傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化在中考試題中的滲透

李會芳

摘? ?要：數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分。數(shù)學(xué)文化包括數(shù)學(xué)與社會的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系等，是國家文化素質(zhì)教育的重要組成部分。在中考試題中滲透傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化，可促使教師關(guān)注傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化，重視與教學(xué)內(nèi)容的融合，還有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)克服困難的信心，有效發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)文化;初中數(shù)學(xué);中考試題;核心素養(yǎng)

中圖分類號：G633.6? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? 文章編號：1009-010X（2022）11-0040-04

數(shù)學(xué)文化包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育，以及數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與社會的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系等，涉及社會生活的方方面面。所以說，數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，它的產(chǎn)生和發(fā)展在人類文明進(jìn)程中起著重要的推動(dòng)作用，是人類文明的重要基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中對數(shù)學(xué)文化作了明確要求，數(shù)學(xué)文化理所當(dāng)然成為教材內(nèi)容的重要組成部分，因此，中考數(shù)學(xué)命題專家都對命題文化給予了一定程度的重視。近年來，在全國各地中考數(shù)學(xué)試卷中，滲透傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的試題呈逐年上升之勢，這更加激發(fā)了廣大初中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化的動(dòng)力。石家莊市教育科學(xué)研究“十三五”規(guī)劃教師個(gè)人課題“初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化的策略與方法”（課題編號：G2020077）對近年來在全國各地中考數(shù)學(xué)中滲透傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的部分試題進(jìn)行了評析，希望能幫助教師自然、合理地將傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化融入到課堂教學(xué)之中。

一、弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化

中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化是我國傳統(tǒng)文化的重要組成部分，它們相互依存、互助發(fā)展。中國古代數(shù)學(xué)成就輝煌，而《周易》不僅是華夏五千年智慧與文化的結(jié)晶，同時(shí)還是中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展的總源頭。中國數(shù)學(xué)自漢代的《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》起開始形成體系，魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家、中國古典數(shù)學(xué)理論奠基人之一劉徽的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》都是中國最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn);南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家祖沖之，對數(shù)學(xué)的研究有著重大貢獻(xiàn)，首次將圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后的第七位;宋元期間，中國古代數(shù)學(xué)達(dá)到了高峰，秦九韶、李冶、楊輝、朱世杰四大數(shù)學(xué)家，是宋元數(shù)學(xué)的杰出代表，他們的數(shù)學(xué)著作《數(shù)書九章》《測圓海鏡》《詳解九章算法》《算學(xué)啟蒙》和《四元玉鑒》流傳至今，他們在短短幾十年里所創(chuàng)造出的驕人成就，在千百年間曾一度居于世界數(shù)學(xué)發(fā)展的前列，為中華文明及世界文明的發(fā)展作出了巨大貢獻(xiàn)。

例1.（2021·湖南張家界）如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，設(shè)正方形ABCD的面積為S，黑色部分面積為S1，則S1∶S的比值為（? ? ）

A.■? ? ?B.■

C.■? ? ?D.■

點(diǎn)評：本題背景太極圖出自我國古代五經(jīng)之首、大道之源的典籍《易經(jīng)》。太極圖是中國古代先民概括陰陽易理，探討宇宙、人生變化發(fā)展規(guī)律的圖式，它對中華民族的思維方式、思想文化觀念和人文性格均有較大的影響。本題將太極圖置于正方形內(nèi)，依據(jù)太極圖是中心對稱圖形的性質(zhì)，將無法直接求出黑色部分圖形的面積轉(zhuǎn)化為求圓的面積，再根據(jù)正方形內(nèi)切圓的性質(zhì)及其相關(guān)知識，獲得正方形邊長與太極圖直徑相等，并通過簡單計(jì)算求得結(jié)果。本題中的太極圖所蘊(yùn)含的對立統(tǒng)一、互相轉(zhuǎn)化的哲學(xué)原理，同樣是解決本題的關(guān)鍵。

