追本溯源，回歸本質(zhì)

魏新玉 楊田田 魏佳

◆摘要：數(shù)學(xué)史是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要工具。在數(shù)學(xué)課堂中適當(dāng)融入數(shù)學(xué)史，能向?qū)W生清楚地闡述數(shù)學(xué)的歷史，揭示數(shù)學(xué)規(guī)律。本文借鑒了有關(guān)圓面積的數(shù)學(xué)史知識(shí)，分別從學(xué)生認(rèn)知、思維和能力的角度，結(jié)合六年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)特點(diǎn)，以“圓的面積”一課為例，為教師提供教學(xué)設(shè)計(jì)思路，展現(xiàn)數(shù)學(xué)史的魅力。

◆關(guān)鍵詞：圓的面積;數(shù)學(xué)史;轉(zhuǎn)化

一、研究背景

六年級(jí)學(xué)生具有一定的轉(zhuǎn)化和類比推理能力，圓的面積這一節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)有了一定的關(guān)于圖形的周長(zhǎng)和面積計(jì)算的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)之上進(jìn)行的，如長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形。既是學(xué)生初步研究曲線圖形面積的開始，也是為后面學(xué)習(xí)圓柱、圓錐等知識(shí)打好基礎(chǔ)。本節(jié)課結(jié)合數(shù)學(xué)史的教學(xué)設(shè)計(jì)，通過(guò)學(xué)生動(dòng)手剪拼，體驗(yàn)“化曲為直”。

二、學(xué)情分析

（一）從學(xué)生認(rèn)知角度

從學(xué)習(xí)一維點(diǎn)和線到學(xué)習(xí)二維的面，學(xué)生總是接觸到直線圖的面積，而對(duì)圓的曲線圖的面積感到困惑。但以往在平面圖形領(lǐng)域?qū)W習(xí)的轉(zhuǎn)化思想是明確的，如將平行四邊形變換為學(xué)過(guò)的長(zhǎng)方形再求其面積等。

在本課程中，在尋找圓面積公式時(shí)，老師沒(méi)有向?qū)W生灌輸S=πr2，但學(xué)生們能夠自行利用“轉(zhuǎn)化”的思想，將圓運(yùn)用已學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化成平行四邊形、長(zhǎng)方形等。通過(guò)學(xué)生動(dòng)手操作剪切和拼接，交流、探討其中的關(guān)系，從而推導(dǎo)出圓面積的計(jì)算公式。

（二）從學(xué)生思維角度

在學(xué)生已經(jīng)具備轉(zhuǎn)化和類比推理能力的情況下，難點(diǎn)并不在“轉(zhuǎn)化”，而在于應(yīng)該如何轉(zhuǎn)化，這成為了學(xué)生的困惑。因此，在利用轉(zhuǎn)化和類比推理的基礎(chǔ)上，有必要與動(dòng)手操作結(jié)合起來(lái)。

在實(shí)際的生活情境中，不僅能夠激發(fā)學(xué)生參與課堂、融入課堂的興趣，也為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

（三）從學(xué)生能力角度

本課緊扣教學(xué)重點(diǎn)，讓學(xué)生自主操作和總結(jié)，通過(guò)自由裁剪、拼接，將圓形面積通過(guò)等積變形轉(zhuǎn)化為其他平面圖形，推導(dǎo)出圓形面積的計(jì)算公式。這種多角度的思考激發(fā)了學(xué)生對(duì)知識(shí)的探索欲，也成為新舊知識(shí)之間的聯(lián)系。

三、教學(xué)過(guò)程

（一）情境導(dǎo)入，引發(fā)思考

【問(wèn)題情境】

（課件呈現(xiàn)）學(xué)校想要建一個(gè)半徑為10m的新的圓形草坪，想在草坪邊緣立樁，在里面種草。如果每2m打入一根木樁，應(yīng)打入多少根木樁？如果草是每平方米10元，種草要多少錢？如圖1

師：同學(xué)們能幫忙解決這個(gè)問(wèn)題嗎？

引導(dǎo)學(xué)生思考：想要秋應(yīng)打入多少根木樁，需要先知道什么？怎樣計(jì)算？要求種草花多少錢，又是在求什么？

[預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生經(jīng)過(guò)思考不難發(fā)現(xiàn)：要求木樁的數(shù)量實(shí)際是求圓的周長(zhǎng)，植草花費(fèi)的金額需要先知道圓的面積，而學(xué)生還不能解決這個(gè)問(wèn)題。]

師：圓的周長(zhǎng)我們會(huì)算，圓的面積大家會(huì)算嗎？

[預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生并不會(huì)算圓的面積，帶有迷惑。]

