親歷規(guī)律探究的過程，提升數(shù)學思維的品質(zhì)

謝小慶

摘 要：“探究規(guī)律”的專項教學推動小學生自主解題思維能力的顯著提升，從而實現(xiàn)小學生解題思維角度更具多元化特性，因此此項教學值得展開全面探究。在具體教學階段中，要讓學生感悟不同層次的猜想方法，經(jīng)歷不同思路的探索路徑，并能融通在不同探索路徑下的規(guī)律表達，以更好地實現(xiàn)小學生數(shù)學學科素養(yǎng)的整體化增進。

關(guān)鍵詞：猜想;多元路徑;融通規(guī)律

有效探究規(guī)律是如今小學課程教學中的重點環(huán)節(jié)所在，也是提升小學生數(shù)學解題意識的重要基礎(chǔ)。教師具體開展教學的階段中，需要全面關(guān)注相關(guān)教材內(nèi)容，以實現(xiàn)教學的高品質(zhì)開展，真正意義上提升小學生的數(shù)學解題思維，從而實現(xiàn)課堂教學朝著高效率與高品質(zhì)的方向發(fā)展。

一、嘗試猜想，體會猜想的方法

猜想是具有顯著革新特征的專項思維運作互動，其不僅是合理化探知的先導，也是改善問題的重要方式。在具體教學階段中結(jié)合猜想式教學，可以讓學生依據(jù)現(xiàn)已獲得的知識內(nèi)容，同時借助自我的實踐來獲取全新的想法與認知，同時對猜想的實際內(nèi)容展開探究。學生借助標準化的學習方式，不僅可以獲取較系統(tǒng)化的數(shù)學知識，還可以規(guī)范應(yīng)用思想，獲取學習體驗，讓學生充分享受學習所帶來的快樂。在教學“多邊形的內(nèi)角和”這節(jié)課時，教師先后三次安排了猜想的環(huán)節(jié)。

片段1：

第一次猜想：在探究四邊形內(nèi)角和的活動之前，讓學生猜想四邊形的內(nèi)角和是多少度。

師：同學們，根據(jù)你們的經(jīng)驗，你認為四邊形的內(nèi)角和可能是多少度？你又是怎樣想的？

生1：我覺得四邊形的內(nèi)角和要大于180°，因為三角形的內(nèi)角和是180°，它有3個角，而四邊形有4個角。

師：這個想法有一定的道理。

生2：因為長方形和正方形的內(nèi)角和都是360°，而它們都是四邊形，所以我覺得四邊形的內(nèi)角和也是360°。

師：從特殊的四邊形來猜想一般的四邊形，這個聯(lián)想很有價值。那么這些猜想是否正確，還得去驗證。

片段2：

第二次猜想：在探究五邊形內(nèi)角和的活動之前，讓學生猜一猜五邊形的內(nèi)角和是多少度。

師：同學們，現(xiàn)在我們已經(jīng)知道了三角形和四邊形的內(nèi)角和了，那你能猜一猜五邊形的內(nèi)角和是多少度嗎？

生1：我認為五邊形的內(nèi)角和會大于360°，因為它有5個角。

師：角越多，和越大，有道理。

生2：因為三角形的內(nèi)角和是180°，四邊形的內(nèi)角和是360°，所以我認為五邊形的內(nèi)角和是720°。

師：你是根據(jù)數(shù)據(jù)的特點來猜想的，真會觀察。

生3：540°，因為360°比180°大180°，我覺得五邊形內(nèi)角和比360°大180°。

師：你覺得五邊形內(nèi)角和與180°有關(guān)，真會思考。

片段3：

第三次猜想：在學生探究完五邊形和六邊形的內(nèi)角和之后，讓學生猜想七邊形、八邊形的內(nèi)角和。

師：同學們，照這樣下去，你們覺得七邊形的內(nèi)角和是幾個180°，八邊形呢？

生：七邊形的內(nèi)角和是5個180°，八邊形的內(nèi)角和是6個180°。因為四邊形的內(nèi)角和是2個180°，五邊形的內(nèi)角和是3個180°，六邊形的內(nèi)角和是4個180°。

