緊扣主線 高效復(fù)習(xí)

鐘明

[摘 要]數(shù)列求和是數(shù)列的一個(gè)重要內(nèi)容，也是高考的熱點(diǎn)。數(shù)列求和方法的復(fù)習(xí)至關(guān)重要。緊扣知識(shí)、思想方法和核心素養(yǎng)三大主線復(fù)習(xí)數(shù)列前[n]項(xiàng)求和方法，可使學(xué)生系統(tǒng)復(fù)習(xí)數(shù)列前[n]項(xiàng)和的各種求法，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)高效復(fù)習(xí)。

[關(guān)鍵詞]知識(shí);思想方法;核心素養(yǎng);數(shù)列前[n]項(xiàng)求和;復(fù)習(xí)

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2022）11-0022-03

在新高考中，數(shù)列大題出現(xiàn)在第一道解答題的位置，更多的是關(guān)注基本方法、基本思想，其中裂項(xiàng)相消法和錯(cuò)位相減法是求數(shù)列前[n]項(xiàng)和的最基本的兩類方法。數(shù)列前[n]項(xiàng)求和方法的復(fù)習(xí)至關(guān)重要。那么，如何有效開展數(shù)列前[n]項(xiàng)求和方法的復(fù)習(xí)呢？筆者認(rèn)為，可緊扣知識(shí)、思想方法、核心素養(yǎng)三大主線進(jìn)行復(fù)習(xí)。

一、緊扣知識(shí)主線進(jìn)行復(fù)習(xí)

高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，學(xué)生有兩個(gè)基本任務(wù)，一是溫故知新，二是查漏補(bǔ)缺。教師可指導(dǎo)學(xué)生從兩個(gè)方面進(jìn)行查漏補(bǔ)缺：一是數(shù)學(xué)概念、定理法則方面，梳理哪些還沒有記住，哪些沒有理解，哪些無法運(yùn)用;二是數(shù)學(xué)思想方法和思維方法方面，厘清哪些還不會(huì)用或用得不夠好。在復(fù)習(xí)數(shù)列前[n]項(xiàng)求和方法時(shí)，教師應(yīng)緊扣知識(shí)主線引導(dǎo)學(xué)生梳理數(shù)列求和的常見方法。

（一）公式法

若題目明確所求的數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列就可以直接采用公式法。其中，等差數(shù)列的求和公式為[Sn=n（a1+an）2=na1+n（n-1）d2=d2n2+a1-d2n]，等比數(shù)列的求和公式為[Sn=a1（1-qn）1-q=a1-anq1-q（q≠1）]或[Sn=na1（q=1）]。

（二）分組求和法

當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng)是等差數(shù)列或等比數(shù)列的和（或差）的形式時(shí)，形如[cn=an+bn]（其中[an]和[bn]為等差數(shù)列或?yàn)榈缺葦?shù)列），可以分解為基本數(shù)列（等差數(shù)列或等比數(shù)列）進(jìn)行求和。

[例1]已知等比數(shù)列[an]中，若[a1=3]，公比[q>1]，且[3（an+2+an）-10an+1=0（n∈N+）]。

（1）求數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)數(shù)列[bn+13an]是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列[bn]的通項(xiàng)公式和前[n]項(xiàng)和[Sn]。

解：（1）[an=3n]。（解題過程略）

（2）因?yàn)閇bn+13an]是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，則有[bn+13an=1+2（n-1）]，可得[bn=2n-1-13an=2n-1-3n-1]，所以[Sn=1+3+…+（2n-1）-（1+3+32+…+3n-1）=n2-12（3n-1） ]。

評析：對于復(fù)合數(shù)列，若無法直接利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求和，則可將其分解為幾個(gè)容易求和的基本數(shù)列，對復(fù)合數(shù)列通項(xiàng)中的和（差）重新分組與拆分，再利用公式進(jìn)行求和。

（三）裂項(xiàng)相消法

裂項(xiàng)相消法主要是把數(shù)列的通項(xiàng)拆分為兩項(xiàng)之差后求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)。應(yīng)用此法時(shí)必須注意哪些項(xiàng)被消除，哪些項(xiàng)被保留，同時(shí)需要掌握一些常見的裂項(xiàng)，如[1anan+1=1d1an-1an+1]，[1anan+2=12d1an-1an+2 ]（其中[an]為等差數(shù)列）。

[例2][Sn]為數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和，已知[an>0]，[an2+2an=4Sn+3]。

（1）求[an]的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)[bn=1anan+1]，求數(shù)列[bn]的前[n]項(xiàng)和。

解：（1）[an=2n+1]。

（2）由（1）可知，[bn=1（2n+1）（2n+3）=1212n+1-12n+3 ]，所以數(shù)列[bn]的前[n]項(xiàng)和為[Tn=b1+b2+b3+…+bn][=1213-15+15-17+…+12n+1-12n+3=n3（2n+3）]。

評析：根據(jù)[an=2n+1]通項(xiàng)特點(diǎn)，得[bn=1（2n+1）（2n+3）]，顯然分母為等差數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的乘積，符合裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用要求。

