摘 要：《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，教師在教學(xué)過程中需要幫助學(xué)生體驗解決問題策略的多樣性，形成解決問題的基本策略?！暗雇啤辈呗允且环N特殊的教學(xué)策略，其要求教師引導(dǎo)學(xué)生用倒推（還原）的方法追溯問題的起始狀態(tài)，分析與問題相關(guān)的數(shù)量關(guān)系等，這樣不僅能有效增強學(xué)生運用策略分析問題的意識，提高其解決問題的能力，還能促進(jìn)學(xué)生的逆向思維的良好發(fā)展?；诖?，文章闡述了“倒推”策略的含義及其在解決問題中的重要性，并總結(jié)了幾點引導(dǎo)學(xué)生掌握“倒推”這一問題解決方法的教學(xué)策略。

關(guān)鍵詞：策略;倒推;認(rèn)知

作者簡介：賈青（1968—），女，江蘇省南京市月牙湖小學(xué)。

我們都知道，事情從開始到結(jié)束需要一個過程。在這一過程中，事物要么是在數(shù)量多少上發(fā)生變化，要么是在方向、路線、時間等其他方面發(fā)生變化。研究其中蘊含的數(shù)學(xué)問題往往有兩條線索：一條事物的起始狀態(tài)開始，根據(jù)事物將要發(fā)生的變化，推斷其結(jié)束時的狀態(tài);另一條以事物的結(jié)束狀態(tài)為起點，根據(jù)事物已經(jīng)發(fā)生的變化，追溯其起始狀態(tài)。學(xué)生比較習(xí)慣用前一條線索分析數(shù)量變化關(guān)系和解決實際問題，但是有些問題用后一條線索來解決更為方便。后一條線索屬于倒推思路?！暗雇啤保ㄋ椎刂v就是“倒過來想”，即從事情的結(jié)果往前追溯它在開始時是怎樣的?！暗雇啤笔且环N策略，引導(dǎo)學(xué)生在事物變化中感受、體會、反思，應(yīng)用不同的思路去解決新的問題。為促進(jìn)學(xué)生的策略認(rèn)知向青草更青處漫溯，本文結(jié)合《解決問題的策略——倒推》，總結(jié)了幾點關(guān)于“倒推”策略的教學(xué)方法。

一、“倒推”策略的含義及其在解決問題中的重要性

“倒推”策略是一種以期望的目標(biāo)為基準(zhǔn)，從后往前來推測事物變化的策略方法。在以往的教學(xué)過程中，在分析和解決問題時，教師多習(xí)慣引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)有的條件出發(fā)，根據(jù)條件分析和探索得出問題答案，即根據(jù)條件求出結(jié)果。而反過來，我們已知結(jié)果也能根據(jù)題目中的已知條件，通過反向推導(dǎo)求出事物先前的狀態(tài)。但是，受傳統(tǒng)思維的制約，很多學(xué)生并不了解“倒推”策略在分析和解決問題中的重要性，因此也不能很好地應(yīng)用“倒推”策略解決問題。基于此，教師要幫助學(xué)生認(rèn)識和理解“倒推”策略。本文是筆者結(jié)合課堂教學(xué)的具體案例和反思，經(jīng)過研究和思考后得出的一些結(jié)論。本文結(jié)合具體案例《解決問題的策略——倒推》分析，力求學(xué)生能從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)、提出和分析問題，綜合應(yīng)用所學(xué)知識解決問題，最終形成解決問題的策略。教學(xué)實踐證實，創(chuàng)設(shè)與現(xiàn)實生活有密切聯(lián)系的情景，能激發(fā)學(xué)生的策略意識;創(chuàng)設(shè)與“倒推”策略應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，能使學(xué)生拓展思路;幫助學(xué)生進(jìn)行自我比較、升華解題策略以及課后延伸，不僅能有效增強學(xué)生運用“倒推”策略分析問題的意識，也能提高其解決問題的能力[1]。

二、解決問題的策略——倒推教學(xué)策略

（一）創(chuàng)設(shè)與現(xiàn)實生活有密切聯(lián)系的情景，培養(yǎng)學(xué)生策略意識

培養(yǎng)學(xué)生的策略意識，是促進(jìn)學(xué)生策略認(rèn)知“向青草更青處漫溯”的基礎(chǔ)。我們在生活中時常會應(yīng)用“倒推”這一策略，只是很多人沒有對其進(jìn)行系統(tǒng)性的理解與學(xué)習(xí)。學(xué)生有一定的生活問題解決經(jīng)驗，教師需要幫助學(xué)生提煉、總結(jié)“倒推”策略的一般思路，引導(dǎo)學(xué)生充分地理解這一生活內(nèi)隱策略，使用簡潔的語言表述其中蘊含的數(shù)學(xué)思想。為了激發(fā)學(xué)生運用“倒推”策略分析和解決問題的意識，在教學(xué)過程中，筆者依據(jù)實際生活場景設(shè)計了一個“教師找U盤”的問題情景，這一情景貼近學(xué)生生活，容易使學(xué)生產(chǎn)生共鳴，從而能激發(fā)其研究與探索問題的意愿?！敖處熣襏盤”情景的主要內(nèi)容為：教師上課時發(fā)現(xiàn)自己裝有課件的U盤不見了，可是教師剛剛下公交車的時候，U盤還在她的口袋里，轉(zhuǎn)眼就不見了，該怎么辦呢？創(chuàng)設(shè)這樣的情景后，筆者便讓學(xué)生思考如何解決教師的問題。學(xué)生按照其慣性思維和生活經(jīng)驗，想到要找回教師丟失的U盤，最有效的方法就是原路返回去找。但是單純知道原路返回去找這一方法還不夠，我們還需要知道原路返回的路線。因此，筆者給學(xué)生出示了問題情境中教師的行動路線圖，然后引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)路線圖思考和分析尋找U盤的最佳路徑。最終，學(xué)生順利幫助筆者在某個地方找到了U盤[2]。

