【摘 要】幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。通過一題多解可以很好地發(fā)展學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)，讓學(xué)生走出“題?！?，提高學(xué)習(xí)效率。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;幾何直觀;一題多解

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2022）24-0016-06

幾何證明題在中考數(shù)學(xué)中占有極其重要的地位，不僅屬于難點(diǎn)，還具有拉開學(xué)生之間的分?jǐn)?shù)差距的作用。而角和線段是初中幾何的基本元素，其中角相等的證明，基本上可以涉及初中幾何的方方面面，如角平分線、兩直線平行、三角形全等及相似等知識(shí)。解決角相等問題的知識(shí)和方法越多，選擇的范圍也就越廣，這對(duì)教師的教和學(xué)生的學(xué)都提出了新的要求。縱觀各地試題，有的給基礎(chǔ)習(xí)題添加新問題，有的給基本模型創(chuàng)設(shè)新情境，有的賦予核心概念新視角。對(duì)此，學(xué)生要能夠抓住問題的本質(zhì)，靈活運(yùn)用角平分線、兩直線平行、全等三角形、等面積法等知識(shí)和方法，提升自己的解題

能力[1]。

幾何直觀主要是指運(yùn)用圖形描述和分析問題的意識(shí)和習(xí)慣，可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象。下面筆者通過一道初二幾何壓軸題，展示數(shù)形結(jié)合與幾何直觀在證明角相等的問題中的

作用。

1? ?試題再現(xiàn)

2017—2018學(xué)年湖北省武漢市青山區(qū)八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷24題：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB分別交x軸、y軸于點(diǎn)A（a，0）與點(diǎn)B（0，b），且a，b滿足a2+4a+4+|2a+b|=0。

（1）a=____;b=____;

（2）點(diǎn)P在直線AB的右側(cè)，且∠APB=45°，

①若點(diǎn)P在x軸上，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為____;

②若ΔABP為直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

（3）如圖2，在（2）的條件下，點(diǎn)P在第四象限，∠BAP=90°，AP與y軸交于點(diǎn)M，BP與x軸交于點(diǎn)N，連接MN，求證：MP平分ΔBMN的一個(gè)外角。

2? ?解法呈現(xiàn)

解析問題（1）：方程左邊前三項(xiàng)先完成配方，然后根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零則這兩個(gè)非負(fù)數(shù)都為零這一規(guī)律，得到兩個(gè)方程，最終解得a=-2，b=4。

解析問題（2）：①如圖3，根據(jù)上一問得到b=4，則得到OB的長(zhǎng)為4，再根據(jù)點(diǎn)P在直線AB的右側(cè)且在軸上，再加上∠APB=45°，很容易根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OP=OB=4，進(jìn)而得到P的坐標(biāo)為（4，0）。

②如圖4，題目要求ΔABP為直角三角形，并沒有指明哪個(gè)角是直角，此時(shí)要應(yīng)用分類討論思想。由于已給出∠APB=45°，因此只有∠ABP=90°和∠BAP′=90°兩類。

當(dāng)∠ABP=90°時(shí)，過點(diǎn)P作PC⊥OB于C，易證ΔAOB≌ΔBCP（AAS），∴P（4，2）;當(dāng)∠BAP′=90°時(shí)，過點(diǎn)P′作P′D⊥OA于D，同理可得ΔADP′≌ΔBOA，∴P′（2，-2）。即滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，2）或（2，-2）。

2.1? 利用平行構(gòu)造全等

問題（3）解法1：已知∠BAP為直角，因?yàn)閮勺鴺?biāo)系互相垂直，容易想到“K字型”模型。借助平行輔助線，構(gòu)造兩組全等，進(jìn)而將角的問題通過全等得以轉(zhuǎn)化。