（四）錯(cuò)位相減法

對于由等差數(shù)列和等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列，形如[cn=an·bn]（其中[an]為等差數(shù)列，[bn]為等比數(shù)列），常用錯(cuò)位相減法求和?？稍诘仁絻啥送瑫r(shí)乘以等比數(shù)列的公比（或公比的倒數(shù)[1q]）后進(jìn)行錯(cuò)位相減，再利用等比數(shù)列的求和公式化簡求值。

[例3]設(shè)[an]是公比不為1的等比數(shù)列，[a1]為[a2]，[a3]的等差中項(xiàng)。

（1）求[an]的公比;

（2）若[a1=1]，求數(shù)列[nan]的前[n]項(xiàng)和。

解：（1）[an]的公比為-2。（解題過程略）

（2）設(shè)[nan]的前[n]項(xiàng)和為[Sn]。由（1）及題意可得[an=（-2）n-1]，所以[Sn=1+2×（-2）+…+n×（-2）n-1]，[-2Sn=-2+2×（-2）2+…+（n-1）×（-2）n-1+n×（-2）n]，兩式相減得[3Sn=1+（-2）+（-2）2+…+] [（-2）n-1-n×（-2）n=1-（-2）n3-n×（-2）n ]，最后化簡得[Sn=19-（3n+1）（-2）n9]。

評析：錯(cuò)位相減法適用于由一個(gè)等差數(shù)列[an]及一個(gè)等比數(shù)列[bn]對應(yīng)項(xiàng)之積組成的復(fù)合數(shù)列。用錯(cuò)位相減法求解，常會(huì)因?yàn)椴襟E煩瑣、計(jì)算量大，而導(dǎo)致漏項(xiàng)或添項(xiàng)以及符號(hào)出錯(cuò)等。因此在等式兩邊乘公比后，對應(yīng)項(xiàng)的冪指數(shù)會(huì)發(fā)生變化，應(yīng)將相同冪指數(shù)的項(xiàng)對齊，這樣有一個(gè)式子前面空出一項(xiàng)，另外一個(gè)式子后面就會(huì)多出一項(xiàng)，兩式相減除第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)外，剩下的[n]-1項(xiàng)是一個(gè)等比數(shù)列。

以知識(shí)為主線引導(dǎo)學(xué)生溫故知新，可讓學(xué)生更清楚各類數(shù)列前[n]項(xiàng)求和方法的基本特點(diǎn)和應(yīng)用要求，同時(shí)強(qiáng)化學(xué)生對基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握。

二、緊扣思想方法主線進(jìn)行復(fù)習(xí)

如果說新課的學(xué)習(xí)重在“把書讀厚”，那么復(fù)習(xí)課則要“把書讀薄”。把握知識(shí)和方法的本質(zhì)是“把書讀薄”的重要手段。要讓學(xué)生搞清楚知識(shí)背后所蘊(yùn)含的思想方法與思維方法，教師應(yīng)指導(dǎo)、幫助、督促學(xué)生加強(qiáng)對思想方法與思維方法的梳理與比較。教師應(yīng)緊扣思想方法主線引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)數(shù)列前[n]項(xiàng)和的求法。

[例4]已知數(shù)列[an]滿足[a1=1]，[an+1=3an+1]。

（1）證明[an+12]是等比數(shù)列，并求[an]的通項(xiàng)公式;

（2）證明：[1a1+1a2+…+1an<32]。

（1）證明：由[an+1=3an+1]得[an+1+12=3an+12]，所以[an+1+12an+12=3]，則[an+12]是首項(xiàng)為[a1+12=32]，公比為3的等比數(shù)列，所以[an+12=32×3n-1]，解得[an=3n-12]。

（2）由（1）知[an=3n-12]，所以[1an=23n-1]，因?yàn)楫?dāng)[n≥1]時(shí)[，3n-1≥2·3n-1]，所以[13n-1≤12·3n-1]，于是[1a1+1a2+…+1an≤1+13+…+13n-1=321-13n<32]，所以[1a1+1a2+…+1an<32]。

評析：本題考查了數(shù)列的概念、遞推公式，等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的前[n]項(xiàng)和公式和放縮法證明不等式，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

[例5]已知數(shù)列[an=n2·2n]，求數(shù)列前[n]項(xiàng)和[Sn]。

分析：深層理解數(shù)列前[n]項(xiàng)和[Sn]的定義，用構(gòu)造法求數(shù)列前[n]項(xiàng)和。由[Sn=12×21+22×22+…+（n-1）2×2n-1+n2×2n]，[Sn-1=12×21+22×22+…+（n-1）2×2n-1]，當(dāng)[n>1]時(shí)，[Sn-Sn-1=n2·2n]，所以[Sn2n-12×Sn-12n-1=n2 （n≥2）]。利用待定系數(shù)法求出數(shù)列[Sn2n]通項(xiàng)，再求[Sn]。

