王清清

摘 要：幾何是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分。由于過(guò)去數(shù)學(xué)教師的教學(xué)方法單一、教學(xué)內(nèi)容固定等問(wèn)題，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)幾何概念的理解和探究不足，無(wú)法在學(xué)習(xí)幾何的過(guò)程中獲得直觀想象、邏輯推理等良好素養(yǎng)。為了進(jìn)一步提升高中幾何教學(xué)的質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)對(duì)GeoGebra的功能進(jìn)行充分的開(kāi)發(fā)利用，使用直觀、動(dòng)態(tài)的教學(xué)手段來(lái)增進(jìn)學(xué)生的理解，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，全面提升高中幾何教學(xué)的質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);幾何教學(xué);GeoGebra

GeoGebra是一種完全免費(fèi)，并且集合了眾多幾何功能的動(dòng)態(tài)軟件，能夠有效地支持學(xué)生在高中階段的幾何學(xué)習(xí)，為學(xué)生的幾何探究提供更加理想的平臺(tái)。高中階段的學(xué)生面臨著高考?jí)毫?，而幾何是高考?shù)學(xué)的重要組成部分，只有讓學(xué)生真正理解幾何的本質(zhì)，掌握幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)方法，才能夠更好地面對(duì)高考的挑戰(zhàn)。但是在實(shí)際的教學(xué)中，由于部分教師過(guò)于強(qiáng)調(diào)幾何知識(shí)的考試作用，在教學(xué)中使用了灌輸式的手段，導(dǎo)致學(xué)生只記住了套路化的解題模板，卻沒(méi)有形成良好的能力、思維及素養(yǎng)，給學(xué)生的高效學(xué)習(xí)帶來(lái)了很大限制。在新課程改革的背景下，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)對(duì)軟件的開(kāi)發(fā)和利用，使用軟件強(qiáng)大的直觀展示功能來(lái)激活學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生能夠充分參與到幾何探究中來(lái)，了解幾何知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程，掌握幾何學(xué)習(xí)的方法，從而讓學(xué)生不僅可以掌握幾何方面的知識(shí)，更能夠收獲能力、素養(yǎng)、情感等方面的成長(zhǎng)，落實(shí)核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)。

一、GeoGebra在高中幾何教學(xué)中的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)

（一）操作簡(jiǎn)單，容易學(xué)習(xí)

GeoGebra是一種十分容易使用的軟件，能夠更好地滿(mǎn)足師生的需求，讓教師和學(xué)生在不使用說(shuō)明的前提下就能按照自己觀測(cè)到的功能制作出簡(jiǎn)單的幾何圖形，從而為教師的教以及學(xué)生的學(xué)提供更多的便利。GeoGebra繼承了傳統(tǒng)的幾何畫(huà)板功能的優(yōu)勢(shì)，可以完成幾何畫(huà)板上所有的功能，并且聯(lián)系中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際情況，對(duì)各種功能進(jìn)行了優(yōu)化，改善了傳統(tǒng)幾何畫(huà)板在應(yīng)用過(guò)程中容易出現(xiàn)的教師費(fèi)時(shí)費(fèi)力的情況，讓教學(xué)取得事半功倍的效果。另外，這一軟件是完全免費(fèi)的，因此不僅教師可以使用，學(xué)生也可以根據(jù)自己的實(shí)際情況，在課下簡(jiǎn)單學(xué)習(xí)軟件的操作，并且借此對(duì)比較復(fù)雜的幾何問(wèn)題進(jìn)行探索，讓學(xué)生擺脫傳統(tǒng)學(xué)習(xí)方式中大量重復(fù)性的操作，在更加直觀、動(dòng)態(tài)的學(xué)習(xí)環(huán)境中收獲成長(zhǎng)，養(yǎng)成良好的課后學(xué)習(xí)習(xí)慣。