答案：A。

例2.（2021·福建）“田忌賽馬”的故事閃爍著我國古代先賢的智慧光芒。該故事的大意是：齊王有上、中、下三匹馬A1、B1、C1，田忌也有上、中、下三匹馬A2、B2、C2，且這六匹馬在比賽中的勝負(fù)可用不等式表示如下A1﹥A2﹥B1﹥B2﹥C1﹥C2：（注：A﹥B表示A馬與B馬比賽，A馬獲勝）。一天，齊王找田忌賽馬，約定：每匹馬都出場比賽一局，共賽三局，勝兩局者獲得整場比賽的勝利。面對劣勢，田忌事先了解到齊王三局比賽的“出馬”順序?yàn)樯像R、中馬、下馬，并采用孫臏的策略：分別用下馬、上馬、中馬與齊王的上馬、中馬、下馬比賽，即借助對陣（C2A1、A2B1、B2C1）獲得了整場比賽的勝利，創(chuàng)造了以弱勝強(qiáng)的經(jīng)典案例。

假設(shè)齊王事先不打探田忌的“出馬”情況，試回答以下問題：

（1）如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”，他首局應(yīng)出哪種馬才可能獲得整場比賽的勝利？并求其獲勝的概率;

（2）如果田忌事先無法打探到齊王各局的“出馬”情況，他是否必?cái)o疑？若是，請說明理由;若不是，請列出田忌獲得整場比賽勝利的所有對陣情況，并求其獲勝的概率。

點(diǎn)評：本題背景“田忌賽馬”，出自我國西漢史學(xué)家司馬遷所撰寫的《史記》，這篇文章不僅閃爍著我國古代先賢智慧的光芒，還起到激發(fā)學(xué)生興趣，提高探究欲望，增強(qiáng)學(xué)習(xí)自信心的作用。本題通過重構(gòu)題干，將馬匹及強(qiáng)弱關(guān)系符號化，并在“三個(gè)假設(shè)”的前提下，創(chuàng)造性提出兩個(gè)新問題。需要學(xué)生在類比、猜想、枚舉、操作、探究、計(jì)算、論證等過程中，發(fā)現(xiàn)、提出問題，分析、解決問題。因此，本題在深入考查概率概念的同時(shí)，較好體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)模型、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

答案：（1）田忌首局應(yīng)出“下馬”才可能在整場比賽中獲勝，■;（2）不是，（田忌獲勝的所有對陣情況略）勝率為■。

說明：本題所提出的問題，跳出了大多數(shù)中考數(shù)學(xué)試題對中國傳統(tǒng)文化考查的命題模式，（呈現(xiàn)經(jīng)典名題，給出白話翻譯，再讓學(xué)生解答的形式）較好體現(xiàn)了學(xué)科育人目標(biāo)，有利于引領(lǐng)教師深入挖掘經(jīng)典名題的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵，真正讓數(shù)學(xué)文化走進(jìn)課堂。

二、了解世界優(yōu)秀數(shù)學(xué)文化

中國、埃及、古巴比倫和印度，并稱為四大文明古國，都是世界現(xiàn)代文明的起源地。各國的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化同樣推動(dòng)著社會的發(fā)展和進(jìn)步。埃及文化可追溯到公元前4000年。公元前2900年，開始建筑金字塔時(shí)，就已經(jīng)具備一些初等幾何知識。古巴比倫文化可以上溯到公元前2000年左右的蘇美爾文化，這一時(shí)期，人們基于對量的認(rèn)識，建立了數(shù)的概念。從大約公元前1800年開始，古巴比倫已經(jīng)使用較為系統(tǒng)的60進(jìn)位制數(shù)系。自公元前8世紀(jì)起，印度在關(guān)于祭壇與寺廟的建造中，就用到了勾股定理、矩形對角線的性質(zhì)、相似直線形的一些性質(zhì)，以及一些作圖法等，用符號“0”表示零，也是印度的一大發(fā)明。另外，古希臘的數(shù)學(xué)文化曾取得輝煌成就，如公元前3世紀(jì)左右，歐幾里得的不朽著作《幾何原本》，把前人的數(shù)學(xué)成果用公理化方法加以系統(tǒng)整理和總結(jié)，為古希臘科學(xué)和后世西方學(xué)術(shù)的發(fā)展起到了重要的示范作用;公元前5世紀(jì)左右，畢達(dá)哥拉斯最著名的成就是對勾股定理（西方稱畢達(dá)哥拉斯定理）的證明和無理數(shù)■的發(fā)現(xiàn)，他把證明引入了數(shù)學(xué)，還提出了“抽象”，從而引發(fā)了幾何的思辨，從實(shí)物的數(shù)與形，抽象到數(shù)學(xué)上的數(shù)與形，把數(shù)學(xué)推向了科學(xué)。古希臘所創(chuàng)立的文明與文化，對西方文明乃至世界文明的發(fā)展都起到了重要作用。