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》指出：在數(shù)學的學習過程中，應(yīng)該給學生創(chuàng)造足夠的時間和空間，使其親歷完整的觀察、猜想、驗證等一系列活動過程?？梢?，猜想是學習中一個非常關(guān)鍵的環(huán)節(jié)，也是探究數(shù)學知識不可或缺的方法，需要教師以學生現(xiàn)有的認知基礎(chǔ)以及新知學習條件為出發(fā)點，引導學生大膽地想象，然后對所學知識進行推理和驗證，因此，數(shù)學猜想是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的起點，更是學生體驗知識的過程。那么，在平時教學中，小學生的猜想能力足夠嗎？怎樣開展猜想才是科學且有效的？在具體的課堂教學過程中，諸多學生往往不會結(jié)合應(yīng)用猜想，其簡單認為個人的奇思妙想便是猜想。這些猜想本質(zhì)上無具體的依據(jù)作為支持，而實際猜想需要充分的合理性。所以，在開展規(guī)律探究的實際教學過程中，教師不僅需要給出學生具體的猜想結(jié)構(gòu)，還需要讓學生給予更多的相關(guān)依據(jù)。在“多邊形的內(nèi)角和”這節(jié)課中，教師設(shè)計的三次猜想的方法及思維層次是不一樣的，第一次猜想不需要數(shù)據(jù)的依托，根據(jù)自己已有的經(jīng)驗，有的學生覺得四邊形的角比三角形的多，所以認為四邊形的內(nèi)角和比三角形的內(nèi)角和要大，也有的學生會根據(jù)學過的特殊的四邊形（長方形和正方形），它們的內(nèi)角和是360°，由此聯(lián)想到其他的、一般的四邊形的內(nèi)角和也可能是360°，這種猜想是從特殊到一般的猜想。第二次猜想是基于兩個數(shù)據(jù)的猜想，學生會根據(jù)三角形的內(nèi)角和以及四邊形的內(nèi)角和兩者數(shù)據(jù)之間的關(guān)系來猜想五邊形的內(nèi)角和，它有可能是540°，依據(jù)是四邊形的內(nèi)角和比三角形的內(nèi)角和多了180°，也有學生認為五邊形的內(nèi)角和可能是720°，依據(jù)是四邊形的內(nèi)角和是三角形的內(nèi)角和的兩倍。這些都是通過觀察、分析數(shù)據(jù)特點從而進行猜想，這是有理有據(jù)的猜想。第三次猜想是通過對一組數(shù)據(jù)的比較而進行的猜想。在猜想之前，學生已經(jīng)知道了三角形、四邊形、五邊形和六邊形這些圖形的內(nèi)角和，這時對七邊形的內(nèi)角和和八邊形的內(nèi)角和的猜想就有了一組數(shù)據(jù)，根據(jù)這組數(shù)據(jù)，學生能很快地找出規(guī)律、提出猜想。因此，不同的猜想方法體現(xiàn)了猜想的多樣化階層，可以讓小學生在具體學習開展階段通過體驗與驗證的方式，來進一步提升其科學解題思維與意識。在探究規(guī)律教學的實際階段中，需要充分注意的是，規(guī)律的應(yīng)用不是核心，核心在于探究的整體過程，開始的時候是怎樣猜想的，驗證之后結(jié)果又是怎樣的，與原來的猜想是否一致。

猜想是推動小學生數(shù)學解題思維提升的重要方式，教師需要從平時教學的細節(jié)之處著手，重視并鼓勵學生大膽地猜想，為創(chuàng)新插上猜想的翅膀，提高學生的數(shù)學思維能力。

