蒲明輝，駱照陽(yáng)，蔡寶成，蘇 飛

(1.廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,廣西南寧 530004；2.廣西大學(xué)廣西制造系統(tǒng)與先進(jìn)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣西南寧 530004；3.湖南科技大學(xué)智能制造研究院,湖南湘潭 411201)

0 引言

扭矩傳感器能夠?qū)崟r(shí)檢測(cè)扭矩信息，在航空航天、工程機(jī)械、電機(jī)控制、交通運(yùn)輸和機(jī)器人等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用[1]。彈性梁作為扭矩傳感器的敏感元件，其結(jié)構(gòu)尺寸是影響傳感器性能的重要因素[2]。

十字梁作為一種典型的彈性梁結(jié)構(gòu)，國(guó)內(nèi)外對(duì)其進(jìn)行了大量的研究，并取得了一定的成果。蓋海松等[3]提出一種十字型輪輻式扭矩傳感器，其結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，易于加工；綦黎明等[4]通過(guò)對(duì)十字型單直梁進(jìn)行有限元優(yōu)化，減小梁的徑向?qū)挾忍岣哽`敏度，同時(shí)增加彈性梁軸向厚度用于補(bǔ)償因徑向?qū)挾人档偷目勾當(dāng)_能力；王云燕等[5]設(shè)計(jì)了一種應(yīng)變式十字梁海流傳感器，通過(guò)對(duì)彈性梁的長(zhǎng)寬高在單因素分析后進(jìn)行正交試驗(yàn)優(yōu)化，提高了傳感器的測(cè)量范圍和測(cè)量精度。Y. Lou等[6]提出一種帶孔的十字梁輻條結(jié)構(gòu)，通過(guò)對(duì)彈性梁貼應(yīng)變片處進(jìn)行打孔產(chǎn)生應(yīng)力集中，有效地提高了傳感器的靈敏度；Y. B. Kim等[7]提出一種十字梯形梁電容式扭矩傳感器，通過(guò)鐵木辛柯梁理論進(jìn)行分析，確定了扭矩和電容的映射關(guān)系。十字梁結(jié)構(gòu)不僅應(yīng)用于扭矩傳感器，在多維力傳感器中也被眾多學(xué)者所研究。孫世政等[8]基于FBG設(shè)計(jì)了一種十字梁結(jié)構(gòu)的二維力傳感器，通過(guò)簡(jiǎn)支梁彎曲變形理論與有限元法在彈性梁最佳位置對(duì)光纖光柵進(jìn)行封裝。韓康等[9]針對(duì)六維力傳感器，通過(guò)減少十字型結(jié)構(gòu)彈性梁在應(yīng)變片黏貼位置的剛度來(lái)提高傳感器靈敏度。十字梁結(jié)構(gòu)研究雖然較多，但應(yīng)用于電容式扭矩傳感器的研究較少。與應(yīng)變式[10]和光電式[11]略有不同，電容式要求增大彈性梁兩端相對(duì)位移來(lái)增大動(dòng)電極位移，從而提高靈敏度，而不是主要關(guān)注封裝轉(zhuǎn)換元件處的應(yīng)變。

本文在傳統(tǒng)十字梁結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上應(yīng)用鐵木辛柯梁理論，建立動(dòng)極板位移與扭矩的映射關(guān)系，分析影響傳感器靈敏度和串?dāng)_誤差的主要參數(shù)，提出彈性梁采用十字型雙直梁的方案；傳感器轉(zhuǎn)換元件采用垂直極板多電容器差動(dòng)布局，通過(guò)對(duì)各個(gè)通道所檢測(cè)到的電容乘以比例因子后再進(jìn)行多電容冗余差動(dòng)式輸出，提高傳感器抗串?dāng)_性能，串?dāng)_是指除軸向扭矩之外的傾覆載荷導(dǎo)致的扭矩傳感器測(cè)量結(jié)果失真[12]。最后通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了傳感器的性能。