（二）數(shù)形結(jié)合，同步觀察

GeoGebra的功能十分豐富，并且對(duì)各個(gè)功能進(jìn)行了劃分，將整個(gè)工作區(qū)分成了繪圖區(qū)、代數(shù)區(qū)等區(qū)域，同時(shí)還可以根據(jù)需求來(lái)制作表格，而在幾何教學(xué)的過(guò)程中，教師和學(xué)生不僅可以利用軟件的繪圖功能來(lái)制作相關(guān)的圖形，還可以從代數(shù)的角度了解圖像的相關(guān)信息[1]。比如，當(dāng)我們?cè)诶L圖區(qū)畫(huà)出來(lái)一個(gè)二次函數(shù)圖像時(shí)，代數(shù)區(qū)也會(huì)同步出現(xiàn)這個(gè)圖像的解析式，而當(dāng)我們拖動(dòng)圖像變化時(shí)，也會(huì)發(fā)現(xiàn)代數(shù)區(qū)中的數(shù)據(jù)也在發(fā)生變化，如此，有助于學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)進(jìn)行更深層次、精細(xì)化探析，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)的動(dòng)態(tài)觀察能力。

（三）多元功能，快速展示

GeoGebra的功能是十分強(qiáng)大的，教師及學(xué)生能夠根據(jù)教學(xué)的實(shí)際需求，在命令框中輸入具體的指令，從而對(duì)圖形進(jìn)行計(jì)算或者更改。在使用指令的過(guò)程中，教師和學(xué)生甚至不需要?jiǎng)佑檬髽?biāo)就可以輕松地利用軟件的集成功能來(lái)完成圖像的性質(zhì)、圖形的面積計(jì)算等討論工作。另外，軟件充分考慮到了教師在教學(xué)中的實(shí)際需要，當(dāng)教師輸入一個(gè)指令之后，軟件會(huì)使用自動(dòng)聯(lián)想的功能，為教師展開(kāi)和輸入與指令相關(guān)的其他命令，方便教師進(jìn)行操作。如此，可以極大地節(jié)省課堂上的操作時(shí)間，提升使用軟件進(jìn)行幾何教學(xué)的效率，讓教學(xué)自然而然地進(jìn)行下去。

二、GeoGebra在高中幾何教學(xué)中的應(yīng)用原則

（一）有利性原則

隨著教育信息化的快速發(fā)展，為了進(jìn)一步提升高中數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，越來(lái)越多的信息技術(shù)也進(jìn)入了高中數(shù)學(xué)課堂，而GeoGebra作為一種專(zhuān)門(mén)應(yīng)用到數(shù)學(xué)課堂中的教學(xué)軟件，也引起了教師們的足夠重視。但是在使用GeoGebra進(jìn)行幾何教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)正確認(rèn)識(shí)到，只有在課堂上有動(dòng)態(tài)演示、節(jié)省繪圖時(shí)間等需求時(shí)才需要用軟件來(lái)進(jìn)行教學(xué)，從而讓軟件真正起到支持學(xué)生探究的作用。教師絕不能過(guò)于依賴(lài)軟件，如果為了追求課堂的新穎有趣而濫用軟件而導(dǎo)致課堂教學(xué)效果不理想，那就失去了使用軟件進(jìn)行教學(xué)的意義，得不償失。

（二）整合性原則

GeoGebra軟件在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用具有強(qiáng)大的優(yōu)勢(shì)，可以從多個(gè)角度彌補(bǔ)傳統(tǒng)課堂的不足，但是傳統(tǒng)的幾何教學(xué)方法同時(shí)也有很多優(yōu)點(diǎn)值得我們繼承，因此，教師應(yīng)當(dāng)將軟件教學(xué)與傳統(tǒng)幾何教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)融合在一起，維持兩種教學(xué)手段的平衡，讓教師和學(xué)生都能夠形成靈活的思維，避免對(duì)一種特點(diǎn)的教學(xué)手段產(chǎn)生依賴(lài)[2]?？傊?，教師一方面要發(fā)揮出軟件在動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)信息等方面的優(yōu)勢(shì)，幫助學(xué)生更好地理解抽象的概念;另一方面也要加強(qiáng)實(shí)物展示、口述等傳統(tǒng)手段的使用，完善學(xué)生的認(rèn)知。

三、GeoGebra在高中幾何教學(xué)中的應(yīng)用設(shè)計(jì)