二、多元路徑，經(jīng)歷不同的探索

小學生個人數(shù)學思維的有效培養(yǎng)與教師的正確引導有著密切的關(guān)聯(lián)性，在具體教學開展中要為學生創(chuàng)造更多思考的時間和空間，讓學生在思考的過程中對數(shù)學知識形成深刻理解。多角度思考，尋找不同的解決問題的方式，往往能讓學生的思考更加深入，這對學生思維能力的發(fā)展有著很大的幫助。讓學生在多樣化解決問題的過程中，不僅要獨立思考，還要嘗試換位思考，除了從常規(guī)的角度進行思考之外，還要另辟新路，突破固化的思維方式，如此才可以更好地培養(yǎng)小學生在解題過程中的創(chuàng)新精神與意識，讓學生的思維靈活性獲得有效發(fā)展。小學階段的數(shù)學學習要為以后的數(shù)學學習打下扎實的基礎(chǔ)，要使學生對相關(guān)的數(shù)學知識產(chǎn)生深刻的認識，真正體會知識的本質(zhì)和內(nèi)涵，而靈活運用數(shù)學知識來解決問題就是學生理解數(shù)學知識內(nèi)涵的重要體現(xiàn)。帶領(lǐng)學生從不同的角度來解決問題，實際上就是帶領(lǐng)學生從題目中聯(lián)想數(shù)學知識并加以運用的過程，加強解決問題方法多樣化的教學能讓學生對數(shù)學知識把握得更加深刻。

在“多邊形的內(nèi)角和”這節(jié)課中，教材的設(shè)計意圖是將“求多邊形內(nèi)角和”的問題轉(zhuǎn)化成“求若干個三角形內(nèi)角和”的問題，這是解決多邊形內(nèi)角和問題的一種策略。這樣設(shè)計其實是把復雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題，把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題。這樣安排的原因是把多邊形分成最少數(shù)量的三角形，學生在之前的教材中曾經(jīng)接觸過，教師只需要引導提出這些經(jīng)驗，那么學生就會自然而然地理解這種方法。但是在實際的教學中，筆者發(fā)現(xiàn)，在探究時，有的學生確實是按教材的意思去分的（如圖1），但是，也有的學生有著不同的方法（如圖2），甚至有的學生想到了第三種方法（如圖3）。其中，方法一是根據(jù)教材探索規(guī)律的路徑，將四邊形分成兩個三角形，五邊形分成三個三角形……學生有過這樣分的經(jīng)驗，就能較快地理解這種方法，而且利于規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和表達。方法二是基于學生的研究實際，四邊形可以分成兩個三角形，五邊形可以分成一個三角形和一個四邊形（四邊形剛剛才研究過，知道了它的內(nèi)角和），六邊形可以分成兩個四邊形（或者一個三角形和一個五邊形）……隨著多邊形邊數(shù)的增多，都可以在前面研究的多邊形基礎(chǔ)上來進行研究的。并且學生認為這樣分的次數(shù)較少，分起來比較簡便，計算起來也不麻煩。而方法三是學生在探究四（六）邊形的內(nèi)角和時常常會出現(xiàn)的，一開始，大多學生可能覺得這樣分并不能求出四（六）邊形的內(nèi)角和，然而經(jīng)過后期討論，學生會欣喜地發(fā)現(xiàn)，原來只要拿四（六）個180°減去中間的一個周角（360°）也能求出四（六）邊形的內(nèi)角和。這樣學生的思維會進一步地打開，轉(zhuǎn)化的感悟會更多樣，這些都是將未知的問題轉(zhuǎn)化成已知的問題，只是路徑不同而已。

在經(jīng)典數(shù)學題目“雞兔同籠”問題的練習中，經(jīng)常會設(shè)置問題如“小雞與兔子總共數(shù)量為8，所有動物的腿數(shù)量加一起為26，則其中小雞和兔子具體有多少？”教材中是引發(fā)學生借助畫圖與演練的舉措來解答此問題，不過在具體的教學中，學生往往會結(jié)合應(yīng)用假設(shè)的方法來去解答相關(guān)問題。所以在具體開展此類問題的解答過程中，任課教師首先需要引導學生結(jié)合運用諸如繪圖、推演等多樣化方式開展問題解析，以實現(xiàn)培養(yǎng)學生解題思維的深度。與此同時，任課教師還需要引導學生對相關(guān)方式開展有效對比，從而推動學生在不同探索方式中有效把控其中所對應(yīng)的規(guī)律。這不僅可以提升學生對解題規(guī)律的深入認知，還可以起到推動解題效率提升的效果。