1 電容式扭矩傳感器靈敏度分析

扭矩傳感器轉(zhuǎn)換元件采用垂直極板電容器[13]，能夠在電極間距變化較小時(shí)提供較大的電容改變量，其動(dòng)、靜電極在空間垂直布置，如圖1所示。

圖1 垂直極板原理示意圖

電極間電容值和電極間距的數(shù)學(xué)關(guān)系式[14]為

(1)

式中：C為兩電極間電容值，pF；h為兩電極之間距離，mm；H為靜電極長(zhǎng)度，mm；W為靜電極寬度，mm；ε為電容介電常數(shù)。

由式(1)可以得出，當(dāng)電極間距發(fā)生變化時(shí)的電容值變化量ΔC，進(jìn)行泰勒展開(kāi)后省略掉二次項(xiàng)：

(2)

式中：h0為電極初始距離；Δh為電極間距變化值。

根據(jù)式(2)可知，扭矩傳感器的垂直極板電容器對(duì)扭矩的靈敏度Ko為

(3)

由式(3)可知，對(duì)扭矩傳感器內(nèi)圈施加扭矩時(shí)，電容器極板間距變化量和靈敏度成正比例關(guān)系，極板間距變化越大，電容器的靈敏度越高。

2 彈性梁結(jié)構(gòu)力學(xué)分析

2.1 傳統(tǒng)十字型單直梁結(jié)構(gòu)力學(xué)分析

扭矩傳感器的十字型單直梁結(jié)構(gòu)及力學(xué)模型如圖2所示。應(yīng)用鐵木辛柯梁理論對(duì)其進(jìn)行力學(xué)分析，當(dāng)Mz作用于傳感器內(nèi)圈時(shí)，外圈作為固定端約束，彈性梁受到反作用力M11和F11共同作用發(fā)生形變，內(nèi)圈因彈性梁形變相對(duì)于外圈產(chǎn)生角位移，受力模型如圖2(b)所示。

(a)十字型單直梁結(jié)構(gòu)

對(duì)單根彈性梁分析，建立力矩平衡方程為

F11l+M11=Mz/n

(4)

式中：l為彈性梁長(zhǎng)度，mm；n為彈性梁根數(shù)，n=4。

由疊加原則可知，在F11和M11共同作用下彈性梁末端撓度位移y1和轉(zhuǎn)角θl分別為：

(5)

式中：E為彈性梁所選材料的彈性模量；Iz為彈性梁截面對(duì)Z方向中性軸的慣性矩；Iz=hb3/12，b為彈性梁截面寬度，mm；h為截面高度，mm。

扭矩傳感器內(nèi)圈在扭矩Mz作用下相對(duì)外圈產(chǎn)生轉(zhuǎn)角θN，根據(jù)變形協(xié)調(diào)可得θN=θl，內(nèi)圈位移yN=yl≈θNr，可求出彈性梁末端撓度yl。分析圖2(a)、圖2(b)，可得Mz作用時(shí)的動(dòng)電極末端位移Δh為：

(6)

式中：L1為動(dòng)極板長(zhǎng)度；r為扭矩傳感器內(nèi)圈半徑。

十字型梁結(jié)構(gòu)關(guān)于X、Y軸完全對(duì)稱(chēng)，故本文在進(jìn)行扭矩傳感器抗串?dāng)_能力分析時(shí)，僅分析加載扭矩Mx工況即可。當(dāng)傾覆載荷Mx作用于傳感器內(nèi)圈時(shí)，如圖2(c)所示，X方向彈性梁繞X軸扭轉(zhuǎn)，Y方向彈性梁末端產(chǎn)生位移，Q(q)點(diǎn)位移垂直紙面向里。結(jié)合圖2(a)可以看出，動(dòng)電極末端角位移和X、Y方向彈性梁所產(chǎn)生的角位移θmx相等,則Mx作用時(shí)的動(dòng)電極末端位移Δhp為

Δhp=Hdθmxcosθd

(7)

