應用型本科離散數(shù)學課程分層教學改革與實踐

李娟 黃承寧

摘要：針對應用型本科的離散數(shù)學進行分層教學改革，分析了當前離散數(shù)學教學遇到的問題，以分層教學思想為引導，從教學對象、分層教學的操作和教學評價三個方面進行分層，并闡述了具體的實施方法。

關鍵詞：離散數(shù)學；教改；分層教學；計算機；應用型

中圖分類號：G642? ? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2022）30-0131-03

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

離散數(shù)學主要研究離散對象的存在，計數(shù)、結(jié)構(gòu)及其相互關系的一門課程，它是計算機科學與技術專業(yè)的核心基礎課之一[1]，能夠鍛煉學生的邏輯思維和推理能力，并對計算機專業(yè)的其他課程提供一定的基礎。離散數(shù)學不僅對計算機專業(yè)的其他課程如數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法、計算機組成原理有承上啟下的作用，而且在計算機人工智能領域也有應用。

南京工業(yè)大學浦江學院是一所應用型本科院校，離散數(shù)學的授課對象有普通本科學生也有專升本的學習，學生的基礎參差不齊，吸收知識的能力也有差異，學習積極性差，難以堅持。

主要表現(xiàn)在以下幾個方面：

（1）教學內(nèi)容單一。偏重理論的講解，欠缺計算機相關聯(lián)的實踐操作。

（2）學生兩極分化嚴重。好的學生存在“吃不飽”的現(xiàn)象，差的學生上課聽不懂，很難激發(fā)他們的學習興趣。

（3）考核手段單一。通過平時統(tǒng)一布置的作業(yè)難以衡量學生的實際水平。

因此對現(xiàn)有的授課模式必須做出調(diào)整，才能發(fā)揮這門課的價值。

1 分層教學理念

分層教學是指教師根據(jù)學生的現(xiàn)有知識、能力水平和潛力傾向把學生科學地分成幾組各自水平相近的群體并區(qū)別對待，這些群體在教師恰當?shù)姆謱硬呗院拖嗷プ饔弥械玫阶詈玫陌l(fā)展和提高，從而達到因材施教的目的。分層教學這一教學理念和因材施教殊途同歸。這一理念在我國存在的歷史非常悠久，比如孔子提倡的“因材施教”的教育思想[2]。在共同的教育目標下，根據(jù)學生的個體差異特點，有的放矢，因勢利導地采用不同的教育措施。蘇聯(lián)教育家維果斯基提出“最近發(fā)展區(qū)”理論，每個學生有兩種發(fā)展水平：一是個體的現(xiàn)有水平，即由一定的已經(jīng)完成的發(fā)展系統(tǒng)所形成的心理機能的發(fā)展水平，二是即將達到的發(fā)展水平，即借助他人的啟發(fā)幫助可以達到的較高水平，這兩種水平之間的區(qū)域即“最近發(fā)展區(qū)”。教學應從學生現(xiàn)實的發(fā)展水平開始，不斷創(chuàng)造新的“最近發(fā)展區(qū)”，讓學生經(jīng)過努力就能夠得著，把學生的現(xiàn)有發(fā)展水平轉(zhuǎn)化為最近發(fā)展區(qū)，并不斷創(chuàng)造出更高水平的最近發(fā)展區(qū)，不斷促進學生的發(fā)展。20世紀初分層教育被引入學校教學以來，眾多科目采納了這一思想，比如“高等數(shù)學課程分層教學改革探究” [3]“MOOC背景下《大學計算機基礎》Python實驗螺旋分層教學設計” [4]“體育教學中實施分層教學模式創(chuàng)新”，且都產(chǎn)生了良好的效果。

受到上述教學思想的啟發(fā)，2020年秋以專升本這屆學生共109名學生作為改革試點，將分層教學思想引入“離散數(shù)學的”課堂教學中。與上述方法不同的是，本文從離散數(shù)學的特殊地位出發(fā)，它是連接數(shù)學和計算機橋梁，在分層教學的過程中，教學內(nèi)容與計算機軟件設計、編程等相關能力結(jié)合[5]，同時對課程評價方式也做了相應的改革。在試題難度相當?shù)那闆r下，通過學期末的評估，學生的學習興趣，學習風氣，學習習慣，總體成績都有較大的提高。

2 分層教學理念在離散數(shù)學中的應用

2.1 教學對象的分層

結(jié)合離散數(shù)學這門學科的特點，既有講授數(shù)學的基本原理和方法，也有利用計算機解決實際問題的算法實現(xiàn)，所以首次分層采用問卷調(diào)查的方式，問卷調(diào)查的內(nèi)容涉及以上兩個維度，讓學生自主選擇所在的層次，同時老師也可以根據(jù)問卷調(diào)查情況適當?shù)亟o予引導調(diào)整。問卷調(diào)查表設計如表1所示。

