利用分析推理思路提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

吳錫梅

[摘? 要] 運(yùn)算貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，運(yùn)算能力的高低直接影響著數(shù)學(xué)成績(jī)的高低，然因部分師生對(duì)運(yùn)算能力的認(rèn)識(shí)不足，影響了學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng). 運(yùn)算能力是學(xué)生綜合素質(zhì)的一種集中表現(xiàn)，對(duì)運(yùn)算能力的追求不能僅停留于解決問(wèn)題，還應(yīng)關(guān)注方法和效率. 為提升運(yùn)算能力，控制運(yùn)算失誤，應(yīng)對(duì)運(yùn)算的目標(biāo)性、可行性、合理性、適配性進(jìn)行分析，進(jìn)而優(yōu)化解題策略，提升解題效率.

[關(guān)鍵詞] 運(yùn)算能力;分析;解題效率

運(yùn)算能力是學(xué)生必備的基本技能和基本數(shù)學(xué)素養(yǎng). 隨著課程的不斷深入，運(yùn)算的難度也在不斷加深，然對(duì)于運(yùn)算能力的培養(yǎng)卻沒(méi)有引起足夠的重視. 部分師生認(rèn)為，數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵是應(yīng)用合適的解題方法和解題技巧尋找解題思路，只要思路對(duì)了，運(yùn)算時(shí)細(xì)心一點(diǎn)就可以順利求解. 正因?yàn)閷?duì)運(yùn)算能力的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，使得學(xué)生在高考中常因計(jì)算錯(cuò)誤而屢屢失分. 運(yùn)算貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，運(yùn)算錯(cuò)誤也伴之左右，若足夠重視并有效控制運(yùn)算失誤，不僅可以降低解題錯(cuò)誤率，而且可以提升解題效率并帶給學(xué)生足夠的自信心和成就感.

對(duì)于運(yùn)算失誤的有效控制應(yīng)著眼于學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤，借助于錯(cuò)誤所暴露出來(lái)的問(wèn)題進(jìn)行有針對(duì)性的訓(xùn)練是有效控制運(yùn)算失誤的最直接手段. 筆者結(jié)合學(xué)習(xí)案例及教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)高中數(shù)學(xué)常見的運(yùn)算錯(cuò)誤總結(jié)如下：

（1）概念、定理濫用. 在應(yīng)用基本公式計(jì)算時(shí)，由于對(duì)公式的理解不清出現(xiàn)了公式濫用，有時(shí)因忽視適用條件而造成錯(cuò)誤.

（2）信息提取能力差. 面對(duì)問(wèn)題的條件較多、需要多角度分析題目時(shí)，常因找不到解題方向而造成錯(cuò)誤.

（3）分析能力差. 學(xué)生解題時(shí)僅僅將信息簡(jiǎn)單羅列，運(yùn)用常規(guī)解法逐一運(yùn)算，使得步驟多、計(jì)算量大，將運(yùn)算復(fù)雜化，從而造成計(jì)算錯(cuò)誤.

（4）運(yùn)算機(jī)械化. 學(xué)生在解題時(shí)習(xí)慣生搬硬套、機(jī)械模仿，缺乏對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的分析，轉(zhuǎn)化意識(shí)差，不僅造成計(jì)算量大，而且往往因考慮不周、機(jī)械套用而使解題思路中斷，從而引發(fā)錯(cuò)誤.

學(xué)生出現(xiàn)以上運(yùn)算錯(cuò)誤雖然有一部分原因是粗心大意，然其主要原因是學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)不扎實(shí)，學(xué)習(xí)缺乏主動(dòng)性，過(guò)于依賴教師、依賴強(qiáng)化訓(xùn)練，學(xué)生分析推理能力較弱，從而在計(jì)算時(shí)常有思路卻很難求解. 為了改變這一情況，在教學(xué)中要充分利用好例習(xí)題示范功能，讓學(xué)生理清算法，找準(zhǔn)思路，進(jìn)而有效控制運(yùn)算失誤.

筆者以一道典型數(shù)學(xué)題為例，借助于此題的求解過(guò)程提升學(xué)生的分析能力，有效控制運(yùn)算失誤.

案例 如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓+=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），離心率為. 分別過(guò)O，F(xiàn)的兩條弦AB，CD相交于點(diǎn)E（異于A，C兩點(diǎn)），且OE=EF.