（二）創(chuàng)設(shè)與“倒推”策略相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，形成思路策略

培養(yǎng)學(xué)生運用“倒推”策略解決問題的意識后，教師還需積極創(chuàng)設(shè)與“倒推”策略相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，并讓學(xué)生運用“倒推”策略分析具體的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生逐步感悟基本的數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生掌握具體問題情境中數(shù)字的變化，從而促使學(xué)生認(rèn)識和思考問題的本質(zhì)，進(jìn)而能采用“倒推”策略有效解決實際問題。例如，筆者在教學(xué)過程中設(shè)置了倒果汁的問題。

1.設(shè)計“倒果汁”問題，讓學(xué)生初步學(xué)習(xí)“倒推”策略的應(yīng)用

“倒果汁”問題如下：甲杯中原來有一些果汁，被小紅喝了50毫升后，又被倒入70毫升，現(xiàn)有220毫升果汁在杯中，那么甲杯中原有果汁多少毫升？在引導(dǎo)學(xué)生解答這一問題的過程中，筆者主要采用引導(dǎo)學(xué)生觀察果汁變化示意圖，應(yīng)用“倒推”策略等方法幫助學(xué)生分析問題。學(xué)生通過觀察“倒果汁”的示意圖，可以很直觀地發(fā)現(xiàn)杯中果汁含量的變化，學(xué)生依據(jù)自己的感性直覺獲得了多樣化問題解決方法。在學(xué)生通過自己的問題解決方法得出結(jié)果后，教師引導(dǎo)學(xué)生再倒回去檢驗，讓學(xué)生理解“倒推”策略的合理性。最后，筆者幫助學(xué)生提煉出使用“倒推”策略解決問題的一般思路，使學(xué)生初步感受“倒推”策略的應(yīng)用。在引導(dǎo)學(xué)生采用“倒推”策略分析上述問題的過程中，筆者先讓其按題意有序整理題目中的已知條件，然后根據(jù)已知條件從最終結(jié)果“倒推”和反向計算，便能快速得到甲杯中原有多少毫升果汁，即220-70+50=200（毫升），從而幫助學(xué)生形成一定的“倒推”思路。待學(xué)生用“倒推”策略解決分析問題后，筆者還引導(dǎo)學(xué)生將利用“倒推”得出的答案代入問題，再進(jìn)行正向檢驗計算結(jié)果，以進(jìn)一步幫助學(xué)生理清思路[3]。

2.拓展設(shè)計“倒果汁”問題，強化學(xué)生對“倒推”策略的理解和運用

在上述解題過程中，學(xué)生采用“倒推”策略分析和解決問題，初步掌握了“倒推”思路，但是上述問題相對簡單，學(xué)生對“倒推”策略的理解不夠深入。為此，筆者進(jìn)一步拓展了“倒果汁”問題，新的問題設(shè)計如下：有甲、乙兩個杯子，老師這里有400毫升的果汁，準(zhǔn)備按照圖1（a）所示方法將果汁倒入甲、乙兩個杯子，同學(xué)們覺得這樣做公平嗎？為什么？根據(jù)圖1，學(xué)生可以直觀地看到甲、乙兩個杯子中所有的果汁量并不相同，因此，按照上述方法來倒果汁顯然不公平。若甲杯往乙杯中倒入40毫升的果汁，兩杯果汁量相同。那么兩杯中原有果汁多少毫升？在這一問題的解決過程中，筆者將學(xué)生分為幾個學(xué)習(xí)合作小組，讓每個小組的成員先進(jìn)行獨立思考，然后再在小組內(nèi)交流，勇于表達(dá)自己的解法和思路。通過自主探究，不少學(xué)生提出了自己的解法，如一學(xué)生的解題思路為：先預(yù)設(shè)平均分配后甲、乙兩杯中分別有多少毫升果汁，即400÷2=200（毫升），再倒推甲杯：200+40=240（毫升），乙杯：200-40=160（毫升）。另一學(xué)生的解題思路為：可以先求甲、乙兩杯果汁相差的部分：40+40=80（毫升）;再求乙杯：400-80=320（毫升），320÷2=160（毫升）;最后求甲杯：400-160=240（毫升）。建構(gòu)主義認(rèn)為，知識能否高效建構(gòu)的關(guān)鍵是與新知有一定聯(lián)系的舊知是否清晰。上述片段的教學(xué)中，筆者把教學(xué)的著力點放在“你是怎樣解決問題的”這一主題上，以匯報的形式讓學(xué)生展示自己的問題解決方法和結(jié)果呈現(xiàn)方式，使學(xué)生體驗“倒推”策略。這樣的方式能促使學(xué)生積極主動尋找不同的問題解決方法，自主感悟“倒推”的基本思路。這樣的教學(xué)使學(xué)生產(chǎn)生了學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力，其課堂參與效率自然就能獲得提高，其課堂參與面也更廣泛了[4]。

