基于可靠度指標(biāo)優(yōu)化模型的擋土墻穩(wěn)定性分析

湯彬彬　陳東　趙紫紅　方雪朋

摘要：文章根據(jù)可靠度指標(biāo)理論，提出擋土墻穩(wěn)定性分析的最優(yōu)化可靠度計(jì)算方法，即通過(guò)建立求解可靠度指標(biāo)的優(yōu)化模型，運(yùn)用Matlab軟件優(yōu)化工具箱計(jì)算重力式擋土墻抗傾覆、抗滑移可靠指標(biāo)和失效概率。與中心點(diǎn)法、JC法和蒙特卡羅法等計(jì)算方法進(jìn)行比較分析后得出：最優(yōu)化可靠度計(jì)算方法計(jì)算精度高，計(jì)算效率優(yōu)于其他算法，并且具有較好的通用性，適用于擋土墻穩(wěn)定性問(wèn)題的分析。

關(guān)鍵詞：可靠度;優(yōu)化模型;Matlab;擋土墻;穩(wěn)定性分析

中圖分類號(hào)：U417.1+1

0 引言

在公路工程、橋臺(tái)、隧道洞口及河流堤岸等工程建設(shè)中，擋土墻通常用來(lái)承受側(cè)向土壓力以防止土體坍塌，在安全防護(hù)方面發(fā)揮著重大的作用[1-3]。傳統(tǒng)判定擋土墻是否失穩(wěn)的方法是定值分析法，采用安全系數(shù)作為判別指標(biāo)。這種方法經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的實(shí)踐證明，是一種比較簡(jiǎn)單易行的工程應(yīng)用方法，但存在很大的隱患。因?yàn)榘踩禂?shù)法在計(jì)算過(guò)程中是把相關(guān)的土工參數(shù)看作是一個(gè)確定性的常量，并沒(méi)有考慮到各個(gè)參數(shù)在實(shí)際工程應(yīng)用中的不確定性，即各設(shè)計(jì)變量的隨機(jī)性，故而在實(shí)際工程中會(huì)存在安全隱患，即使設(shè)計(jì)的安全系數(shù)足夠，但投入使用后也可能很快發(fā)生破壞現(xiàn)象。

從定量的、經(jīng)驗(yàn)的到概率的，是工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法在可靠度分析方面所經(jīng)歷的三個(gè)發(fā)展階段。目前在國(guó)際上普遍使用的是概率定值設(shè)計(jì)法，該方法將土工參數(shù)看作是隨機(jī)變量，把可靠度理論引入到擋土墻的設(shè)計(jì)計(jì)算當(dāng)中，并采用以概率理論為基礎(chǔ)所確定的失效概率來(lái)衡量擋土墻的可靠性，更加合理有效地反映出擋土墻的安全程度，方便工程師直接運(yùn)用，促進(jìn)了工程理論和技術(shù)水平的提高，為我國(guó)各種設(shè)計(jì)規(guī)范所使用[4-15]。中心點(diǎn)法[16]、JC法[17]和蒙特卡羅法[18]，是目前常用的可靠度計(jì)算方法。其中JC法和蒙特卡羅法精度較好，但是迭代次數(shù)多、計(jì)算速度比較慢;中心點(diǎn)法精度最低。

基于可靠度指標(biāo)的理論分析，本文提出并重點(diǎn)研究了可應(yīng)用于于擋土墻穩(wěn)定性分析的最優(yōu)化可靠度計(jì)算方法，建立了求解可靠度指標(biāo)的優(yōu)化模型，在此基礎(chǔ)上使用

Matlab軟件編寫(xiě)了計(jì)算程序，計(jì)算了相應(yīng)的算例，并將其與常用的中心點(diǎn)法、JC法和蒙特卡羅法等計(jì)算方法進(jìn)行了比較分析。算例比較分析后的結(jié)果表明，最優(yōu)化可靠度計(jì)算方法計(jì)算精度高，計(jì)算效率優(yōu)于這些算法，并且具有很好的通用性，在擋土墻穩(wěn)定性的分析方面可以發(fā)揮其優(yōu)勢(shì)，具有一定的工程實(shí)際意義。