（1）求橢圓的方程;

（2）設(shè)直線AC，BD的斜率分別為k，k，求k+k.

[?] 目標(biāo)性分析

運(yùn)算前學(xué)生要先弄懂“算什么”，根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行思考：若想得到該結(jié)論可以采用什么樣的方法？即思考“怎么算”. 學(xué)生要根據(jù)已知和結(jié)論先形成一個(gè)整體的解決方案，接下來(lái)將方案進(jìn)行逐一分解，進(jìn)而形成不同的“子目標(biāo)”，通過(guò)對(duì)“子目標(biāo)”進(jìn)行分析而形成一個(gè)“邏輯鏈”，進(jìn)而使運(yùn)算更具邏輯性和可控性.

題目的第（1）問(wèn)是“求橢圓的方程”，即求a，b的值. 根據(jù)已知“右焦點(diǎn)為F（1，0），離心率為”可得c=1，又e=，故a=，所以b2=a2-c2=1. 所以橢圓的方程為+y2=1.

第（1）問(wèn)雖是基礎(chǔ)題，學(xué)生都能輕松求解，然分析其解題過(guò)程不難發(fā)現(xiàn)其是一個(gè)完整的“邏輯鏈”：從結(jié)論出發(fā)尋找a，b的求解方法，通過(guò)已知求出a值，又利用橢圓公式求出b值，最終得到答案.

[?] 可行性分析

考試時(shí)間有限，為了提升解題效率，在解題前應(yīng)對(duì)解題策略有預(yù)判，切勿拿到題目就算、無(wú)法求解時(shí)再轉(zhuǎn)換思路，那樣不僅浪費(fèi)了寶貴的解題時(shí)間，而且也會(huì)磨滅學(xué)生的意志，故在解題時(shí)學(xué)生要多考慮“能不能”，通過(guò)邏輯分析判斷解題操作的可行性.

比如：求解第（2）問(wèn)時(shí)，橢圓的方程為+y2=1（已求解），那么求直線AC，BD的斜率可以利用坐標(biāo)法進(jìn)行，即利用已知求出直線AB和直線CD的方程，接下來(lái)聯(lián)立方程求出A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo)，求出坐標(biāo)后再根據(jù)兩點(diǎn)式求解直線方程，該思路是常規(guī)解題思路，通過(guò)該方法可以得到最終的答案;然其計(jì)算過(guò)程大，運(yùn)算會(huì)占用大量的時(shí)間，而且運(yùn)算時(shí)稍有疏忽就會(huì)直接影響全局，故該方法不是最優(yōu)的解題方法，其可實(shí)施性較弱，因此解決此題應(yīng)繼續(xù)尋找其他方法.

通過(guò)可行性分析可知，上面的解題方法需要較多時(shí)間，故學(xué)生可嘗試另辟蹊徑. 若沒(méi)有前期的分析，學(xué)生求解直線AB和直線CD的方程后才發(fā)現(xiàn)計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)需要復(fù)雜計(jì)算，那時(shí)若再改用其他方法就浪費(fèi)了前期運(yùn)算的時(shí)間，但若繼續(xù)求解卻依然需要很多時(shí)間，此時(shí)就會(huì)處于兩難的境地，不僅浪費(fèi)了時(shí)間而且容易產(chǎn)生急躁的情緒，不利于求解成功. 因此，可行性分析在運(yùn)算過(guò)程中至關(guān)重要.

[?] 合理性分析

數(shù)學(xué)解題思路和解題方法較多，其運(yùn)算方法和途徑也有所不同，然如何運(yùn)算才是最方便的，其是否符合運(yùn)算習(xí)慣、是否有據(jù)可依，如何才能使運(yùn)算趨于合理，是合理性分析需要解決的問(wèn)題. 運(yùn)算時(shí)必須著眼于細(xì)節(jié)，每一步都要細(xì)心考量，使每一步變形都要有理有據(jù)，進(jìn)而使運(yùn)算朝著預(yù)期目標(biāo)發(fā)展. 部分學(xué)生因缺乏對(duì)運(yùn)算合理性的分析，在運(yùn)算時(shí)毫無(wú)目的，算到哪一步就是哪一步，在化簡(jiǎn)運(yùn)算時(shí)越化越繁，與運(yùn)算結(jié)果越來(lái)越遠(yuǎn). 對(duì)運(yùn)算合理性的分析是運(yùn)算的重要環(huán)節(jié)之一，應(yīng)引起足夠的重視.