如圖5，由（2）知點(diǎn)P（2，-2），∵A（-2，0），∴直線AP的解析式為，

∴M（0，-1），∴BM=5，

同理，直線BP的解析式為y=-3x+4，

∴N（，0），∴MN=，

過點(diǎn)P作PH∥AB交x軸于H，

∵∠BAP=90°，

∴∠BAO+∠PAH=90°，

∴∠BAO+∠ABM=90°，

∴∠ABM=∠PAH，

在ΔABM和ΔPAH中，

∴ΔABM≌ΔPAH（ASA），

∴∠AMB=∠PHA，AH=BM=5，

∴∠PMG=∠PHA，OH=AH-OA=3，

∴H（3，0），

∴NH=3-，

∵P（2，-2），M（0，-1），H=（3，0），

∴PM=，PH=，PM=PH，

∴ΔPNM≌ΔPNH（SSS），

∴∠AHP=∠PMN，

∴∠PMG=PMN，即MP是ΔBMN的一個(gè)外角的平分線。

評(píng)析：借助平行線構(gòu)建了“K字型”基本模型的兩個(gè)全等三角形ΔABM和ΔPAH，進(jìn)而求得了AP和BP兩條直線的解析式，利用直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和兩點(diǎn)間的距離公式得到MN=NH，PM=PH，最后再次利用全等求得兩角相等。在平時(shí)的教學(xué)中，教師不僅要重視兩直線平行、三角形全等、兩點(diǎn)距離公式等基本知識(shí)和基本方法的傳授，還要重視基本模型的滲透。

2.2? 巧借中點(diǎn)構(gòu)造全等

解法2：要證明∠DMP=∠NMP，可以轉(zhuǎn)化為證明∠AMB=∠NMP，于是想到作MP的垂線來構(gòu)造全等三角形。根據(jù)同垂直于一條直線的兩直線平行，借助直線解析式可以得到交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而獲得相等線段。

如圖6，過點(diǎn)P作PM的垂線，交MN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D。

設(shè)直線AP為y=kx+b（k≠0），直線過點(diǎn)A（-2，0），P（2，-2），

則有，解得，

∴直線AP為，

令x=0，則y=-1，∴M的坐標(biāo)為（0，-1），

又∵AP中點(diǎn)為，即（0，-1），

∴M為AP中點(diǎn)。

設(shè)直線BP為y=k1x+b1（k1≠0），直線過點(diǎn)B，P，

∴，解得，

∴直線BP為y=-3x+4，令y=0，則，

∴N。

設(shè)直線MN為y=k2x+b2（k2≠0），直線過點(diǎn)

M，N，

∴，解得，

∴直線MN為，

又∵∠MPC=∠BAP=90°，

∴AB∥PC，設(shè)直線PC為y=2x+b3過點(diǎn)P，

∴-2=4+b3，解得b3=-6，

∴直線PC為y=2x-6，

∴，解得，

∴MC=。

又∵BM=OB+OM=5，∴BM+MC，

在RtΔABM與RtΔPCM中，

∴RtΔABM≌RtΔPCM（HL），

∴∠BMA=∠CMP，

又∵∠DMP=∠AMB，

∴∠DMP=∠PMC，

∴MP為∠DMN的平分線。

評(píng)析：借助兩直線垂直時(shí)k值互為負(fù)倒數(shù)的基本知識(shí)得到PC的直線解析式。利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式推出M為AP中點(diǎn)，再由直線解析式求得N，C的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式得到BM=MC，最后利用全等求得兩角相等。

2.3? 利用函數(shù)構(gòu)造全等

解法3：利用∠APB為45°這個(gè)條件，結(jié)合本問要證明的結(jié)論反推回來，此時(shí)作BP的垂線能夠得到全等三角形。

如圖7，過點(diǎn)P作BP的垂線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，交y軸于點(diǎn)G。

設(shè)直線BP為y=kx+b（k≠0），B（0，4），P（2，-2）在直線BP上，

∴，解得：，

∴直線BP為y=-3x+4，又∴BP⊥PQ，

可設(shè)直線PQ為，P（2，-2）在直線PQ上，∴，，

∴直線PQ為，

求得：，。

∴NP===，

GP===，

∴GP=NP。

∵∠BPA=45°，∠BPQ=90°

∴∠NPM=∠GPM=45°。

在ΔMNP與ΔMGP中，，

ΔMNP≌ΔMGP（SAS）

∴∠NPM=∠GPM，即MP平分∠GMN。

評(píng)析：此法同樣用到了兩直線垂直時(shí)k值互為負(fù)倒數(shù)，獲得PQ直線解析式，仍舊利用兩點(diǎn)間的距離公式得到線段相等，最后結(jié)合已知的45°角和公共邊，只用一次全等就能證明結(jié)論。兩直線垂直k的關(guān)系、特殊角的應(yīng)用是此方法的特點(diǎn)，教師要引導(dǎo)學(xué)生充分利用現(xiàn)有條件構(gòu)建全等模型，發(fā)展幾何直觀素養(yǎng)。