在學習離散數(shù)學的過程中，學生在自我評價的基礎上可以隨時提出申請，或者教師在平時的成績監(jiān)控中發(fā)現(xiàn)學生的進步程度，提醒學生提出升層申請，從而達到各層次學生遞進流動。具體劃分的層次見表2。

A層：拔高層，即能力較高層，該層的學生理論知識扎實，自學能力強，善于動手實踐。在本門課程之前所修的高等代數(shù)分數(shù)在75分以上，具備良好的數(shù)學基礎知識和素養(yǎng)，具備良好的數(shù)學建模能力；程序設計語言C/C++/Java/Python中分數(shù)在75分以上；對數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法有一定的了解；參與過具體的項目。

B層：發(fā)展層，即能力中等層，該層的學生基本掌握理論知識，熟悉基本的編程規(guī)范。在本門課程之前所修的高等代數(shù)分數(shù)在65～75之間；程序設計語言C/C++/Java/Python中分數(shù)在65～75之間；具備一定的學習興趣，但是學習較為懶散，沒有較好的自制力，考前突擊型，缺乏自主學習的能力。

C層：基礎層，即學習習慣差，學習沒有明確的目標，上課不聽講，經(jīng)常抄襲作業(yè)。在本門課程之前所修的高等代數(shù)分數(shù)在65以下；程序設計語言C/C++/Java/Python中分數(shù)在65分以下。

2.2 分層教學的操作

2.2.1 教學內(nèi)容分層

教學內(nèi)容的分層設計是整個分層教學改革的核心內(nèi)容，是分層教學改革的成敗關鍵。分層設計的過程見圖1。

以教學大綱為指導，結(jié)合課程總體教學目標對教學內(nèi)容進行分解和細化，對可以分層的內(nèi)容進行挖掘和識別，最終形成五個模塊的教學內(nèi)容。

學?，F(xiàn)階段使用的教材是屈婉玲、耿素云等人編寫的“離散數(shù)學”，此教材符合B層次的學生對教材的需求，對C層的學生而言，一些定理的證明和推理過于抽象晦澀，因此需要對這一個層次的學生降低難度，但對于A層次的學生，這本教材缺乏一些離散數(shù)學解決實際問題的實例且與計算機學科聯(lián)系的實例較少，使得A層的學生得不到最大限度地鍛煉。因此再搭配一本稍高層次的教材美國Kenneth H.Rosen編寫的“Discrete Mathematics and Its Applications” [6]，現(xiàn)以離散數(shù)學中的關系這章為例來說明教學內(nèi)容分層設計，見表3。

2.2.2提問分層

顯性分層可能會給學生的自尊心帶來負面影響，適當?shù)夭捎秒[形分層策略，即只有授課老師和學生個體清楚所在的層級，學生之間是封閉狀態(tài)，以達到最大程度減少分層帶來的心理落差甚至厭學。因此，提問的問題應該面向全體學生，應設計出有層次的、靈活多樣的問題，使不同學習水平的學生都有話可說。提問時要注意必要的鋪墊，形成階梯，以有利于學生給出答案。對A類同學的提問，難度可以稍微大點，側(cè)重于培養(yǎng)學生的思維能力；對B類同學的提問，注重開發(fā)學生的潛能；對C類學生，以鞏固基礎知識的基本技能為主，重點在于掌握與鞏固，要保護他們的自尊心和積極性。

2.2.3 分層練習

離散數(shù)學的作業(yè)分為理論題和實驗操作兩大部分，對理論題要針對學生的差異，結(jié)合教學內(nèi)容的分層，從題庫選擇對應的題目進行分層布置作業(yè)，在作業(yè)量方面，也要體現(xiàn)適度的分層，基礎不牢固的學生適當增加基礎題，吸收知識較快的同學增加難度稍大的題型。對實驗操作采用的是分組合作的方式，為了讓每個層級的學生能有互相學習的機會，取長補短，每個組內(nèi)的同學都有A、B、C層次的學生。以圖論這章的內(nèi)容為例。實驗目的：理解圖論的基本概念，圖的矩陣表示，圖的連通性，圖的遍歷，以及求圖的連通分支方法。通過實驗，讓學生把離散數(shù)學中的概念、性質(zhì)和運算以及邏輯思維能力融入用計算機具體求解問題中去；通過實驗讓學生領悟編程設計的思想，通過完成簡單的算法設計和分析增強自己的自信心、夯實自己的專業(yè)基礎課。同時提交的實驗報告也鍛煉了學生總結(jié)實驗結(jié)果的能力。通過實驗報告的編寫，掌握目錄、頁碼等文檔編輯技巧。見表4。