在高中幾何教學(xué)中，關(guān)鍵在于培養(yǎng)學(xué)生良好的空間觀念，挖掘?qū)W生的思維潛能，落實(shí)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)。學(xué)生空間觀念的發(fā)展需要學(xué)生多個(gè)感官都參與到幾何知識(shí)的探索中來(lái)，如果不為學(xué)生提供必要的手段進(jìn)行輔助，很難讓學(xué)生真正理解幾何知識(shí)的形成過(guò)程。通過(guò)實(shí)現(xiàn)GeoGebra和高中幾何教學(xué)的深度融合，利用信息技術(shù)強(qiáng)大的圖形繪制、化靜為動(dòng)等優(yōu)勢(shì)，可以讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)中學(xué)習(xí)，在應(yīng)用軟件的過(guò)程中積累豐富的經(jīng)驗(yàn)，有助于學(xué)生空間觀念的發(fā)展。

（一）動(dòng)態(tài)展示圖形的生成過(guò)程

在過(guò)去的高中幾何教學(xué)中，教師大多數(shù)時(shí)間是使用課件或者現(xiàn)場(chǎng)繪圖等方法，課件的手段雖然可以呈現(xiàn)給學(xué)生比較規(guī)整的圖像，但是卻無(wú)法讓學(xué)生了解幾何圖形形成的過(guò)程，而現(xiàn)場(chǎng)繪圖往往因?yàn)闀r(shí)間不足的原因，效果也十分有限。通過(guò)將GeoGebra軟件應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中來(lái)，可以很輕易地繪制出課堂上需要的圖形，并且根據(jù)學(xué)生探究學(xué)習(xí)的需要，對(duì)圖形進(jìn)行任意調(diào)整，幫助學(xué)生更好地了解幾何知識(shí)形成的過(guò)程，增添課堂教學(xué)的趣味性[3]。

比如，在講授《雙曲線(xiàn)》這一節(jié)內(nèi)容的過(guò)程中，學(xué)生在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓的相關(guān)知識(shí)，了解幾何知識(shí)的一些基本探究方法。由于學(xué)生在前面學(xué)習(xí)到的圖形大多是封閉的，橢圓也是學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常會(huì)看到的圖形，而雙曲線(xiàn)則是學(xué)生最新開(kāi)始接觸的一種幾何圖形，很多學(xué)生無(wú)法想象雙曲線(xiàn)的圖形如何用式子表示出來(lái)，因此，讓學(xué)生了解雙曲線(xiàn)的形成過(guò)程十分有必要。在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，筆者首先向?qū)W生展示了一個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生思考：在某片區(qū)域里面，一共設(shè)置了三個(gè)監(jiān)測(cè)站，監(jiān)測(cè)站A在監(jiān)測(cè)站B的正東方向，兩個(gè)監(jiān)測(cè)站之間的距離是6千米，監(jiān)測(cè)站C在監(jiān)測(cè)站B的北偏西30度的方向，兩個(gè)監(jiān)測(cè)站之間的距離是4千米，假設(shè)點(diǎn)P是敵方所在的位置，在某一個(gè)時(shí)刻，監(jiān)測(cè)點(diǎn)A監(jiān)測(cè)到P有所行動(dòng)，并且在4秒鐘之后，監(jiān)測(cè)點(diǎn)B和C也監(jiān)測(cè)到了這種信息，那么點(diǎn)P究竟在哪里？在學(xué)生了解了問(wèn)題的大概含義之后，筆者首先按照題意，將點(diǎn)A、B、C畫(huà)在了GeoGebra的繪圖區(qū)域上，接著再引導(dǎo)學(xué)生去思考問(wèn)題，讓學(xué)生進(jìn)行合作討論，想一想這個(gè)情景究竟是讓我們?nèi)ソ鉀Q什么問(wèn)題。經(jīng)過(guò)一番討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P到監(jiān)測(cè)點(diǎn)B和監(jiān)測(cè)點(diǎn)A之間的距離之差是一個(gè)定值，因此問(wèn)題的關(guān)鍵就在于“這個(gè)定值的點(diǎn)會(huì)形成什么樣的圖形”。有了這樣的認(rèn)識(shí)之后，筆者接著調(diào)用GeoGebra的功能，將相關(guān)的數(shù)據(jù)輸入進(jìn)去，得到了雙曲線(xiàn)的圖形，同時(shí)在代數(shù)區(qū)上也出現(xiàn)了雙曲線(xiàn)的方程。