綜合分析式(3)、式(6)可知，增加靈敏度的方式主要有：通過(guò)減小彈性梁截面的長(zhǎng)或?qū)拋?lái)降低截面慣性矩Iz；增加彈性梁長(zhǎng)度。另外，據(jù)式(7)可知，減小彈性梁截面的長(zhǎng)或?qū)挄?huì)降低Iyp，與增加彈性梁長(zhǎng)度一樣會(huì)使偏載Mx作用下動(dòng)電極位移增大，導(dǎo)致測(cè)量值有一定程度的失真，降低了傳感器的抗串?dāng)_能力。

2.2 十字型雙直梁結(jié)構(gòu)彈性梁設(shè)計(jì)分析

通過(guò)對(duì)十字型單直梁模型進(jìn)行理論分析可知，為在增加靈敏度的同時(shí)，盡量不影響傳感器的抗串?dāng)_能力和厚度，可在不改變彈性梁截面對(duì)Y軸慣性矩的前提下，僅降低彈性梁在Z軸扭轉(zhuǎn)方向的抗彎剛度。將單直梁結(jié)構(gòu)彈性梁在傳感器徑向方向沿中線分割，使中間位置產(chǎn)生較小間隙的方式來(lái)降低彈性梁在Z軸扭轉(zhuǎn)方向的抗彎剛度。改進(jìn)后的十字型雙直梁結(jié)構(gòu)與單直梁結(jié)構(gòu)的彈性梁截面尺寸對(duì)比如圖3(a)、圖3(b)所示，傳感器整體結(jié)構(gòu)如圖3(c)所示，圖3(d)為力學(xué)建模。

(a)彈性梁截面(單直梁)

根據(jù)圖3(b)所示，由負(fù)面積法可得到雙直梁結(jié)構(gòu)彈性梁截面對(duì)Y軸慣性矩Iys為

(8)

由式(8)可知，改進(jìn)后雙直梁傳感器模型彈性梁截面對(duì)Y軸慣性矩與單直梁模型相等。

對(duì)雙直梁結(jié)構(gòu)施加扭矩Mz時(shí)，為使模型易于計(jì)算，將與彈性梁連接的內(nèi)圈部分簡(jiǎn)化為與彈性梁截面相同的固接桿CD，最終建模為截面面積相同的三次超靜定桁架結(jié)構(gòu)。對(duì)末端施加力F，去除B點(diǎn)約束，以支座反力X1、X2、X3代替，如圖3(d)所示,三次超靜定協(xié)調(diào)方程為：

(9)

式中：Xk為支座反力；δij為在Xi作用下Xj產(chǎn)生的撓度；ΔmF為Xm作用下F產(chǎn)生的撓度(i,j,k,m=1,2,3)。

采用圖乘法分別對(duì)式(9)中的參數(shù)進(jìn)行計(jì)算后，可分別求出在F、X1、X2、X3單獨(dú)作用下，彈性梁末端的撓度ΔF、Δx1、Δx2、Δx3為：

(10)

由式(10)可得，當(dāng)b<

(11)

根據(jù)式(5)、式(11)可得，對(duì)十字型單直梁和雙直梁彈性梁末端分別加載數(shù)值相同的力F，其末端位移比值Kf為

(12)

對(duì)2種傳感器模型內(nèi)圈加載扭矩Mz，彈性梁末端同樣受到反作用力M和F。根據(jù)式(5)可知，在F和M分別作用下的彈性梁末端位移成比例關(guān)系，因此對(duì)傳感器加載Mz時(shí)，其末端位移比值與單獨(dú)加載力F相等。由式(3)可知，扭矩傳感器彈性梁末端位移與靈敏度成正比例關(guān)系，因此受到扭矩后，2種模型彈性梁末端位移的比值與靈敏度比值相等。據(jù)式(12)可知，所優(yōu)化后的雙直梁模型相比于單直梁其靈敏度提高了約(4b+1)/8倍。