解：∵[Sn=12×21+22×22+…+（n-1）2×2n-1+n2×2n]，

[Sn-1=12×21+22×22+…+（n-1）2×2n-1]，

∴當(dāng)[n>1]時(shí)，[Sn-Sn-1=n2·2n]，

由[Sn2n-12×Sn-12n-1=n2（n≥2）]，利用待定系數(shù)法，

設(shè)[Sn2n+pn2+qn+r=12Sn-12n-1+p（n-1）2+q（n-1）+r? ]，

[?Sn2n=12×Sn-12n-1-12pn2-q+2p2n+p-q-r2 ]，

所以[-p2=1]，[-q+2p2=0]，[p-q-r2=0]，所以[p=-2]，[q=4]，[r=-6]，

[∴Sn2n-2n2+4n-6=12Sn-12n-1-2（n-1）2+4（n-1）-6]

[?Sn2n-2n2+4n-6=S12-2+4-6×12n-1=-32n-1]，故[Sn=（n2-2n+3）·2n+1-6]。

評析：讓學(xué)生在原來的認(rèn)知和知識(shí)框架下深化學(xué)習(xí)，把握數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)含的通性通法和數(shù)學(xué)思想。教師應(yīng)通過審題示范、解題分析示范、解題反思示范，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，提升數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效果。

三、緊扣核心素養(yǎng)主線進(jìn)行復(fù)習(xí)

在復(fù)習(xí)一些重要的知識(shí)與方法時(shí)，教師要盡量讓學(xué)生多參與、多體會(huì)、多感悟，不斷培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，發(fā)展學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等學(xué)科核心素養(yǎng)。教師應(yīng)緊扣核心素養(yǎng)這一主線引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)數(shù)列前[n]項(xiàng)和的求法。

[例6]設(shè)等差數(shù)列[an]的公差為[d]，點(diǎn)[（an ， bn）]在函數(shù)[f（x）=2x]的圖像上[（n∈N*）]。

（1）若[a1=-2]，點(diǎn)[（a8 ， 4b7）]在函數(shù)[f（x）]的圖像上，求數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和[Sn];

（2）若[a1=1]，函數(shù)[f（x）]的圖像在點(diǎn)[（a2 ， b2）]處的切線在[x]軸上的截距為[2-1ln2]，求數(shù)列[anbn]的前[n]項(xiàng)和[Tn]。

解：（1）由已知得[b7=2a7， b8=2a8=4b7]，所以[2a8=4×2a7=2a7+2]，則有[a8=a7+2]，解得[d=a8-a7=2]，又因?yàn)閇a1=-2]，所以由等差數(shù)列前[n]項(xiàng)和的公式得[Sn=na1+n（n-1）2d=n2-3n];

（2）函數(shù)[f（x）=2x]在點(diǎn)[（a2 ， b2）]處的切線方程為[y-2a2=（2a2ln2）（x-a2）]，其在[x]軸上的截距為[a2-1ln2]，且由[a2-1ln2=2-1ln2]，得[a2=2]，所以[d=a2-a1=1]，從而得[an=n ， bn=2n]，故數(shù)列[anbn]的通項(xiàng)公式為[anbn=n2n]，由錯(cuò)位相減法得[Tn=12+222+323+…+n-12n-1+n2n]，[12Tn=122+223+324+…+n-12n+n2n+1]，兩式相減得[12Tn=12+122+123+…+12n-n2n+1]，最后化簡得[Tn=2n+1-n-22n]。

另也可用構(gòu)造法求解。當(dāng)[n≥2]時(shí)，由[Tn-Tn-1=n·12n]，得[Tn12n-2Tn-112n-1=n]，令[bn=Tn12n]得[bn-2bn-1=n]，

設(shè)[bn+An+B=2（bn-1+A（n-1）+B）]，則[A=1 ， B=2]，

所以[bn+n+2=（b1+2+2）?2n-1]，得[bn=2n+1-n-2（n≥2）]，

所以[bn=Tn12n=2n+1-n-2]，當(dāng)[n=1]時(shí)，[T1=12]也符合關(guān)系式，所以[Tn=2n+1-n-22n]。

評析：本題的第（1）問以函數(shù)為載體，以“點(diǎn)在函數(shù)圖像上”為切入點(diǎn)得到數(shù)列的遞推關(guān)系式，考查等差數(shù)列前[n]項(xiàng)和的知識(shí)。第（2）問以導(dǎo)數(shù)為工具，以曲線的切線方程為切入點(diǎn)，以“直線在[x]軸上的截距為[2-1ln2]”為線索，利用方程思想求公差[d]，又以[anbn]的通項(xiàng)公式識(shí)別“數(shù)學(xué)模型”，最終用錯(cuò)位相減法（或構(gòu)造法）解決問題。本題有效考查了學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

綜上可知，在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)緊扣知識(shí)、思想方法和核心素養(yǎng)三大主線引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行復(fù)習(xí)，使學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、方法，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的高階思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 王瑞丁.數(shù)列求和面面觀[J].中學(xué)教學(xué)參考，2021（20）：27-29.

[2]? 陳豪，陳弈龍.基于2020年高考全國1卷第17題一類問題的研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2021（1）：16-18.

[3]? 呂曾鋒.數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)的四大視角：以“數(shù)列”為例[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2021（1）：13-15.

（責(zé)任編輯 黃春香）