1 可靠度指標(biāo)理論

對(duì)擋土墻通常進(jìn)行抗傾覆和抗滑移的穩(wěn)定性驗(yàn)算，判別指標(biāo)分別是抗傾覆穩(wěn)定性安全系數(shù)Kl和抗滑移穩(wěn)定性安全系數(shù)KS，即：

在擋土墻設(shè)計(jì)過(guò)程中通常會(huì)遇到功能函數(shù)是線性函數(shù)的兩個(gè)基本變量的情況，用來(lái)表示擋土墻的承載力——抗力;用S來(lái)表示擋土墻所承受的各種內(nèi)力——作用效應(yīng)，此時(shí)，功能函數(shù)可表示為：

極限狀態(tài)方程為：

在以R和S為坐標(biāo)的平面上，式（3）表示一條直線，稱之為極限狀態(tài)直線，這條直線把所在平面劃分為兩個(gè)區(qū)域：可靠區(qū)（>S）和失效區(qū)（2 優(yōu)化思路及方法

如圖2所示為在二維坐標(biāo)系下可靠度指標(biāo)的幾何圖解，假設(shè)R和S兩個(gè)變量相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布，其極限狀態(tài)方程為Z=R-S=0。

圖2（a）表示原坐標(biāo)系，圖2（b）表示新坐標(biāo)系（即對(duì)原坐標(biāo)系標(biāo)準(zhǔn)化），兩者的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下：

設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)為點(diǎn)P*并滿足極限狀態(tài)方程：

在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)坐標(biāo)系下，可靠度指標(biāo)表示原點(diǎn)到極限狀態(tài)面的最小距離為：

可以看出，無(wú)論在變量處于何種分布或者功能函數(shù)處于何種情況下，用最優(yōu)化方法求解可靠度指標(biāo)的問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)換成求解從原點(diǎn)出發(fā)到極限狀態(tài)曲面的最短距離，而且這一過(guò)程可以方便快捷地在Matlab中實(shí)現(xiàn)。

所謂的最優(yōu)化主要是通過(guò)尋求多變量函數(shù)的最大值和最小值來(lái)實(shí)現(xiàn)的，該方法是一種數(shù)值方法，通過(guò)數(shù)值計(jì)算來(lái)得到最優(yōu)化問(wèn)題的結(jié)果，可以解決兩大問(wèn)題：

（1）將一般的可靠度分析問(wèn)題轉(zhuǎn)換成最優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型。

（2）通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型的求解得出最小值。

本文主要介紹了約束優(yōu)化法、無(wú)約束優(yōu)化法及基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法三種優(yōu)化方法。當(dāng)極限狀態(tài)方程中某個(gè)變量可以用其他變量來(lái)表示時(shí)，則可用無(wú)約束優(yōu)化法;若不能則采用約束優(yōu)化法?；谧顑?yōu)化原理的蒙特卡羅法則主要是對(duì)隨機(jī)變量在極限狀態(tài)曲面上進(jìn)行抽樣，各驗(yàn)算點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離即為所求。

3 建立優(yōu)化模型

先作基本假設(shè)：

假設(shè)擋土墻中有n個(gè)服從任意分布的獨(dú)立隨機(jī)變量X1，X2…，Xn，由其組成了以下表示擋土墻穩(wěn)定性的結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)方程：

經(jīng)過(guò)正態(tài)化處理后的當(dāng)量正態(tài)分布應(yīng)該滿足如下條件：在設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)x*i的概率分布函數(shù)值、概率密度函數(shù)值，必須與原隨機(jī)變量x*i處所對(duì)應(yīng)的概率分布函數(shù)值、概率密度函數(shù)值分別相等，如圖3所示。

運(yùn)用拉克維茨-菲斯萊法（簡(jiǎn)稱R-F法）將非正態(tài)變量進(jìn)行當(dāng)量正態(tài)化，可得到相應(yīng)的等效正態(tài)分布的均值μ′xi和標(biāo)準(zhǔn)差σ′x，計(jì)算得到可靠度指標(biāo)如下（也可根據(jù)變量特性確定的其他方法來(lái)進(jìn)行當(dāng)量正態(tài)化）：