通過幾個流程，不同層次的同學參與的側(cè)重點也有所不同，結(jié)合實驗的難易程度，分工可以有所調(diào)整。也利用各個層級之間的動態(tài)流動。

2.3 教學評價的分層

分層的教學不是一種目的，而是一種教學的理念[7]。只有針對不同層級的學生給予不同層次的評價機制，才能使分層教學得到落實和監(jiān)督。分層教育注定評價的方式要多樣化，傳統(tǒng)的評價方式過分重視靜態(tài)的、可量化和淺層次的學習成果， 評價內(nèi)容片面、評價方式單一， 不利于學習者的全面發(fā)展[8]。為了能夠?qū)崿F(xiàn)評價的分層，采用過程性評價。評價主體上，以教師評價為主，學生自評、同學互評為輔。評價內(nèi)容上主要包含學生的課前預習，課堂表現(xiàn)，課后表現(xiàn)。其中課堂預習主要以中國大學生慕課國家精品課程為導學和線上提供的預習資料為主。課堂表現(xiàn)主要包括課堂考勤、課堂熱身提問、課堂討論、回答問題、作業(yè)展示、課堂測驗等。課后表現(xiàn)主要包含課后布置的作業(yè)，線上討論參與的互動情況。以檔案為主，觀察表、評測表實時測評各個層級的表現(xiàn)，及時調(diào)整層級的流動，實現(xiàn)從低層到高層的提升，使分層教學形成一個閉環(huán)。

過程性評價得分細則：

學生的成績?nèi)绻剑?）所示：

[][G=i=1nwigi]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

其中G為課前、中、后總成績，i表示項數(shù)標號（[1≤i≤N]）， [gi]表示第i項的成績，[wi][wi]表示第i項的權重，通過下表給出評價的細則[gi]，設置好各項的權重，可以由學習通自動計算結(jié)果。

過程性評價中需要注意：

（1）制定完善的激勵制度，合理地設置每項評價指標的權重。

（2）使用網(wǎng)絡教學平臺、精品課程平臺進行大數(shù)據(jù)評價。

（3）制定每個層級的學習路徑圖和層級轉(zhuǎn)化路徑圖。

（4）定期對收集的測評數(shù)據(jù)進行分析，喚醒每個層級學生轉(zhuǎn)化與之能力匹配的等級。

（5）作業(yè)形式多樣化。作業(yè)主要分為兩個部分，一部分是教師統(tǒng)一準備作業(yè)本，主要包含基礎概念，基本計算，基本證明，主要以教材【屈婉玲】的課后習題為主，另一部分是上機實驗題，主要包含實際應用的求解或者算法實現(xiàn)的作業(yè)，視具體的作業(yè)難易程度，組織形式可以多樣化，比如小組，自由組合，作業(yè)計入總成績。

3 結(jié)束語

分層教育的教學方法已經(jīng)在英語、數(shù)據(jù)、物理等基礎課程取得了很好的教學效果，但應用到具體學校的離散數(shù)學課程中還存在諸多問題。要綜合考慮學生的基礎學科素養(yǎng)的差異和課程本身的結(jié)構(gòu)特性，制定適合自己的課程分層設計。但通過一學期的觀察和實踐，學生對離散數(shù)學的認識從以前的枯燥、乏味到對課程感興趣、愿意聽、樂意動手操作，不失為一種教學改革的進步。下一步計劃繼續(xù)挖掘?qū)I(yè)內(nèi)涵，從學科發(fā)展前沿的技術引入到課程中來，在分層教學中與引入的教學手段相結(jié)合，讓學生真正地做到學有所得，學有所用。

參考文獻：

[1] 屈婉玲，耿素云，張立昂[著].離散數(shù)學[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2] 彭懷祖，楊建新.基于分層教育理論的榜樣教育實效性研究[J].思想教育研究，2010（11）：88-91.

[3] 李偉彬，許有平.現(xiàn)代教育語境下大學英語隱性分層教育研究[J].外國語文，2011，27（S1）：159-161.

[4] 劉瑜，杜晶，楊玫.MOOC背景下《大學計算機基礎》Python實驗螺旋分層教學設計[J].計算機工程與科學，2019，41（S1）：114-118.

[5] 王曉英，黃維通，劉曉靜，等.面向西部高校計算機專業(yè)的離散數(shù)學教改實踐[J].計算機教育，2011（20）：43-48.

[6] Kenneth H.Rosen.“Discrete? Mathematics and Its Applications”[M].北京：機械工業(yè)出版社，2011.

[7] 胡琨，程愷.分層教學法在軍隊院校計算機教育實踐能力培養(yǎng)中的應用[J].計算機工程與科學，2014，36（S2）：6-9.

[8] 上超望，韓夢，楊梅.基于大數(shù)據(jù)的在線學習過程性評價設計研究[J].現(xiàn)代教育技術，2018，28（10）：94-99.

【通聯(lián)編輯：光文玲】