佘芳芳

運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”提高學(xué)習(xí)效度

佘芳芳

（莆田市城廂區(qū)霞林學(xué)校，福建莆田351100）

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中利用“數(shù)形結(jié)合”的思想研究數(shù)學(xué)問題，把晦澀的數(shù)量關(guān)系用簡單明了的幾何圖形來展現(xiàn)，又或是將圖形的幾何屬性通過嚴(yán)密精準(zhǔn)的數(shù)量關(guān)系闡明出來，都能夠讓概念理解走向深刻，直觀可見地理解算理，更加凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，解決問題形象化、多樣化，從而提高問題解決的邏輯思考和推理判斷水平，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效度。

數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)思想；學(xué)習(xí)效度

“數(shù)形結(jié)合”是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在輔助學(xué)生探究解題方法中充分發(fā)揮了其優(yōu)勢，已經(jīng)成為了引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)學(xué)問題的重要手段之一。在探索數(shù)學(xué)問題的解答方法時(shí)，學(xué)生可以依靠“數(shù)形結(jié)合”思想的獨(dú)特特點(diǎn)，把晦澀的數(shù)量關(guān)系用簡單明了的幾何圖形展現(xiàn)，又或通過數(shù)字的精確性特點(diǎn)表示形的幾何屬性，能夠讓概念理解走向深刻，直觀可見地理解算理算法，更加凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，解決問題形象化，從而提高問題解決的邏輯思考和推理判斷水平，幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效度。

一、以形助數(shù)，讓概念理解走向深刻

正確理解數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的前提與基礎(chǔ)，概念的抽象性又往往成為學(xué)生正確理解概念的一道檻。因此，概念教學(xué)中，教師如果能夠在學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生的過程，以形助數(shù)，借助圖形表征概念的基本特征，使抽象的數(shù)學(xué)概念直觀化、形象化，那么，學(xué)生就容易實(shí)現(xiàn)對(duì)概念本質(zhì)特征的深刻理解，深度建構(gòu)概念模型。

圖1

二、以數(shù)化形，讓算理算法直觀可見

傳統(tǒng)計(jì)算教學(xué)的重點(diǎn)僅僅停留在掌握算法、具備一定的運(yùn)算技能這種較淺顯的層面上，然而這并不是運(yùn)算能力的全部內(nèi)容，良好的運(yùn)算能力應(yīng)該是運(yùn)算技能和數(shù)學(xué)思考的綜合體，是引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要基石。只有讓算理算法更加直觀可見，才能讓教學(xué)的重點(diǎn)得到明確，將數(shù)學(xué)課程中的抽象知識(shí)能夠更加直觀地展現(xiàn)出來，教師可以將算理與算法通過實(shí)踐進(jìn)行結(jié)合應(yīng)用，保證學(xué)生能夠在閱讀題目的第一時(shí)間探尋到題目的真正內(nèi)涵，讓學(xué)生能夠通過不同算法的復(fù)合運(yùn)算，尋找到合理的數(shù)學(xué)問題解決途徑，這樣才能有效地提升數(shù)學(xué)問題解決的速度，將更多的數(shù)學(xué)理念進(jìn)行融會(huì)貫通，讓學(xué)生尋找到最合適的解題路徑。學(xué)生掌握算法的前提是要讓其理解算理，使學(xué)生積極探索其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理，達(dá)到“知其所以然”的程度，提升自身運(yùn)算水平。因此，教師在教學(xué)過程中要把算理的理解作為教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，可以采用直觀的幾何圖形闡明抽象的算理內(nèi)容，借助圖形的直觀性有效地幫助學(xué)生充分理解運(yùn)算的基本道理，為提煉算法做基礎(chǔ)，實(shí)現(xiàn)算理與算法融通。