驗(yàn)算點(diǎn)在一開(kāi)始時(shí)是未知的，通過(guò)對(duì)可靠度指標(biāo)的優(yōu)化處理后可以確定。先把β看作是極限狀態(tài)曲面上點(diǎn)P（X1，X2，…，Xn）的函數(shù)，通過(guò)優(yōu)化求解，在該區(qū)域中找到β的最小值，即是可靠度指標(biāo)β，也得到了相應(yīng)的驗(yàn)算點(diǎn)P*（X*1，X*2，…，X*n）。由此，可歸納出以下求解可靠度指標(biāo)的約束優(yōu)化模型：

min

通過(guò)拉克維茨-菲斯萊法當(dāng)量正態(tài)化后得到的均值和標(biāo)準(zhǔn)差μ′xi、σ′xi，在正態(tài)分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布下的簡(jiǎn)化形式如下：

（2）對(duì)數(shù)正態(tài)分布

式中：Vxi——Xi的變異系數(shù)。

由于在極限狀態(tài)函數(shù)中，可以用其他的變量組合來(lái)表示其中的某一個(gè)變量，故：

即可轉(zhuǎn)化為無(wú)約束模型：

建立了以上優(yōu)化模型之后，可通過(guò)Matlab軟件語(yǔ)言來(lái)編制出求解可靠度指標(biāo)的程序，程序?qū)崿F(xiàn)過(guò)程如圖4所示。

以Z=18.46-7.48X1/X32為算例，在Matlab軟件下分別實(shí)現(xiàn)約束優(yōu)化法、無(wú)約束優(yōu)化法以及基于最優(yōu)化原理的蒙特卡洛法的程序。

4.1 約束優(yōu)化法

約束優(yōu)化法的Matlab程序過(guò)程如下：

（1）定義全局變量并對(duì)其賦值，Mu為[10 2.5]，Sigama為[2 0.375]，表示均值和標(biāo)準(zhǔn)差;X0取均值Mu，為初始迭代點(diǎn)。

（2）Matlab調(diào)優(yōu)工具箱里的fmincon函數(shù)可用來(lái)求解約束優(yōu)化問(wèn)題：[X，fval，exitflag，output]=fmincon（@bata2，X0，A，b，Aeq，beq，lb，ub，@st）。fval的返回值為X處的目標(biāo)函數(shù)值，exitflag參數(shù)的返回值用來(lái)描述函數(shù)計(jì)算的有效性，輸出參數(shù)output返回值包含優(yōu)化信息。其中b、beq、lb和ub為線性不等式約束的上、下界向量，A和Aeq此處都取空，表示線性不等式約束和等式約束的系數(shù)矩陣。bata2表示目標(biāo)函數(shù)子函數(shù)，st表示可靠度約束條件子函數(shù)。

（3）定義目標(biāo)函數(shù)子函數(shù)bata2（X）為（（X（1）-Mu（1））/Sigama（1））2+（（X（2）-Mu（2））/Sigama（2））2;定義可靠度約束條件子函數(shù)[c，ceq]= st（X），c為不等式約束條件，取空，等式約束條件ceq=為18.46- 7.48×X（1）/X（2）3。

（4）用函數(shù)sqrt（fval）對(duì)fval開(kāi)平方，計(jì)算得到可靠指標(biāo);失效概率由累積分布函數(shù)cdf（′norm，-bata，0，1）計(jì)算得到。

4.2 無(wú)約束優(yōu)化法

極限狀態(tài)函數(shù)中的一個(gè)變量可以由其他變量來(lái)組合表示，基于此，可得到相應(yīng)的無(wú)約束模型，此處用X1= 18.46/（7.48X3）代替等式約束條件。其Matlab程序過(guò)程與約束優(yōu)化的類似，只是去除了約束條件，其過(guò)程如下：

（1）全局變量的定義和賦值和約束優(yōu)化方法相同。

（2）用調(diào)優(yōu)工具箱里的fminsearch函數(shù)，求解非約束優(yōu)化問(wèn)題：[X，fval，exitflag，output]=fminsearch（@ bata2w，X0）。返回值和fmincon函數(shù)相同。其中bata2w為目標(biāo)函數(shù)子函數(shù)。

（3）定義目標(biāo)函數(shù)子函數(shù)bata2w（X）為（（X1-Mu（1））/Sigama（1））2+（（X-Mu（2））/Sigama（2））2，其中X1= 18.46×X3/7.48。

