jié)論等。教材中明確提出對數(shù)學建模的學習要求，充分體現(xiàn)了對數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求。從掌握學習內(nèi)容和高考備考的角度出發(fā)，教師也可以組織學生以小組為單位收集概率與統(tǒng)計重點題型與易錯題型，比如頻率分布直方圖及樣本的數(shù)字特征計算、二項分布與超幾何分布的對照、一元線性回歸模型例題、獨立性檢驗常見題型等。同一學習小組的學生還可以在網(wǎng)絡(luò)上搜集與教學內(nèi)容相關(guān)的微課并觀看，然后對照教師在課堂上講解的知識點進行思考。對同一種概率與統(tǒng)計題型，從不同的角度切入進行研究與討論，這對學生概率與統(tǒng)計內(nèi)容的學習具有促進作用。學生能在自身的認知基礎(chǔ)上對概率與統(tǒng)計內(nèi)容進行分析和反思，并能在課上或課后展示學習合作小組研究的題型或數(shù)學建模主題報告，分享學習心得體會，這對數(shù)學教育教學改革有著積極的作用。小組合作學習，既能加深學生對所學知識的理解，也能充分調(diào)動學生的學習積極性與主動性，提升學生搜索、篩選信息資源的意識與能力。這個過程是教師指導下的學生自主探究、實踐的過程，它實現(xiàn)了從“要學生學”到“學生自主學習探究”的變化，體現(xiàn)了學生學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求。

總之，在高中數(shù)學概率與統(tǒng)計教學中，教師講解、學生思考、制作與運用微課、小組合作探究等方式結(jié)合使用，能有效提升教學的效果，強化學生的數(shù)學建模意識，提高學生的數(shù)據(jù)分析能力。在今后的高中數(shù)學教學中，我們希望通過不斷地探索、實踐與改進，提升概率與統(tǒng)計教學的有效性，并有效落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標。

[ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻 ? ]

[1] ?中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準：2017年版[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2] ?中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準：實驗[M].北京：人民教育出版社，2003.

[3] ?人民教育出版社，課程教材研究所，中學數(shù)學教材實驗研究組.普通高中教科書數(shù)學選擇性必修第三冊[M].北京：人民教育出版社，2019.

（責任編輯 ? ?黃春香）