探究：

圖2

圖3

三、以數(shù)輔形，讓數(shù)學(xué)本質(zhì)更加凸顯

統(tǒng)計(jì)圖是一種用直觀圖形表達(dá)數(shù)據(jù)整理統(tǒng)計(jì)結(jié)果的記錄方式，它充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在實(shí)際生活的運(yùn)用。例如，《折線統(tǒng)計(jì)圖》的教學(xué)，教師先通過條形統(tǒng)計(jì)圖的直條到點(diǎn)再到線的演變，使學(xué)生明白折線統(tǒng)計(jì)圖是如何產(chǎn)生的，然后再引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)和總結(jié)折線統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)：折線統(tǒng)計(jì)圖中用點(diǎn)描述數(shù)量的多少，用線來描述數(shù)量的增減變化情況。接著引導(dǎo)學(xué)生思考：觀察折線統(tǒng)計(jì)圖時(shí)是否只需要關(guān)注圖呢？教師隨即給出一幅縱軸缺少數(shù)據(jù)的反映某市一年氣溫變化的折線統(tǒng)計(jì)圖（如下左圖）。讓學(xué)生猜測：該折線統(tǒng)計(jì)圖反映的是四季分明的杭州，還是四季如春的昆明，還是常年低溫的哈爾濱？學(xué)生僅從折線的陡緩判斷，必定認(rèn)為是四季分明的杭州。

圖4

正當(dāng)學(xué)生脫離數(shù)據(jù)產(chǎn)生認(rèn)識(shí)偏差時(shí)，教師補(bǔ)充縱軸數(shù)據(jù)（如圖4右），學(xué)生立馬感受到單看線的陡緩是不夠準(zhǔn)確，需要結(jié)合數(shù)據(jù)進(jìn)行判斷，真正體會(huì)“形少數(shù)時(shí)難入微”。接著啟發(fā)學(xué)生思考，怎么讓人一看就能準(zhǔn)確判斷出該折線統(tǒng)計(jì)圖反映的四季如春的昆明的一年溫度，學(xué)生自然想到修改縱軸數(shù)據(jù)，讓折線更平穩(wěn)一些，把左圖變成右圖形式。

圖5

（氣象提醒：我市氣溫變化比往年要大，請(qǐng)廣大市民留心關(guān)注氣溫變化。）

（旅游宣傳：這里四季如春，氣候宜人，歡迎您來昆明。）

最后，通過昆明旅游局和氣象局從統(tǒng)計(jì)的功能性出發(fā)，對(duì)兩幅折線統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行了不同的選擇，使學(xué)生感受繪制統(tǒng)計(jì)圖時(shí)數(shù)形結(jié)合的必要性，深刻理解統(tǒng)計(jì)圖的本質(zhì)與作用。

四、數(shù)形結(jié)合，讓解決問題直觀形象

解決問題是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容。傳統(tǒng)的應(yīng)用題教學(xué)，教師多是采用題海戰(zhàn)術(shù)，往往導(dǎo)致學(xué)生生搬硬套、思維僵化，一旦數(shù)量關(guān)系變化就可能束手無策。教師在數(shù)學(xué)問題的教學(xué)過程中要時(shí)刻提醒學(xué)生用“數(shù)形結(jié)合”的思想解決問題，當(dāng)遇到復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時(shí)要讓學(xué)生自己嘗試著畫出圖形，將題目條件通過幾何圖形展現(xiàn)出來，以此尋找解題的突破口。所以當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)課程中需要一種有效的方法將一些復(fù)雜的知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將更多抽象的條件以直觀的形式讓學(xué)生進(jìn)行觀察，這樣才能真正提高學(xué)生解題的能力，讓學(xué)生的解題速度得到全面的提升。在當(dāng)前的教學(xué)課中應(yīng)當(dāng)嘗試將這些題目中的關(guān)鍵信息表現(xiàn)出來，讓學(xué)生能夠精準(zhǔn)地抓住數(shù)學(xué)問題的重點(diǎn)，找到高效率的解題方式，讓更多學(xué)生能夠通過這種方法快速尋找到解題的關(guān)鍵要素，在腦海中構(gòu)建起完整的數(shù)學(xué)模型。通過這種教學(xué)方法，可以讓學(xué)生的解題能力達(dá)到優(yōu)化，學(xué)生也能夠通過這種教學(xué)方法提升自身的學(xué)習(xí)能力，讓他們養(yǎng)成自主探究的習(xí)慣。將題目中的文字條件轉(zhuǎn)變成直觀清晰的幾何圖形，采用“數(shù)形結(jié)合”方法輔助學(xué)生梳理題目中的數(shù)量關(guān)系，深入理解題目含義，找到解決問題的關(guān)鍵突破口，有效構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決問題能力自然會(huì)獲得提升。