比如：求解第（2）問(wèn)時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx，直線CD的方程為y=-k（x-1）. 設(shè)A（x，kx），B（x，kx），C（x，k（1-x）），D（x，k（1-x）），則直線AC，BD的斜率之和k+k=+，計(jì)算時(shí)不能著急求解，而應(yīng)先觀察. 通過(guò)合理性分析發(fā)現(xiàn)其不能化簡(jiǎn)，而是需要通分，即k+k=. 因利用四點(diǎn)坐標(biāo)求解計(jì)算量較大，故要借助于整體代入法進(jìn)行求解，化簡(jiǎn)時(shí)嘗試轉(zhuǎn)化為x+x和xx這樣與根和系數(shù)的關(guān)系相關(guān)的形式，為接下來(lái)的計(jì)算做好準(zhǔn)備，于是簡(jiǎn)化變形得k+k=·[2（xx-xx）-（x+x）+（x+x）].

為了確保運(yùn)算的合理性，要對(duì)解題思路和解題方法進(jìn)行監(jiān)測(cè)和評(píng)價(jià)，要充分結(jié)合已有認(rèn)知，重視解題通性通法的應(yīng)用，以保障計(jì)算過(guò)程朝著預(yù)期的方向發(fā)展，進(jìn)而提升運(yùn)算效率.

[?] 適配性分析

運(yùn)算效率及運(yùn)算能力的提升需要數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累，什么樣的問(wèn)題采取什么樣的方案，這是對(duì)學(xué)生基本技能的考量，也是對(duì)學(xué)生邏輯分析能力的考查.

比如：該題求的是含參的直線斜率，解決此類問(wèn)題時(shí)可以應(yīng)用“設(shè)而不求”的解題方法，即設(shè)A（x，kx），B（x，kx），直線AB的方程為y=kx，其與橢圓+y2=1相交于A，B兩點(diǎn)，則有+y2=+k2x2==1，即（1+2k2）x2-2=0，即可求得x+x和xx的值，利用整體代入法求解以減少解題步驟、提升解題效率.

在日常教學(xué)中要重視解題方法的積累和數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，如整體法、數(shù)形結(jié)合法等，運(yùn)用合適的解題策略往往可以優(yōu)化解題方案，可以有效避免復(fù)雜運(yùn)算帶來(lái)的不確定因素，其對(duì)解題能力和運(yùn)算效率都是一種提升.

高中數(shù)學(xué)運(yùn)算是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，是對(duì)學(xué)生綜合能力的考查，高考中80%的題目都需要運(yùn)算，因此要學(xué)好數(shù)學(xué)、要在高考中取得好成績(jī)就不能忽視運(yùn)算能力的培養(yǎng). 對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的考核不單是解決問(wèn)題，更重要的是能高效解決問(wèn)題. 眾所周知，高考數(shù)學(xué)計(jì)算量較大，若不重視效率將很難取得較好的成績(jī). 因此，控制運(yùn)算失誤更需要從效率的層次去思考，如本案例中整體代入法的應(yīng)用，其有效規(guī)避了復(fù)雜運(yùn)算的風(fēng)險(xiǎn)，提升了解題效率. 在運(yùn)算中，要善于從宏觀的角度去觀察和推理，在日常訓(xùn)練中注意多種算法的應(yīng)用，從而從多種算法中總結(jié)和歸納出最優(yōu)方案，進(jìn)而將其內(nèi)化為經(jīng)驗(yàn)，為日后的高效運(yùn)算打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

總之，在運(yùn)算中注重分析可有效控制運(yùn)算失誤，可使運(yùn)算更具目的性和方向性，其有利于解題效率的提升. 為此，在教學(xué)中對(duì)運(yùn)算能力的提升不能僅停留于盲目的“題?！睆?qiáng)化訓(xùn)練，那樣不僅容易使學(xué)生產(chǎn)生消極情緒，而且容易因缺乏分析而出現(xiàn)“一錯(cuò)再錯(cuò)”的現(xiàn)象，從而影響學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，不利于學(xué)生解題效率的提升.