例3.（2020·江西）公元前2000年左右，古巴比倫人使用的楔形文字中有兩個(gè)符號（如圖所示），一個(gè)釘頭形代表1，一個(gè)尖頭形代表10，在古巴比倫的記數(shù)系統(tǒng)中，人們使用的標(biāo)記方法和我們當(dāng)今使用的方法相同，最右邊的數(shù)字代表個(gè)位，然后是十位、百位，根據(jù)符號記數(shù)的方法，右下面符號表示一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .

點(diǎn)評：古巴比倫時(shí)代的科學(xué)以數(shù)學(xué)和天文最為發(fā)達(dá)，計(jì)數(shù)法采用六十進(jìn)位和十進(jìn)位法。六十進(jìn)位法應(yīng)用于計(jì)算周天的度數(shù)和計(jì)時(shí)，至今為全世界所沿襲。正如題干所言，古巴比倫人用他們所發(fā)明的楔形文字，不僅表達(dá)語言，還表示數(shù)字，本題就是用楔形文字表示十進(jìn)位制數(shù)25的一個(gè)例子，較好反映了對計(jì)數(shù)法本質(zhì)的理解，以及符號意識的滲透，同時(shí)，還體現(xiàn)了古巴比倫的先進(jìn)文明，有利于開闊學(xué)生的眼界和思路。

例4.（2021·甘肅武威）在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出的有關(guān)圓的一個(gè)引理.如圖，已知■，C是AB弦上一點(diǎn)，請你根據(jù)以下步驟完成這個(gè)引理的作圖過程.

（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：

①作線段AC的垂直平分線DE，分別交■于點(diǎn)D，AC于點(diǎn)E，連接AD、CD;

②以點(diǎn)D為圓心，DA長為半徑作弧，交■于點(diǎn)F（F，A兩點(diǎn)不重合），連接DF、BD、BF.

（2）直接寫出引理的結(jié)論：線段BC、BF的數(shù)量關(guān)系.

點(diǎn)評：古希臘著名數(shù)學(xué)家阿基米德，在諸多科學(xué)領(lǐng)域都作出了突出貢獻(xiàn)，他給出了“阿基米德公理”，使與極限相關(guān)命題證明的“窮竭法”更加嚴(yán)密，求得了拋物線弓形、螺線、圓形的面積和體積以及橢球體、拋物面體等復(fù)雜幾何體的體積，同時(shí)在三次方程和算術(shù)方面都有貢獻(xiàn)。阿基米德的著作是數(shù)學(xué)闡述的典范，寫得完整、簡練，顯示出巨大的創(chuàng)造性。本題以《阿基米德全集》中的《引理集》命題3為背景，將命題中的部分條件以尺規(guī)作圖的要求呈現(xiàn)，同時(shí)將命題的結(jié)論轉(zhuǎn)化為猜想結(jié)果，較好考查了學(xué)生獨(dú)立思考、操作探究、猜想驗(yàn)證的能力，并綜合考查了圖形與幾何眾多知識點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了深入挖掘經(jīng)典名題文化內(nèi)涵的目的，體現(xiàn)了用數(shù)學(xué)的思維思考并解決問題的能力，凸顯了理性精神。