（4）采用與約束優(yōu)化法相同的方法，計(jì)算得到可靠度指標(biāo)和失效概率。

4.3 基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法

（1）設(shè)定抽樣次數(shù)N為10 000，定義全局變量并對(duì)其賦值，MuX為[10 2.5]，Sigama X為[2 0.375]。

（2）函數(shù)normrnd可用來(lái)產(chǎn)生正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)，由此可產(chǎn)生隨機(jī)變量X2的1行N個(gè)正態(tài)分布樣本：X2=normrnd（MuX（2），SigamaX（2），1，N）。根據(jù)極限狀態(tài)方程得到X1=18.46×X23/7.48。

（3）正態(tài)分布在X1處的累積概率值由累積正態(tài)分布函數(shù)normcdf得到：fX1=normcdf（X1，MuX（1），SigamaX（1））。用逆累計(jì)分布函數(shù)norminv得到的累計(jì)概率值的臨界值：Y1=norminv（fX1，0，1）。同樣的方法，得到fX2和Y2。

（4）取B1=[Y12，Y22]，取B1里最小的值給B，取B1的升序給BB。用函數(shù)sqrt（B1）對(duì)B1開(kāi)平方，計(jì)算得到可靠指標(biāo)。用sqrt（BB（2））-sqrt（BB（1））計(jì)算得到精度。用C=find（B1==B）找出B1=B時(shí)的C，則X1（C）和X2（C）即是驗(yàn)算點(diǎn)。

5 算例計(jì)算及比較

如圖5所示的重力式擋土墻，墻高4.604 m，基礎(chǔ)埋深1.2 m，填土面水平，墻背傾角α=-14.03°，基底傾斜α0=10°，混凝土擋土墻材料容重γ=25 kN/m3。填土的物理力學(xué)指標(biāo)γ=19 kN/m3，墻后填土內(nèi)摩擦角φ=30°、墻背摩擦角δ=10°、基底摩擦系數(shù)μ=0.5，持力層土抗剪強(qiáng)度指標(biāo)c=11 kPa、φ′=24°，地基承載力設(shè)計(jì)值f=175 kPa。各隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù)如表1所示。

由式（1）～（3）可計(jì)算出重力式擋土墻的抗滑移、抗傾覆極限狀態(tài)方程：

（1）抗傾覆的極限狀態(tài)方程：

（2）抗滑移的極限狀態(tài)方程：

根據(jù)以上建立的極限狀態(tài)方程，運(yùn)用Matlab優(yōu)化工具箱計(jì)算重力式擋土墻抗傾覆、抗滑移可靠度指標(biāo)和失效概率，并與中心點(diǎn)法、JC法、蒙特卡羅法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，如表2和表3所示。

從表2和表3的計(jì)算結(jié)果可以看出：

（1）中心點(diǎn)法對(duì)于可靠度指標(biāo)值的計(jì)算結(jié)果較之其他方法來(lái)說(shuō)，偏差較大，尤其是對(duì)于抗傾覆可靠度指標(biāo)。這是因?yàn)橹行狞c(diǎn)法在平均值處對(duì)功能函數(shù)進(jìn)行線性化，對(duì)于非線性功能函數(shù)只取其一階矩，故將隨著驗(yàn)算點(diǎn)到失效邊界之間的距離增大而增大，而中心點(diǎn)法所選取的驗(yàn)算點(diǎn)并不一定是在失效邊界上，結(jié)果往往帶來(lái)相當(dāng)大的誤差。

（2）如果以JC法的計(jì)算結(jié)果作為精確值，由表2、表3可知最優(yōu)化方法的計(jì)算結(jié)果較好，能滿足工程要求的精度。其計(jì)算結(jié)果與蒙特卡羅法十分接近，但蒙特卡羅法所采取的抽樣計(jì)算需要很大的樣本數(shù)量來(lái)支撐其準(zhǔn)確性，計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)，當(dāng)樣本數(shù)增加、函數(shù)結(jié)構(gòu)繁雜時(shí)，計(jì)算時(shí)間更長(zhǎng)，甚至整個(gè)計(jì)算無(wú)法完成，并且蒙特卡羅法得不到驗(yàn)算點(diǎn)的值。0243C083-CB5E-4409-B186-257C240FA51E