【引入課題】

師：什么是圓的面積呢？應(yīng)該如何計(jì)算呢？這節(jié)課，就讓我們共同來(lái)研究圓的面積，只要我們認(rèn)真學(xué)習(xí)，就能夠解決這個(gè)問(wèn)題。

（二）自主合作，探究新知

【直觀感知，認(rèn)識(shí)圓的面積】

請(qǐng)同學(xué)們拿出課前準(zhǔn)備好的圓形卡紙，摸一摸，指出哪部分是圓的周長(zhǎng)？

師：再親自感受一下，和同桌說(shuō)一說(shuō)，哪部分是圓的面積？

[預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)：拿出圓形卡片，摸一摸，與同桌交流，哪部分是面積，哪部分是周長(zhǎng)。]

課件動(dòng)態(tài)演示圓的周長(zhǎng)（紅色部分），然后在內(nèi)部填充顏色（綠色部分）表示圓的面積。如圖2。

【合作實(shí)踐，了解測(cè)量方法】

引導(dǎo)學(xué)生思考、研究圓的面積的方法。

師：你能不能想出一個(gè)好的辦法來(lái)測(cè)量圓的面積？

[預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)：交流、討論，想到可以在圓內(nèi)畫正方形或是數(shù)方格的方法來(lái)估計(jì)圓的面積。]

結(jié)合學(xué)生操作以及課件演示，學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)方格雖有道理，但有一定的局限性，也不夠精確。

師：在實(shí)際生活中，我們往往要算出一個(gè)精確的結(jié)果，有沒(méi)有一種既簡(jiǎn)便而又能準(zhǔn)確地計(jì)算圓面積的方法呢？

【動(dòng)手探索，推導(dǎo)公式】

（1）引導(dǎo)轉(zhuǎn)化，滲透方法

師：以前我們學(xué)過(guò)哪些平面圖形面積公式？當(dāng)時(shí)是用什么樣的方法推導(dǎo)出它們的公式呢？

課件動(dòng)態(tài)演示學(xué)生匯報(bào)的方法。如圖3

[預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生回憶以往學(xué)習(xí)過(guò)的求圖形面積公式時(shí)所采用的的方法，交流匯報(bào)：①割補(bǔ)法;②合拼法;③合拼法。]

（2）動(dòng)手操作，體驗(yàn)感知

師：想想看，能不能把圓轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖形來(lái)得出它的面積公式呢？請(qǐng)拿出課前準(zhǔn)備好的學(xué)具，試一試，怎么剪和拼？

[預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生還是應(yīng)該很難剪拼出來(lái)，這時(shí)教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生可以沿半徑或直徑把圓等分剪拼。如有拼出來(lái)的，就請(qǐng)其說(shuō)說(shuō)剪拼的方法，并上展示臺(tái)投影展示。]

師生共同研究、探討如何剪拼。

操作活動(dòng)一：

師：如果我們把這個(gè)圓16等分，又會(huì)拼成一個(gè)什么圖形呢？

學(xué)生猜想、回答后，教師用教具演示。

師：想一想，如果我們繼續(xù)，把圓再細(xì)分成更多的份數(shù)：32等分、128等分，拼成的圖形會(huì)更接近什么圖形？

[預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)：通過(guò)直觀演示把圓4等分、8等分、16等分……學(xué)生會(huì)容易發(fā)現(xiàn)：拼成的圖形會(huì)越來(lái)越接近平行四邊形。]

結(jié)合課件直觀演示把圓分成64等份、128等份，轉(zhuǎn)化成近似平行四邊形形的過(guò)程。如圖4

引導(dǎo)學(xué)生在小組內(nèi)交流：有什么發(fā)現(xiàn)？

[預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生在觀察、思考的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：圓等分的份數(shù)越多，拼出的圖形越接近平行四邊形。]

【交流討論，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)】

師：仔細(xì)觀察剪拼成的平行四邊形，結(jié)合手中的學(xué)具，思考以下兩個(gè)問(wèn)題：

●拼成的平行四邊形的面積與圓的面積有什么關(guān)系？

●拼成的平行四邊形的底和高與圓的周長(zhǎng)和半徑有什么關(guān)系？

[預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)：在學(xué)生認(rèn)真觀察、交流討論后，匯報(bào)發(fā)現(xiàn)：1.剪拼前后，圖形的面積不變。2.轉(zhuǎn)化后，平行四邊形的底相當(dāng)于圓周長(zhǎng)的一半：πr，高相當(dāng)于圓的半徑：r。如圖5]