2.4? 借助旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等

解法4：題中∠APB為45°，若向兩邊作垂線可以得到半角模型，可得出PE的輔助線做法，進(jìn)而構(gòu)造全等的模型。

如圖8，過點(diǎn)P分別向x軸、y軸作垂線，分別交于點(diǎn)C，D。

∵P（2，-2），∴CP=DP，

將?CPN繞著P點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90°，C點(diǎn)落在D點(diǎn)上，N點(diǎn)落在y軸的E點(diǎn)上。

∴?CPN≌?DPE，

∴∠CPN=∠DPE，EP=NP，

又∵∠CPN+MPD=45°，

∴∠DPE+∠MPD=45°，

∵∠EPM=45°，

∴∠EPM=∠NPM。

在?EPM與?NPM中，，

∴ΔEMP≌ΔNMP（SAS），

∴∠EMP=∠NMP，即MP平分∠NME。

評(píng)析：過P向坐標(biāo)軸作垂線，易得到正方形，再加之∠APB=45°的條件，具有較強(qiáng)的指導(dǎo)性。由于學(xué)生常見的半角模型多是以直角為背景的，此時(shí)旋轉(zhuǎn)思想的應(yīng)用比較自然，最后利用二次全等便可直接證明兩個(gè)角相等。這也要求教師在平時(shí)的教學(xué)中注重基本幾何模型的提煉，如半角模型、全等模型等。

2.5? 用等面積法構(gòu)造全等

解法5：利用角平分線的逆定理來證明角平分線，往角兩邊作垂線應(yīng)該是最容易想到的輔助線方法，再借助等面積方法思想，只需要證明PY=PH即可。

如圖9，過P點(diǎn)分別作y軸與MN的垂線交于點(diǎn)H與點(diǎn)Y。

設(shè)直線AP的解析式y(tǒng)=kx+b（k≠0），直線過點(diǎn)A（-2，0），（2，-2），

∴，解得，

∴直線AP為。

∵直線AP交y軸于點(diǎn)M，

∴M（0，1），

∴OM=1。

設(shè)直線BP為y=k1x+b1（k1≠0），

直線BP過B（0，4），P（2，-2），

∴，解得，

∴直線BP為y=-3+4，

∵直線BP交x軸于點(diǎn)N，

令y=0，則，

∴N（，0），

∴ON=，

評(píng)析：要證角平分線，可以證明點(diǎn)P到角兩邊的距離相等即可。作角兩邊垂線的輔助線還是比較容易想到的，這樣可以接著把問題轉(zhuǎn)化為面積問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求線段長(zhǎng)的問題，最終還是構(gòu)造全等模型證明角平分線。面積法往往可以使問題簡(jiǎn)化。

2.6? 截取線段構(gòu)造全等

解法6：最簡(jiǎn)單明了的方法就是直接構(gòu)造兩角相等的全等三角形，截取線段相等不難想到，但是要借助直線解析式證明PN=PH是重難點(diǎn)，而借助坐標(biāo)解決線段相等問題變得較為簡(jiǎn)單。

評(píng)析：此解法為六種解法中最為巧妙的。難點(diǎn)是截取線段相等，亮點(diǎn)是解析式求點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式得到邊相等，最后利用SSS巧妙證明全等。教師要使學(xué)生掌握化繁為簡(jiǎn)的技巧，直接抓住問題的本質(zhì)，理清解題的思路，有效提升學(xué)生的邏輯思維能力。

在幾何題目中，輔助線的添加具有較強(qiáng)的技巧性，對(duì)解題有舉足輕重的作用。如何利用條件添加輔助線？如何結(jié)合結(jié)論添加輔助線？這些都是教師在日常教學(xué)中應(yīng)該重點(diǎn)思考的問題。教師平時(shí)還應(yīng)多開展一題多解的訓(xùn)練，這樣有助于學(xué)生把握一些基本的教學(xué)模型，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力[2]。

由上述例題可以看到，函數(shù)解析式對(duì)于幾何證明有很大的幫助，不僅可以求解點(diǎn)的坐標(biāo)，也能間接解決線段相等的問題。兩直線互相垂直時(shí)，k的關(guān)系以及兩點(diǎn)間的距離公式都能起到關(guān)鍵的作用。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。對(duì)此，教師應(yīng)打破束縛，勇于探索，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]曹曉榮.與角平分線相關(guān)的基本題型[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2017（8）.

[2]孫刖夫.淺談初中《幾何》習(xí)題一題多解與多變[J].成都教育學(xué)員學(xué)報(bào)，2000（7）.

【作者簡(jiǎn)介】

李杰（1986～），男，四川成都人，本科，中學(xué)一級(jí)教師。研究方向：初中數(shù)學(xué)教學(xué)。