三、中外優(yōu)秀傳統(tǒng)文化交融共存

歷史的進(jìn)步、人類的文明都是相互促進(jìn)多元發(fā)展的，數(shù)學(xué)文化也是人類文明的重要組成部分。中外歷代數(shù)學(xué)家，對數(shù)學(xué)運(yùn)算的研究，大都以算法為基礎(chǔ)，而中國的《九章算術(shù)》就是算法的代表之作;對邏輯推理的研究，大都以公理化體系為基礎(chǔ)，而希臘歐幾里得的《幾何原本》就是用邏輯的鏈子，由此及彼地展開全部幾何學(xué)。每個(gè)國家、每個(gè)民族也都有自己的數(shù)學(xué)文化，它們共同促進(jìn)世界數(shù)學(xué)文化的發(fā)展和繁榮。了解中外數(shù)學(xué)文化，可以開闊視野，增強(qiáng)信心，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。

例5.（2021·陜西）幻方，最早源于我國，古人稱之為縱橫圖.如圖所示的幻方中，各行、各列及各條對角線上的三個(gè)數(shù)字之和均相等，則圖中a的值為? ? ? ? ? ? .

點(diǎn)評：幻方在我國古代稱為九宮圖、縱橫圖。最早在周代《尚書》文獻(xiàn)中有洛書的記載，將洛書中龜背上的點(diǎn)用數(shù)字表示出來，得到九宮圖，即現(xiàn)在的三階幻方。十三世紀(jì)，中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝，在他的著作《續(xù)古摘奇算法》卷一中有了“縱橫圖”之名，其中給出了三至十階幻方及其變體共十三種，這是世界上對幻方系統(tǒng)研究的最早記載。歐洲十四世紀(jì)也開始了這方面的工作，著名數(shù)學(xué)家費(fèi)爾瑪、歐拉都進(jìn)行過幻方研究，如今，幻方仍然是組合數(shù)學(xué)的研究課題之一?；梅脚c它的變體所蘊(yùn)含的各種神奇的科學(xué)性質(zhì)正逐步得到揭示。本題以奇妙的幻方問題激發(fā)學(xué)生興趣，較好考查了學(xué)生依據(jù)幻方的意義，正確提取表中數(shù)據(jù)，布列方程并求解的能力。本題對數(shù)據(jù)觀念和模型思想有明顯體現(xiàn)，并具有較好的可拓展性。

答案：-2。

例6.（2021·廣東）我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a、b、c，記p=■，則其面積S=■.這個(gè)公式也被稱為海倫—秦九韶公式.若p=5，c=4，則此三角形面積的最大值為（? ? ）

A.■? ? B.4? ? ?C.2■? ? ?D.5

點(diǎn)評：海倫—秦九韶公式是由古希臘的幾何學(xué)家海倫和中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶，在不同年代獨(dú)立發(fā)現(xiàn)，分別出現(xiàn)在海倫的著作《度量》和秦九韶所著的《數(shù)書九章》中。雖然兩人給出的公式在形式上有所不同，但實(shí)質(zhì)是一樣的。題目直接體現(xiàn)了中外傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的精髓。本題沒有采用直接代入數(shù)值求面積的設(shè)問方式，而是以此公式為載體，靈活考查學(xué)生運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)確定其最大值的能力，在滲透傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的同時(shí)，加大對理性思維的考查力度。

答案：C。

在中考試題中滲透傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化，“可以適當(dāng)引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，使得更多的教師關(guān)注數(shù)學(xué)文化，研究數(shù)學(xué)文化，將數(shù)學(xué)的本質(zhì)教授給學(xué)生。學(xué)生通過數(shù)學(xué)文化的熏陶，可以促進(jìn)健全人格的養(yǎng)成?！痹谥锌荚囶}中滲透傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化，特別是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，感受中外數(shù)學(xué)家治學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，欣賞數(shù)學(xué)的優(yōu)美，潛移默化地提升學(xué)生的愛國情懷和民族自豪感，有效促進(jìn)立德樹人目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]顧? ?沛.數(shù)學(xué)文化[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3]邱仰聰.中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展的文化影響因素[J].岳陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，（2）：100～103.

[4]陳? ?龍，黃玉霞.滲透數(shù)學(xué)文化本質(zhì) 彰顯核心素養(yǎng)導(dǎo)向[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2021（8）：53～55.

[5]陳? ?昂，任子朝.突出理性思維? ?弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化[J].中國考試，2015，（3）：10～14.