（二）模擬實(shí)驗(yàn)促進(jìn)學(xué)生深度探究

前面已經(jīng)提到，GeoGebra有著十分強(qiáng)大的功能也十分便于操作，不僅可以讓教師使用軟件來(lái)進(jìn)行授課，學(xué)生也可以有效地參與進(jìn)來(lái)，使用軟件進(jìn)行探究性的自主學(xué)習(xí)，讓學(xué)生真正地成為課堂上的主人。在高中幾何教學(xué)中，由于條件的限制，教師經(jīng)常是通過(guò)演示實(shí)驗(yàn)的方式來(lái)代替學(xué)生的自主探究，難免會(huì)影響學(xué)生數(shù)學(xué)探究的積極性。而通過(guò)軟件的使用，教師可以幫助學(xué)生更好地掃清空間識(shí)別上的障礙，有助于學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)[4]。

比如，在講授“拋物線(xiàn)”的過(guò)程中，筆者首先讓學(xué)生簡(jiǎn)單回憶GeoGebra的使用方法，接著進(jìn)行操作，讓學(xué)生思考問(wèn)題：確定一個(gè)定點(diǎn)F，這個(gè)平面上，畫(huà)出一個(gè)不過(guò)定點(diǎn)的定直線(xiàn)，接著假設(shè)有一個(gè)點(diǎn)M，如果這個(gè)點(diǎn)到F的距離及到定直線(xiàn)的距離之比是一個(gè)常數(shù)e，并且e正好等于1，那么這個(gè)M的軌跡是什么樣的圖形？學(xué)生在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓和雙曲線(xiàn)的知識(shí)，很快想到當(dāng)e處在0和1之間范圍時(shí)的圖形以及當(dāng)e大于1時(shí)的圖形，但是當(dāng)e正好是1時(shí)，這個(gè)圖形又會(huì)是什么呢？針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，筆者將學(xué)生分成了幾個(gè)小組，讓學(xué)生使用軟件來(lái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)性的學(xué)習(xí)，嘗試著理解在拋物線(xiàn)制作過(guò)程中的關(guān)鍵所在，讓學(xué)生更好地理解拋物線(xiàn)的性質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生的實(shí)踐性學(xué)習(xí)。

（三）模擬解決生活中的實(shí)際問(wèn)題

幾何知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中有著廣泛的應(yīng)用，但是受限于學(xué)生的思維、能力以及教師的教學(xué)方式，學(xué)生對(duì)如何利用幾何知識(shí)來(lái)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題存在著嚴(yán)重的缺失，給數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的落實(shí)帶來(lái)了巨大阻礙。數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)回歸于學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活，幫助學(xué)生明確數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義。因此，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，教師可以利用GeoGebra的功能來(lái)向?qū)W生展示幾何知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，為學(xué)生的幾何探究提供實(shí)際的情境，加深學(xué)生的印象，提升學(xué)生幾何學(xué)習(xí)的成就感。

比如，在講授“解三角形”的過(guò)程中，筆者在課堂上向?qū)W生展示了本節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)的背景：嫦娥奔月是我國(guó)流傳已久的神話(huà)故事，展現(xiàn)了中國(guó)古代人民的浪漫情懷，讓人心向往之，當(dāng)我們仰頭遙望月亮，總是會(huì)產(chǎn)生無(wú)盡的遐想，那么你知道月球距離我們的地球有多遠(yuǎn)嗎？我們可以怎樣去計(jì)算這個(gè)距離？在給學(xué)生講述這一背景的過(guò)程中，筆者同時(shí)使用軟件來(lái)進(jìn)行操作，在繪圖區(qū)畫(huà)出幾個(gè)球體，分別代表著月球、地球、太陽(yáng)等星球，并且展示出一些已經(jīng)獲得的數(shù)據(jù)，引發(fā)學(xué)生的思考。這樣，通過(guò)直觀想象功能的使用，能夠?yàn)閷W(xué)生創(chuàng)造出更加真實(shí)的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生產(chǎn)生代入感，充分認(rèn)識(shí)幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)意義，有助于提升教學(xué)的效果。