6 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)基于可靠度指標(biāo)優(yōu)化模型的擋土墻穩(wěn)定性進(jìn)行分析得出以下結(jié)論：

（1）在擋土墻穩(wěn)定性分析過(guò)程中引入可靠度理論，充分考慮了相關(guān)土工計(jì)算參數(shù)的不確定性，相比傳統(tǒng)意義上的安全系數(shù)法更合理，相比其他的計(jì)算方法更快捷準(zhǔn)確，在工程實(shí)際應(yīng)用中可發(fā)揮更有效的作用。

（2）最優(yōu)化可靠度計(jì)算方法并不需要對(duì)功能函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)就可以直接求出可靠度指標(biāo)，該方法對(duì)抗滑移計(jì)算的結(jié)果精度比中心點(diǎn)法高7%，抗傾覆計(jì)算的結(jié)果精度比中心點(diǎn)法高26%，并且相對(duì)JC法和蒙特卡羅法更易于編程，具有很強(qiáng)的通用性，適用于擋土墻穩(wěn)定性問(wèn)題的分析。

（3）采用Matlab軟件語(yǔ)言能夠充分運(yùn)用矩陣運(yùn)算和優(yōu)化工具箱的強(qiáng)大功能來(lái)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，因此在很大程度上提高了計(jì)算和編程的效率。

參考文獻(xiàn)

[1]黃文熙.土的工程性質(zhì)[M].北京：水利電力出版社，1981.

[2]錢家歡，殷宗澤.土工原理與計(jì)算[M].北京：中國(guó)水利水電出版社，1996.

[3]陳希哲.土力學(xué)地基基礎(chǔ)（第四版）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004.

[4]李國(guó)強(qiáng)，黃宏偉，吳 迅，等.工程結(jié)構(gòu)荷載與可靠度設(shè)計(jì)原理（第三版）[M].北京：中國(guó)建筑工業(yè)出版社，2005.

[5]GB50068-2001，建筑結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)[S].

[6]GB50010-2002，混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范[S].

[7]GB/T50283-1999，公路工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)[S].

[8]趙國(guó)藩.工程結(jié)構(gòu)可靠性理論與應(yīng)用[M].大連：大連理工大學(xué)出版社，1996.

[9]趙國(guó)藩，金偉良，貢金鑫.結(jié)構(gòu)可靠度理論[M].北京：中國(guó)建筑工業(yè)出版社，2000.

[10]貢金鑫.工程結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算方法[M].大連：大連理工大學(xué)出版社，2003.

[11]Hasofer A M，Lind N C.Exact and invariant second-moment code format[J].Journal of the Engineering Mechanics，1974，100（1）：111-121.

[12]Maes M A，Bretitung H，Dupuis D J. Asymptotic importance sampling[J].Structural Safety，1993，12（3）：167-186.

[13][JP4]Melchers R E.Structural reliability analysis and prediction（Second Edition）[M].New York：John Wiley&Sons，1999.

[14]Kiureghian A D.Measures of structural safety under imperfect states of Knowledge[J].Journal of Structural Engineering，1989，115（5）：1 119-1 203.

[15]黃興棣.工程結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)[M].北京：人民交通出版社，1992.

[16]王 艦，桌 軍.基于可靠度的靜止土壓力計(jì)算方法[J].勘察科學(xué)技術(shù)，2005（4）：15-18.

[17]張 林，林從謀，徐 超，等.土質(zhì)邊坡動(dòng)力穩(wěn)定可靠度計(jì)算方法研究[J].防災(zāi)減災(zāi)工程學(xué)報(bào)，2005，25（2）：178-181.

[18]Halatchevrossena.Probabilistic stability analysis of embankments slopes[C].Proceedings of the International Conference on Ground Control in Mining，1992.

作者簡(jiǎn)介：

湯彬彬（1993—），碩士，工程師，主要從事道路工程研究工作;

陳 東（1992—），碩士，工程師，主要從事道路工程研究工作;

趙紫紅（1992—），碩士，工程師，主要從事道路工程研究工作;

方雪朋（1990—），碩士，工程師，主要從事道路工程研究工作。0243C083-CB5E-4409-B186-257C240FA51E