例如，行程問題的基本數(shù)量關(guān)系是“速度×?xí)r間=路程”，對(duì)此學(xué)生雖然熟悉，卻因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)物體數(shù)量、時(shí)間、地點(diǎn)、方向、運(yùn)動(dòng)結(jié)果的變化，構(gòu)成的問題數(shù)量關(guān)系多種多樣，學(xué)生解題時(shí)常常不知從何下手。教師如果能引導(dǎo)學(xué)生依題意畫圖，借助幾何直觀，通過數(shù)形結(jié)合，就比較容易理解題中的數(shù)量關(guān)系，找到解決問題的策略。以如下題目為例：已知A、B兩地之間的距離為300千米，現(xiàn)在，甲車和乙車同時(shí)出發(fā)且甲車速度：乙車速度=4:3，其中甲車每小時(shí)走過的路程為80千米，問2小時(shí)后兩車相距多少千米？本題沒有規(guī)定兩車的運(yùn)動(dòng)方向，是道開放題，學(xué)生能夠借用如下的畫圖策略（如圖6），可以很好地理解有三種運(yùn)動(dòng)情況。

圖6

（1）兩輛車分別從A、B兩個(gè)位置相對(duì)（相向）行駛。

數(shù)量關(guān)系式：A、B兩地的距離-兩車已行路程之和=兩車相距的距離

300-（80+60）×2=20（km）

（2）甲、乙兩車在同樣的位置朝著同一方向出發(fā)。

數(shù)量關(guān)系式：甲車走過的路程-乙車走過的路程=兩車相距的距離

80×2-60×2=40（km）

（3）甲、乙兩車在同樣的位置朝著相反的方向出發(fā)。

數(shù)量關(guān)系式：甲車走過的路程+乙車走過的路程=兩車相距的距離

80×2+60×2=280（km）

在解決此類路程問題時(shí)，線段圖是一種非常有效的輔助工具，學(xué)生可以畫出線段圖分析車輛的行駛路程，明確三種不同運(yùn)動(dòng)方向，甲、乙兩車2小時(shí)后的位置關(guān)系，逐個(gè)厘清蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系。采用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想分析數(shù)學(xué)問題、探究題目結(jié)果可以幫助學(xué)生更好地理解題目意義，打開學(xué)生解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

華羅庚先生曾說過：“數(shù)形結(jié)合有百般的好處?！边@就深刻地闡明了“數(shù)形結(jié)合”這一重要數(shù)學(xué)思想的重要性和優(yōu)勢所在。在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，只要教師注重引導(dǎo)學(xué)生利用“數(shù)形結(jié)合”的思想分析、研究數(shù)學(xué)問題的解題思路和技巧，化抽象為具體，就一定能夠幫助學(xué)生挖掘題目中的隱含信息，打開學(xué)生的解題思路，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地探索問題結(jié)果，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)定會(huì)走向深刻，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。在我國的數(shù)學(xué)教學(xué)課堂上最常見的問題便是教師的教學(xué)方法并不合理。對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)工作而言，這些教學(xué)方法很難讓學(xué)生產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，如果學(xué)生缺少興趣很容易失去學(xué)習(xí)的動(dòng)力，所以教師應(yīng)當(dāng)以學(xué)生的興趣激發(fā)進(jìn)行課程的設(shè)計(jì)，降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的門檻，讓學(xué)生能夠?qū)⒁恍?fù)雜的理論知識(shí)用簡單明了的幾何圖形進(jìn)行展現(xiàn)，這樣更有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，讓他們能夠在自主探究的模式下高效率地進(jìn)行學(xué)習(xí)。教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)設(shè)計(jì)出更加完善的教學(xué)方案，讓更多學(xué)生能夠利用數(shù)形結(jié)合的方法梳理題目中的數(shù)量關(guān)系，并且將自己所學(xué)的解題方式帶入題目當(dāng)中，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)水平得到全面的提升，學(xué)生能夠更加靈活地運(yùn)用知識(shí)解決問題，將更多復(fù)雜的知識(shí)以直觀的形式進(jìn)行解答，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)水平的全面提升。

[1] 宋梅娟.數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微[J].明日,2018(19).

[2] 徐惠.合理“嫁接”數(shù)與形促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì),2014(29).

[3] 林文清.幾何直觀在“數(shù)與代數(shù)”教學(xué)中的巧妙運(yùn)用[J].青海教育,2018(10):2.

[4] 袁曉萍.讓數(shù)據(jù)分析成為一種思維習(xí)慣——“統(tǒng)計(jì)里的秘密”教學(xué)實(shí)踐與思考[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育, 2018(12).

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