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》較關(guān)注問題運作的多元化特性以及答案的不指定性。這便需要所有學生對問題具有自己不同的解析，“探究規(guī)律”的教學不僅僅需要關(guān)注其規(guī)律性，而更多需要關(guān)注探究規(guī)律的方式，其主要目標是讓學生探究階段中感知改善問題的多樣化特性，以更好地培養(yǎng)學生的革新意識。每一個學生都是單獨的個體，持續(xù)化拓展“探究規(guī)律”的方式，有助于推動學生深入思索，更好地提升學生的參與度，讓所有學生的個性都可以得到很好的保護與引導。

三、互通勾連，明晰內(nèi)在的聯(lián)系

小學階段的數(shù)學知識是學生開展學科學習的重要根基，也是任課教師提高小學生數(shù)學學科綜合素養(yǎng)的關(guān)鍵基礎(chǔ)。在具體的教學開展中，需要教師不局限于專業(yè)知識的學習，還要引導學生關(guān)注知識中所蘊藏的聯(lián)系，以實現(xiàn)教學的高品質(zhì)開展。只有如此，小學生才可以更好地探知學習數(shù)學的真正意義，并更全面地掌握解題的思維與技巧。在探究規(guī)律的過程中，方法、路徑可能不同，但本質(zhì)往往是相同的。

在“多邊形的內(nèi)角和”這節(jié)課中出現(xiàn)的幾種探究路徑中，無論是方法一還是方法二，其規(guī)律都可以用“多邊形的內(nèi)角和=（多邊形的邊數(shù)-2）×180°”來表達，而方法三其實不光四（六）邊形可以這樣分，其他多邊形也可以分，以五邊形為例，只需要從五邊形內(nèi)任意找一個點，連接這個點和五邊形的5個端點，也可以得到5個三角形（如圖4）。那么我們也可以得到它的規(guī)律為：多邊形的內(nèi)角和=多邊形的邊數(shù)×180°-360°。到這里看似多邊形內(nèi)角和有了兩個不同的表達式，但它們是孤立存在的嗎，它們之間就沒有內(nèi)在聯(lián)系嗎？顯然不是！通過讓學生再仔細觀察、比較這兩個表達式，讓學生說說自己的理解。如果將第二個表達式中的“360°”看成“2×180°”，第二個表達式就可以像下面這樣轉(zhuǎn)化：

多邊形的內(nèi)角和=多邊形的邊數(shù)×180°-360°

=多邊形的邊數(shù)×180°-2×180°

=（多邊形的邊數(shù)-2）×180°

這其實就是乘法分配律的應(yīng)用。通過互通勾連，學生就會進一步理解規(guī)律。不同方法，異曲同工，學生就應(yīng)該在這樣開放的探究過程中，明晰內(nèi)在聯(lián)系。

同樣，在“雞兔同籠”問題中，在學生交流完畫圖法和假設(shè)法后，讓學生仔細觀察這兩種方法，溝通圖形和算式之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)假設(shè)法其實就是將畫圖法抽象化，畫圖法就是將假設(shè)法形象化，通過數(shù)形結(jié)合的思想，明確了兩種方法之間的關(guān)系，促進了學生的進一步思考，從而發(fā)展了學生的思維。

數(shù)學是系統(tǒng)性很強的一門學科，各種方法之間其實聯(lián)系非常緊密。在面對有多種策略、方法可以解決問題時，學生對每種方法的理解往往是個體的、分散的，常常是“見木不見林”。而通過對多種方法之間的互通勾連，有助于學生理解多種方法之間的具體關(guān)系，明晰所應(yīng)用方式的具體特點，讓方法進行有效的科學結(jié)合，形成合理架構(gòu)，以打造更完善的知識結(jié)構(gòu)，推動小學生數(shù)學知識的完善化。

整體而言，探究規(guī)律的小學數(shù)學教學對提升學生探知與具體解決問題的能力有著極大的推動作用，同時有助于學生有效養(yǎng)成主動探究的思維習慣。它是一個讓學生自主發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識的過程，這就要求教師精心設(shè)計教學，要讓學生學會猜想，敢于經(jīng)歷不同的探究路徑，溝通不同路徑探究下的規(guī)律，實現(xiàn)小學生數(shù)學整體解題能力的整體化提升。

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