3 雙直梁電容扭矩傳感器設(shè)計(jì)及標(biāo)定

3.1 多電容冗余差動(dòng)式檢測(cè)方案設(shè)計(jì)與分析

扭矩傳感器對(duì)稱(chēng)安裝了4個(gè)垂直電極電容器，電容器分別位于電路板的相對(duì)兩側(cè)，構(gòu)成冗余差動(dòng)式結(jié)構(gòu)，如圖4所示。對(duì)傳感器施加順時(shí)針?lè)较蚺ぞ?，C1和C3電極間距減小，電容增加一個(gè)非線性的電容值；C2和C4電極間距增大，電容減小一個(gè)非線性的電容值。因?yàn)榇嬖跇O板安裝誤差等影響因素，4個(gè)電容器在滿載時(shí)的最大變化值是不同的，為將電容器輸出調(diào)整一致，需要對(duì)每個(gè)電容的變化值乘以一個(gè)比例系數(shù)。因此，扭矩傳感器電容輸出可由式(13)表示：

圖4 冗余差動(dòng)式電容器布置示意圖

(13)

式中：比例系數(shù)Ki=ΔCmax/ΔCi max；ΔCi為第i個(gè)電容器在傳感器受載后相應(yīng)的電容值；ΔCmax為傳感器標(biāo)定至滿載時(shí)，4個(gè)電容器中變化量最大的電容值；ΔCi max為第i個(gè)電容器在傳感器標(biāo)定至滿載時(shí)電容值。

3.2 扭矩傳感器制作及標(biāo)定系統(tǒng)介紹

扭矩傳感器機(jī)械本體采用2A12硬鋁合金制作，彈性梁參數(shù)如表1所示。電容測(cè)量采用電容-數(shù)字轉(zhuǎn)換芯片AD7147，具有16位分辨率，能夠?qū)⑺鶛z測(cè)到的電容值(pF)轉(zhuǎn)化為數(shù)字量(CDC)，對(duì)PCB板制作并進(jìn)行安裝，傳感器整體如圖5所示。搭建電容式扭矩傳感器標(biāo)定系統(tǒng)如圖6所示，主要包括扭矩傳感器、標(biāo)定平臺(tái)、AD7147評(píng)估板、上位機(jī)。標(biāo)定平臺(tái)包括加載法蘭、固定臺(tái)等。

表1 扭矩傳感器彈性梁參數(shù) mm

圖5 十字型雙直梁扭矩傳感器示意圖

圖6 標(biāo)定系統(tǒng)意圖

4 結(jié)果與分析

4.1 彈性梁仿真結(jié)果對(duì)比分析

為驗(yàn)證雙直梁結(jié)構(gòu)力學(xué)模型準(zhǔn)確性，采用表1所示的參數(shù)分別建立除彈性梁之外其余部分完全相同的十字型單直梁和雙直梁簡(jiǎn)化模型。圖7(a)、(b)分別為2種模型受Mz=20 N·m時(shí)的位移云圖，圖7(c)、(d)分別為2種模型受扭矩Mx=7 N·m時(shí)的位移云圖。 2種工況(Mz、Mx)下單直梁和雙直梁結(jié)構(gòu)動(dòng)電極末端位移比的理論值可分別由式(8)、(12)分析得出，有限元仿真中扭矩加載數(shù)值、動(dòng)電極位移比的仿真值及理論值見(jiàn)表2。

圖7 扭矩傳感器仿真示意圖

表2 扭矩傳感器動(dòng)電極位移

分析表2可知，對(duì)2種模型分別加載Mx，電極位移比的仿真值和理論值近乎相等，因此其具有相同的抗串?dāng)_能力。加載Mz時(shí)，結(jié)合式(3)得，雙直梁結(jié)構(gòu)扭矩傳感器相比于單直梁，其靈敏度提高了1.774倍。但是電極末端位移比的理論值略高于分析仿真值，造成上述現(xiàn)象的主要原因如下：

(1)對(duì)雙直梁模型加載Mz，為了滿足圖乘法的使用條件，在力學(xué)建模時(shí)將CD簡(jiǎn)化為和AC、BD段具有相同抗彎剛度的彈性梁。所建雙直梁模型的整體剛度小于真實(shí)值，電極位移比理論計(jì)算值偏大。