四、促進(jìn)GeoGebra和高中幾何教學(xué)深度融合的建議

（一）加強(qiáng)對(duì)GeoGebra的學(xué)習(xí)

GeoGebra軟件的操作相比于其他幾何教學(xué)軟件來(lái)講更加簡(jiǎn)單，能夠?yàn)榻處熀蛯W(xué)生提供更加直接的幫助，但是要想使用軟件來(lái)促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)雜性操作，需要教師深刻地理解腳本的設(shè)計(jì)，比較熟練地在課堂上向?qū)W生展示幾何知識(shí)的形成過(guò)程，讓軟件發(fā)揮出更大的作用。

（二）教師要深刻理解幾何知識(shí)的本質(zhì)

在教育信息化發(fā)展的過(guò)程中，容易出現(xiàn)教師濫用信息技術(shù)的問(wèn)題，GeoGebra作為一種便利的幾何教學(xué)工具，更是能夠在很大程度上減輕教師的工作負(fù)擔(dān)。但是需要注意的是，只有教師對(duì)幾何知識(shí)的本質(zhì)形成深刻的理解，并且在應(yīng)用過(guò)程中將核心內(nèi)容以恰當(dāng)?shù)姆绞匠尸F(xiàn)在學(xué)生面前，才可以使軟件的作用真正發(fā)揮出來(lái)，讓學(xué)生自然而然地投入幾何探究活動(dòng)中。因此，教師應(yīng)當(dāng)從教材以及課程標(biāo)準(zhǔn)的角度出發(fā)，對(duì)上面的幾何知識(shí)進(jìn)行充分的探索，多了解這些知識(shí)發(fā)生和發(fā)展的過(guò)程，提升自身的教學(xué)素養(yǎng)，在設(shè)計(jì)和操作軟件的過(guò)程中提升教學(xué)質(zhì)量。

（三）給學(xué)生提供更多的實(shí)踐機(jī)會(huì)

將GeoGebra和高中幾何教學(xué)深度融合在一起，對(duì)于幫助學(xué)生適應(yīng)現(xiàn)代化的學(xué)習(xí)環(huán)境也有著十分重要的意義。教師要從這一點(diǎn)出發(fā)，結(jié)合課堂上的安排，給學(xué)生提供利用軟件進(jìn)行幾何實(shí)踐的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生能夠真正地參與到數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的過(guò)程中，理解幾何知識(shí)是如何形成的，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，讓學(xué)生真正成為課堂上的主人，自覺(jué)落實(shí)新課程改革提出的自主、合作、探究的教學(xué)目標(biāo)。

結(jié)束語(yǔ)

在高中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)過(guò)程中，教師要充分地利用軟件，給學(xué)生提供適合探究的環(huán)境，讓學(xué)生能夠?qū)缀挝幕归_(kāi)深層次的探索，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知框架，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。教師要對(duì)軟件的功能進(jìn)行充分探索，了解GeoGebra和幾何知識(shí)深度融合的有效路徑，讓GeoGebra平臺(tái)成為促進(jìn)學(xué)生自主探究和理解幾何知識(shí)的工具，提高學(xué)生的思維能力，提升高中幾何教學(xué)的效率。

參考文獻(xiàn)

[1]陳麗萍.GeoGebra與高中數(shù)學(xué)教學(xué)深度融合的思考與探索：以探究與發(fā)現(xiàn)“為什么截口曲線(xiàn)是橢圓”為例[J].基礎(chǔ)教育參考，2021（10）：47-50.

[2]周偉偉.GeoGebra在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用：以平均變化率為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021（18）：36-37.

[3]何麗萍.基于GeoGebra的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)策略[J].試題與研究，2021（15）：23-24.

[4]莫宗迪.基于GeoGebra的高中數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的實(shí)踐研究[J].中國(guó)多媒體與網(wǎng)絡(luò)教學(xué)學(xué)報(bào)（下旬刊），2021（1）：58-62.

本文系福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度課題“可視化視角下的GeoGebra與幾何教學(xué)深度融合的實(shí)踐研究”（立項(xiàng)批準(zhǔn)號(hào)：FJJKXB20-1148）的研究成果。