秦虹柳

【摘要】在實(shí)際教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)“二次函數(shù)的應(yīng)用”問(wèn)題對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是個(gè)很難跨越的障礙，有很多學(xué)生只要碰到這類問(wèn)題就表現(xiàn)出嚴(yán)重的畏難情緒，還有一些學(xué)生在面對(duì)即使是很基礎(chǔ)的問(wèn)題時(shí)，也無(wú)從下筆.尤其是“二次函數(shù)中最值”的問(wèn)題，更是學(xué)生難以突破的屏障.

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù);最值問(wèn)題;數(shù)學(xué)解題

在教學(xué)中，老師們都會(huì)重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)二次函數(shù)的最值問(wèn)題與頂點(diǎn)之間的聯(lián)系，如二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)x=-b2a時(shí)，函數(shù)取最值y=4ac-b24a.但是，對(duì)于一個(gè)二次函數(shù)限定不同定義域時(shí)的最值問(wèn)題，才是學(xué)生們的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，這應(yīng)該引起教師的關(guān)注，我們可以通過(guò)如下的教學(xué)設(shè)計(jì)來(lái)幫助學(xué)生充分理解二次函數(shù)的最值問(wèn)題.

例如 “當(dāng)x滿足如下條件時(shí)，x為何值時(shí)，函數(shù) y=x2-2x+3取最值，最值是幾？”

（1）x取全體實(shí)數(shù);（2）2≤x≤3;

（3）22;

（5）x≥2;（6）x≤3;

（7）x<3;（8）0≤x≤3;

（9）-2≤x≤3;（10）0

（11）0≤x<3;（12）0

（13）x>0;（14）x≥0.

在二次函數(shù)最值問(wèn)題的教學(xué)中，應(yīng)該特別強(qiáng)調(diào)“數(shù)形結(jié)合”的思想，通過(guò)圖象幫助學(xué)生理解最值問(wèn)題，y=x2-2x+3的圖象如圖1，易求：該函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），根據(jù)不同定義域，結(jié)合具體函數(shù)圖象，引導(dǎo)學(xué)生分析結(jié)果如下：

（1）當(dāng)x取全體實(shí)數(shù)時(shí)，如圖1，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)最小值y=2，函數(shù)無(wú)最大值;

（2）當(dāng)2≤x≤3時(shí)，如圖2，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)最小值y=3;當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)最大值y=6;

（3）當(dāng)2

（4）當(dāng)x>2時(shí)，函數(shù)無(wú)最小值，也無(wú)最大值;

（5）當(dāng)x≥2，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)最小值y=3，無(wú)最大值;

（6）當(dāng)x≤3時(shí)，如圖3，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最小值y=2，無(wú)最大值;

（7）當(dāng)x<3時(shí)，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最小值y=2，無(wú)最大值;

（8）當(dāng)0≤x≤3時(shí)，如圖4，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最小值y=2;當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)取最大值y=6;

（9）當(dāng)-2≤x≤3時(shí)，如圖5，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)最小值為y=2;當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)最大值為y=11;

（10）當(dāng)0≤x<3時(shí)，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最小值y=2，函數(shù)無(wú)最大值;

（11）0

（12）當(dāng)0

（13）當(dāng)x>0時(shí)，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最小值y=2，函數(shù)無(wú)最大值;

（14）當(dāng)x≥0時(shí)，如圖6，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最小值y=2，函數(shù)無(wú)最大值.

教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題，更重要的是通過(guò)如下的設(shè)計(jì)來(lái)幫助學(xué)生解決思維上的“矛盾沖突”，教學(xué)中進(jìn)行如下對(duì)比：

①對(duì)比（2）和（3），當(dāng)定義域中不包含端點(diǎn)的值時(shí)，函數(shù)沒(méi)有相應(yīng)最值;

②對(duì)比（6）和（7），定義域端點(diǎn)的值是否在定義域中，對(duì)函數(shù)最值的結(jié)果并無(wú)影響，與“①”中猜想產(chǎn)生沖突;

③=3＼*GB3對(duì)比（2）和（6），只有定義域中的端點(diǎn)處為圖象“最高”或“最低”點(diǎn)的情況，端點(diǎn)的值是否在定義域中，才對(duì)最值的情況產(chǎn)生影響;

④對(duì)比（8）和（9），如果二次函數(shù)的定義域是一個(gè)兩端封閉的范圍，并且定義域中包含頂點(diǎn)橫坐標(biāo)，那么除了頂點(diǎn)外還有最值點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性，當(dāng)x取到頂點(diǎn)橫坐標(biāo)距離更遠(yuǎn)的定義域端點(diǎn)的值時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值是最值;

⑤對(duì)比（10）和（11），函數(shù)的最小值出現(xiàn)在頂點(diǎn)處，而從這兩個(gè)定義域來(lái)看，函數(shù)的最大值只與x=3有關(guān)，定義域中包含x=3，函數(shù)有最大值，不包含x=3，函數(shù)就沒(méi)有最大值，與x=0沒(méi)有關(guān)系;

⑥對(duì)比（12）和（13），無(wú)論定義域是哪一種情況，x=0時(shí)函數(shù)值都不是最值.

結(jié)合以上的教學(xué)環(huán)節(jié)，教師還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生對(duì)二次函數(shù)最值問(wèn)題進(jìn)行梳理和總結(jié)，得出以下結(jié)論：

1.討論二次函數(shù)“最值問(wèn)題”必須先確定其定義域;

2.將二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a>0）在x1≤x≤x2上的最值問(wèn)題分為如下三種：

（1）如果x1≥-b2a，如圖7，圖象分布在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，那么二次函數(shù)在x=x1處取最小值，在x=x2處取最大值;

（2）如果x1≤-b2a≤x2，如圖8，函數(shù)圖象分布在對(duì)稱軸的兩側(cè)，左側(cè)圖象y隨x的增大而減小，右側(cè)圖象y隨x的增大而增大，那么二次函數(shù)在x=-b2a處取最小值，在x=x1或x=x2對(duì)應(yīng)的函數(shù)值中的較大值為二次函數(shù)的最大值;

（3）如果x2≤-b2a，如圖9，函數(shù)圖象分布在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，那么二次函數(shù)在x=x2處取最小值，在x=x1處取最大值.y=ax2+bx+c（a<0）時(shí)最值的性質(zhì)類似，這里不進(jìn)行詳細(xì)總結(jié).

總之，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的最值只能在其自變量的取值范圍x1≤x≤x2的端點(diǎn)，或者x=-b2a處取得.

3.在解決二次函數(shù)最值問(wèn)題時(shí)，應(yīng)該運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合思想”借助圖象進(jìn)行分析.

對(duì)于較復(fù)雜的知識(shí)，教師要通過(guò)在教學(xué)中多觀察、多思考，把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，將教學(xué)難點(diǎn)進(jìn)行分散設(shè)計(jì)，對(duì)知識(shí)中的易錯(cuò)點(diǎn)、易混點(diǎn)進(jìn)行重點(diǎn)教學(xué)，打消學(xué)生的“模糊概念”，幫助學(xué)生在遇到“難題”時(shí)找到解決問(wèn)題的辦法.

參考文獻(xiàn)：

[1]皮連生.《教學(xué)設(shè)計(jì)》，高等教育出版社[D].2000（6）：50―123.