(2)計(jì)算雙直梁模型彈性梁末端位移時(shí)，如式(11)所示，為了減少計(jì)算復(fù)雜度，采取假設(shè)條件b<

4.2 扭矩傳感器性能分析

基于以上彈性梁結(jié)構(gòu)的理論及有限元分析，設(shè)計(jì)制造電容式扭矩傳感器，并對(duì)其進(jìn)行標(biāo)定，在標(biāo)定過(guò)程中，4個(gè)電容器電容值會(huì)被模數(shù)轉(zhuǎn)換芯片AD7147同時(shí)檢測(cè)，并通過(guò)芯片中的4個(gè)數(shù)據(jù)傳輸通道轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄳?yīng)的數(shù)字量輸出。以輸入扭矩為橫軸，以AD7147所檢測(cè)到的數(shù)字量輸出為縱軸，標(biāo)定所得冗余差動(dòng)結(jié)構(gòu)4個(gè)電容的變化如圖8所示。

圖8 冗余差動(dòng)結(jié)構(gòu)電容器變化值擬合曲線

扭矩傳感器輸出以式(13)方式對(duì)圖8所示的電容數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算得出，并采用最小二乘法進(jìn)行線性擬合如圖9所示，傳感器的性能參數(shù)如表3所示。

圖9 扭矩傳感器輸出特性直線

表3 傳感器性能參數(shù)

4.3 扭矩傳感器抗串?dāng)_能力分析

對(duì)傳感器施加量程為7 Nm的Mx干擾扭矩，步長(zhǎng)為1 Nm，分別測(cè)得4個(gè)電容器的電容變化值。圖10為對(duì)4個(gè)電容變化值進(jìn)行非差動(dòng)、冗余差動(dòng)和式(13)所示的添加比例因子冗余差動(dòng)3種方式得出的串?dāng)_輸出曲線。通過(guò)圖10可以看出帶有比例因子的多電容冗余差動(dòng)設(shè)計(jì)有效地提高了扭矩傳感器抗串?dāng)_能力。

圖10 冗余差動(dòng)與非差動(dòng)式串?dāng)_輸出對(duì)比

圖11所示為扭矩傳感器在受到7 N·m的Mx干擾扭矩時(shí)實(shí)際測(cè)量的情況，對(duì)圖11的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算可知，傳感器的最大串?dāng)_誤差為1.52%FS，小于文獻(xiàn)[12]中的4.9%FS。結(jié)果表明，該傳感器具有較強(qiáng)的抗串?dāng)_能力。

圖11 偏載扭矩與測(cè)量扭矩對(duì)比

5 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)十字型單直梁結(jié)構(gòu)中影響靈敏度和抗串?dāng)_能力的參數(shù)進(jìn)行理論分析，設(shè)計(jì)一種十字型雙直梁結(jié)構(gòu)電容式扭矩傳感器，通過(guò)有限元分析和對(duì)傳感器實(shí)物標(biāo)定實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)論如下：

(1) 本文所設(shè)計(jì)的十字型雙直梁結(jié)構(gòu)扭矩傳感器與參數(shù)相同的單直梁結(jié)構(gòu)傳感器相比，在未減弱其抗串?dāng)_能力的前提下，將靈敏度提高了1.774倍。通過(guò)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)得到靈敏度為63.38CDC/(N·m)，線性度為2.15%FS，遲滯為1.4%FS。

(2)電容式扭矩傳感器的檢測(cè)方案采用冗余差動(dòng)式布置時(shí)，在輸出之前，對(duì)各個(gè)通道電容值添加比例因子，相比于非差動(dòng)輸出、冗余差動(dòng)式直接輸出，可以將傳感器的抗串?dāng)_能力進(jìn)一步提高。通過(guò)抗串?dāng)_實(shí)驗(yàn)得出扭矩傳感器的串?dāng)_誤差為1.52%FS。