（三）注重學(xué)生在聯(lián)系中的自我比較，升華解題策略

在學(xué)生基本形成解決“倒推”問題的思路后，筆者還設(shè)計了一些相似的題組，讓學(xué)生自主觀察和比較這些相似的題目，并判斷哪些題組適合采取“倒推”策略來解決，進(jìn)一步讓學(xué)生明白適合采取“倒推”策略的問題情境。筆者設(shè)計了這樣的題組：“小明原來有一些郵票，今年新收集了24張，送給小軍30張郵票后，自己還剩52張。那么小明原來有多少張郵票？（題1）”“小明原來有一些郵票，他拿出郵票的一半送給小軍，自己還剩24張，那么小明原來有多少張郵票？（題2）”“小明原來有24張郵票，他將自己一半的郵票送給小軍，小明還剩多少張郵票？（題3）”筆者給出題組后，讓學(xué)生思考解決這些問題的方法以及這些問題是否均能采用“倒推”策略進(jìn)行解答。通過整理題目的已知條件，利用流程圖表達(dá)題中的信息，不少學(xué)生能得知題1、題2可以應(yīng)用“倒推”策略解答，如題1的信息流程圖為“小明原有郵票x張→今年收集了24張→送給小軍30張→還剩 52 張，因此，小明原有郵票數(shù)量為52+30-24=58（張）”;題2的信息流程圖為“小明原有郵票x張→拿出郵票的一半（1/2x）送給小軍→還剩24 張，即1/2x=24，可知x=48，即小明原有郵票48張”。而題3則不適合采用倒推策略進(jìn)行解答，因為題3的信息流程圖為“小明原有24張郵票→拿出郵票的一半送給小軍→剩x張郵票，24-24×1/2=12（張）”，所以可以直接進(jìn)行計算。引導(dǎo)學(xué)生觀察和比較上述題組的原因在于現(xiàn)代教學(xué)論認(rèn)為，學(xué)習(xí)不是學(xué)生對教師所授予的知識的被動接受，而是學(xué)生利用自身已有的知識和經(jīng)驗參與學(xué)習(xí)活動，歷經(jīng)知識的形成過程，主動實現(xiàn)意義建構(gòu)。在上述知識建構(gòu)的過程中，學(xué)生親身體驗了“倒推”策略，感悟“倒推”題型的特點、建構(gòu)雛形，學(xué)會辨析，獲得了豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗[5]。

（四）課后延伸，進(jìn)一步升華解題策略

為促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步感知“倒推”策略在問題解決中的應(yīng)用，以及進(jìn)一步深化學(xué)生對“倒推”策略的掌握，筆者還給學(xué)生布置了“李白飲酒題”的課后習(xí)題。早在1000多年前，我國唐代著名數(shù)學(xué)家張遂就對“倒推”策略進(jìn)行了深入研究，并以“李白飲酒”為題材編制了一道可用“倒推”策略解決的問題，即“李白街上走，提壺去買酒。遇店加一倍，見花喝一斗。三遇店和花，喝光壺中酒。借問此壺中，原有多少酒？”利用“倒推”策略解題可知，壺中在李白最后“見花喝一斗”前有酒0+1=1（斗）;最后“遇店加一倍”，則原有1÷2=1/2（斗）;第二次“見花喝一斗”，原有1/2+1=3/2（斗）;第二次“遇店加一倍”，則原有3/2÷2=3/4（斗）;第一次“見花喝一斗”，原有3/4+1=7/4（斗）;第一次“遇店加一倍”，則原有7/4÷2=7/8（斗）。因此，此壺中原有7/8斗酒。

結(jié)語

引導(dǎo)學(xué)生采用“倒推”策略解決數(shù)學(xué)問題的過程中，教師應(yīng)重視指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用流程圖整理題意。另外，教師還需要關(guān)注學(xué)生對“倒推”策略的感受、體驗和理解，讓學(xué)生體會“倒推”策略在解決特定問題時的優(yōu)越性。學(xué)生在解決實際問題的過程中不斷反思，感受“倒推”策略對特定問題的價值，其推理能力會得到進(jìn)一步發(fā)展?？傊?，開展有關(guān)解決實際問題策略的教學(xué)，教師應(yīng)遵循學(xué)生的心理特征和思維特點，從具體的問題出發(fā)，尊重學(xué)生個性，重視學(xué)生的感悟和理解，探尋有效的教學(xué)策略，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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