結(jié)合學(xué)生回答，進(jìn)行板書。

師：雖然圓的外表發(fā)生了變化，但面積未更改。無(wú)論如何拼和小扇形，圓的面積保持不變，即出入相補(bǔ)原理（無(wú)論圖形移動(dòng)到何處以及如何剪切，拼接圖形的面積將等于原始圖形的面積）。

【順理成章，推導(dǎo)公式】

師：通過(guò)剛才的觀察可知，拼成的平行四邊形的面積與圓的面積相等，那么，如屏幕所見。同學(xué)們思考，平行四邊形的面積又可以寫成什么？

師：因?yàn)槠闯傻钠叫兴倪呅蔚拿娣e等于原來(lái)圓的面積，所以圓的面積等于？

[預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生動(dòng)腦思考、交流后發(fā)現(xiàn)，圓的面積=平行四邊形的面積=圓周長(zhǎng)的一半×半徑。]

師：如果S表示圓的面積，r表示圓的半徑，圓的面積公式用字母可以怎樣表示？

[預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式，推導(dǎo)出圓的面積公式為S=πr2。發(fā)現(xiàn)圓的面積和半徑有關(guān)。]

根據(jù)學(xué)生回答進(jìn)行課件演示，并板書：S=πr×r=πr2。

強(qiáng)調(diào)：r2=r×r，表示兩個(gè)r相乘，讀作：r的平方。

（三）問(wèn)題解決，提升素養(yǎng)

1.再次回到課前導(dǎo)入新課的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生交流、解答。（如圖7）

[預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生利用本節(jié)課剛推導(dǎo)出的圓的面積計(jì)算公式，解答課前未能解決的問(wèn)題，獲得成功的喜悅。]

2.出示噴灌裝置圖。（如圖8）

師：同學(xué)們，這是生活中常用到的一種旋轉(zhuǎn)噴灌裝置，大家仔細(xì)觀察，這其中藏著什么奧秘？

引導(dǎo)學(xué)生思考：若該噴灌裝置的射程是15米。它能噴灌的面積是多少？（射程相當(dāng)于圓的半徑。）

3.出示馬兒的困惑。（如圖9）

提出問(wèn)題：拴在樹上的馬兒，繩子長(zhǎng)為3米，它能吃到草的面積最多是多少呢？

[預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生觀察課件圖片思考，不管是噴灌的面積還是馬吃草的面積，其實(shí)都是想要求出圓的面積。]

（四）探尋歷史，追本溯源

請(qǐng)同學(xué)們課后去查閱資料，看看這“1800字”到底藏了些什么秘密呢？

[預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生對(duì)“1800字”留有好奇之心，為課下探索做鋪墊。]

（五）回顧總結(jié)，反饋評(píng)價(jià)

師：同學(xué)們，今天我們學(xué)了什么知識(shí)？是怎樣學(xué)習(xí)的？你有什么收獲和感受嗎？整節(jié)課滲透了哪些數(shù)學(xué)思想方法？了解了那幾位偉大的數(shù)學(xué)家？

[預(yù)設(shè)學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生思考回顧，踴躍分享本節(jié)課的收獲和感受，總結(jié)數(shù)學(xué)“化曲為直”、極限思想、出入相補(bǔ)原理等……對(duì)本課的知識(shí)進(jìn)行回顧和整理。]

教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)、解決問(wèn)題的思想方法。根據(jù)學(xué)生回答，給予正面評(píng)價(jià)及適當(dāng)鼓勵(lì)。

四、結(jié)束語(yǔ)

從生活情境入手，到提出問(wèn)題，探索研究的方向與方法，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出公式，教師在課堂上發(fā)揮的角色只是組織者和指導(dǎo)者，并在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)進(jìn)行點(diǎn)撥、引導(dǎo)。不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力，又可以發(fā)展學(xué)生的邏輯思維推理能力。結(jié)合數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，滲透教學(xué)過(guò)程，使得所學(xué)知識(shí)有跡可循，有理可依。

課程結(jié)束設(shè)置懸念，留給學(xué)生課下閱讀、探索數(shù)學(xué)史的空間。學(xué)生自我評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)的收獲及感受，可以對(duì)本課的知識(shí)進(jìn)行回顧整理，培養(yǎng)學(xué)生歸納、總結(jié)知識(shí)的能力，學(xué)生的情感態(tài)度在課堂上得到表現(xiàn)，有助于學(xué)生充分認(rèn)識(shí)自我，建立學(xué)習(xí)的自信心，增強(qiáng)學(xué)生動(dòng)手能力，切實(shí)體會(huì)數(shù)學(xué)圖形之美。

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