(陜西廣播電視大學(xué) 工程與建筑教學(xué)部， 陜西 西安 710119)

關(guān)于一類冪等元半環(huán)的同余*

李斌

(陜西廣播電視大學(xué) 工程與建筑教學(xué)部， 陜西 西安 710119)

目的 證明乘法半群為右擬正規(guī)帶的冪等元半環(huán)上的乘法半群上的相關(guān)同余可以推廣到半環(huán)上，成為半環(huán)同余. 方法 利用冪等元半環(huán)的乘法半群上的同余和半環(huán)同余的性質(zhì)來闡明相關(guān)結(jié)論．結(jié)果 得到了乘法半群的一些同余為半環(huán)同余． 結(jié)論 推廣了文[3]的一些結(jié)果。

冪等元半環(huán)；同余；正規(guī)帶；右擬正規(guī)帶

一、引言

半環(huán)(S，+，·)是指非空集合S上裝有兩個二元運(yùn)算加法“+”和乘法“·”的代數(shù),其中(S，+)和(S，·)均是半群,且滿足乘法對加法的分配律,即對任意的有，a，b，c∈S有(a+b)c=ac+bc

冪等元半環(huán)S是指滿足附加條件對任意的的a∈S，a+a=a·a=a半環(huán)，即S的加法半群和乘法半群均為帶．

正規(guī)帶[左零帶，右零帶，矩形帶]是指適合恒等式xyzu=xzyu[xy=x，xy=y，xyz=xz]的帶，右擬正規(guī)帶則是滿足zxa=zaxa的帶．我們用Lz[Rz，ReB，NB,RQNB]表示左零帶[右零帶，矩形帶，正規(guī)帶，右擬正規(guī)帶]的全體．由[1]知Lz[Rz，ReB，NB，RQNB]是帶簇的子簇．

二、結(jié)論及其證明

我們用Con(S)表示半群S的同余的全體,設(shè)A是半群類且ρ∈Con(S)，若S/ρ∈A，則稱ρ為A-同余.若由任意同余θ使得S/θ∈A得到ρ?θ, 則稱ρ為S上的最小A-同余[2].

設(shè)半群S∈NB，定義S的二元關(guān)系λ，λ*，μ分別如下：

(a,b∈S)aλb?(?u∈S)au=bu；

aλ*b?(?u∈S)ua=ub；

aμb?(?u∈S)aub=bua；

則由文[1]知λ[λ*，μ]是S上的最小Lz[Rz，Re，B]-同余, 由此，可以得到

引理2.1半群S∈RQNB，如上定義二元關(guān)系λ，λ*，μ，則λ[λ*，μ]是S上的最小Lz[Rz，Re，B]-同余.

證明半群S∈RQNB，即S滿足恒等式xyz=xzyz.首先證λ是S上的等價關(guān)系. 顯然λ是反身、對稱的.設(shè)a，b，c∈S，且aλb,bλc即存在u,v∈S使得au=bu,bv=cv．則

avu=(au)(vu)=(bu)(vu)=bvu,bvu=(bv)(vu)=(cv)(vu)=cvu.,即a(vu)=c(vu)．從而aλc, 故λ是S上的等價關(guān)系.

下證λ是同余．即(?u∈S)au=bu則(?c∈S)auc=buc，cau=cbu.由于S∈RQNB，acuc=auc=buc=bcuc從而acλbc,caλcb即λ∈Con(s)得證.

下面再證λ是S上最小的Lz同余．(a,b∈S)a(ab)=(ab))ab.由λ的定義得到λa=λaλb.即λ是Lz-同余.設(shè)θ是S上任意的Lz-同余,若aλb即(?u∈S)有ua=ub,則auθbu，由于θ是S上的Lz-同余,從而aθauθbuθb, 即aθb. 從而有λ∈θ.這表明λ是最小的Lz-同余．

對稱的可以證明λ*是S上的最小的Rz同余.

接下來證μ=λIλ*.若(a,b∈S)a(λIλ*)b,即(?u,v∈S)au=bu,va=vb則(au)(vb)=(bu)(va)即auvb=buva，從而aμb即λIλ*?μ.

反之若(a,b∈S)aμb,即(?u∈S)aub=bua,則a(aub)=b(bua)=b(aub)，(aub)b=(bua)b=(aub)b即a(λIλ*)b,從而μ?λIλ*,故μ=λIλ*.

由于λ，λ*是S上的同余，又(a,b?S)a·a·(aba)=(aba)·a·a即aμaba從而μ是S上的矩形帶同余.設(shè)θ是S上的任意矩形帶同余,若aμb,即(?u∈S)aub=bua,則aubθbua,由θ是矩形帶同余,則abθaubθbuaθba,aθabaθabθbaθbabθb,即μ?θ,從而μ是S上的最小的Reb-同余. 證畢

(a+c)aub(b+c)=(aub+caub)(b+c)

=aub+aubc+caub+caubc

=bua+buac+cbua+cbuac

=b·bua·(a+c)+c·bua(a+c)

=(b+c)bua(a+c)

=(b+c)aub(a+c)

同理可得(c+a)aub(c+b)

=(caub+aub)(b+c)

=caubc+caub+aubc+aub

=cbuac+cbua+buac+bua

=c·bua(c+a)+b·bua(c+a)

=(c+b)bua(c+a)

=(c+b)aub(c+a)

從而(a+c)μ(b+c),(c+a)μ(c+b).即μCon(S,+),故μ∈Con(S).

類似地，可以得到λ，λ*,是S上的同余. 證畢

[1] PASTIJN F.Indempotent of Distributive Semigroup I[J].Semigroup Forum,1993,26(1): 58-71.

[2] Howie J M. Fundamentals of Semiring Theory[M]. Oxford Science Publications,Oxford,1995.

[3] PETRICH M,REILLY N R.Completely Regular Semigroups[M]. New York:Wiley,1999.

[責(zé)任編輯王愛萍]

OnCongruencesofaClassofIdempotentSemirings

LI Bin

(Shaanxi Radio and TV University, Xi’an 710119)

Aiming to prove the congruences of multiplicative reduct of idempotent semirings in which the multiplicative reduct is right-quasi normal band are semiring congruences; Methods describe the statements by using congruence on multiplicative reduct of semirings and the properities of semirings. Results obtain that some congruences on multiplicative reduct are semiring congruences. Conclusion make a that Some results in [3] are extended.

idempotent semirings; congruences; normal band; right-quasi normal band.

2017-06-26

李斌(1978— )，陜西省西安市人，陜西廣播電視大學(xué)工程與建筑學(xué)院副教授，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)碩士。

本文系陜西廣播電視大學(xué)2017年度重點(diǎn)科研課題“半格序半群簇的有限基底問題研究” (課題立項(xiàng)號：17D-07-A08)階段性研究成果之一。

O152.7

A

1008-4649(2017)03-0094-03