巧借“幾何直觀”理解“分?jǐn)?shù)計(jì)算算理”

袁燕

“幾何直觀”作為《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的核心概念之一，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有重要的地位和意義?！皫缀巍奔磶缀螆D形?！爸庇^”就是借助經(jīng)驗(yàn)、觀察、測(cè)試或類(lèi)比聯(lián)系，所產(chǎn)生的對(duì)事物關(guān)系的直接的感知與認(rèn)識(shí)，通過(guò)直觀能建立起學(xué)生對(duì)自身體驗(yàn)與外物體驗(yàn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在“分?jǐn)?shù)計(jì)算算理”的實(shí)際教學(xué)中，幾何直觀可以把復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。

數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程表明，越是高度抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容，往往越需要形象直觀的模型作為其解釋和支撐。越是抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象，其數(shù)學(xué)本質(zhì)越有可能用簡(jiǎn)捷而直觀的圖形來(lái)表達(dá)。這就是“幾何直觀”?！皫缀沃庇^”作為義務(wù)教育小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）十大核心概念之一，愈來(lái)愈成為數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)注的焦點(diǎn)。

《課標(biāo)解讀》指出：借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果?？梢?jiàn)，幾何直觀是學(xué)生空間觀念形成的基礎(chǔ)。小學(xué)生的思維以具體形象思維為主，所以幾何直觀能力是學(xué)好小學(xué)經(jīng)驗(yàn)性知識(shí)的保證，是思考數(shù)學(xué)問(wèn)題、發(fā)展數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)，是學(xué)生必備的一種基本素養(yǎng)。借助幾何直觀，能啟迪我們的思路，可以幫助我們理解和接受抽象的內(nèi)容、方法、觀念，促進(jìn)我們理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)和思想。很多抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，都可以變成可借用的幾何直觀問(wèn)題，他們是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的向?qū)?。幾何直觀在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用。

一、“幾何直觀”的內(nèi)涵與外延

幾何直觀內(nèi)容在教材呈現(xiàn)上比較零散，教師在教學(xué)策略實(shí)施上比較隨性，不夠嚴(yán)謹(jǐn)和系統(tǒng)化。教材在解決問(wèn)題的過(guò)程中都是比較重視運(yùn)用幾何直觀的，但都缺乏明確的指導(dǎo)。如在教材中理解分?jǐn)?shù)計(jì)算，算理方面都是直接呈現(xiàn)或以問(wèn)題形式提示學(xué)生，但具體該怎樣計(jì)算卻沒(méi)有體現(xiàn)。這樣既不利于教師準(zhǔn)確把握教材，也不利于學(xué)生更好地掌握分?jǐn)?shù)計(jì)算算理[1]。

孔凡哲教授認(rèn)為：幾何直觀是指借助于見(jiàn)到的（或想象出來(lái)的）幾何圖形的形象關(guān)系，對(duì)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象（空間形式和數(shù)量關(guān)系）進(jìn)行直接感知、整體把握的能力;在中小學(xué)數(shù)學(xué)中，幾何直觀可以體現(xiàn)為實(shí)物直觀、簡(jiǎn)約符號(hào)直觀、圖形直觀、替代物直觀四種表現(xiàn)形式。

課標(biāo)中描述：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。就是通過(guò)圖形的直觀性質(zhì)來(lái)闡明數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡(jiǎn)單化，實(shí)現(xiàn)代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的互相轉(zhuǎn)化，相互滲透，為研究和探求數(shù)學(xué)問(wèn)題開(kāi)辟了一條重要途徑。

二、“幾何直觀”在理解分?jǐn)?shù)計(jì)算算理方面的實(shí)踐意義

幾何直觀是依托、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考和想象。它既是一種意識(shí)，也是一種能力和思維方式。幾何直觀幫助學(xué)生理解算理和掌握算法的方法，教師在深刻解讀教材的基礎(chǔ)上，基于學(xué)生學(xué)情，在具體的教學(xué)題境中借助幾何直觀幫助學(xué)生更好理解算理、掌握算法。

幾何直觀有助于學(xué)生在不知道計(jì)算方法的情況下，得出計(jì)算結(jié)果，為算理的理解打下基礎(chǔ)。如在學(xué)習(xí)異分母分?jǐn)?shù)加法的時(shí)候，計(jì)算1/2+1/4，學(xué)生不清楚怎樣算時(shí)，可通過(guò)畫(huà)圖，得出3/4的結(jié)果。從而初步理解計(jì)算1/2+1/4，需要將1/2變成分母也是4的分?jǐn)?shù)：2/4，再與1/4合起來(lái)，就是3/4。畫(huà)圖的過(guò)程不僅能幫助學(xué)生得出計(jì)算結(jié)果，學(xué)生在畫(huà)圖時(shí)，初步感受了異分母分?jǐn)?shù)相加減、需要先通分再加減的道理。

幾何直觀有助于學(xué)生理解運(yùn)算的意義，并通過(guò)對(duì)意義的理解從而理解計(jì)算的算理。如分?jǐn)?shù)乘法單元中，計(jì)算1/5×3，學(xué)生要在一張長(zhǎng)方形紙上先涂出這張紙的1/5，再涂出3個(gè)1/5，在涂的過(guò)程中，學(xué)生理解了1/5×3實(shí)際上表示的是求3個(gè)1/5的和是多少？3個(gè)1/5的和，一共有1×3個(gè)1/5，也就是3/5。同樣，2/5×2，學(xué)生通過(guò)涂一涂、想一想，不難理解求得是2個(gè)2/5的和，一共有2×2個(gè)1/5。畫(huà)直觀圖的過(guò)程中，學(xué)生不自覺(jué)得將算式的意義表示出來(lái)，對(duì)于分?jǐn)?shù)乘整數(shù)意義理解了，那么也就理解了分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計(jì)算算理。

幾何直觀有助于學(xué)生直觀理解算理，并抽象出計(jì)算方法。以北師大版五年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材中分?jǐn)?shù)除法（一）一課為例，為什么2/7÷3=2/7×1/3，為什么除以一個(gè)不為零的數(shù)，要乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)？這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是比較難以理解的。如果教師單純地告知學(xué)生這種算法，不引領(lǐng)學(xué)生探究算法背后的算理，那樣的計(jì)算教學(xué)顯然是乏味的、機(jī)械的。

如果學(xué)生借助畫(huà)圖，分?jǐn)?shù)除法計(jì)算算理則非常顯而易見(jiàn)。2/7÷3，就是將2/7平均分成3份，每份就是2/7的1/3，當(dāng)然要用2/7×1/3了。同理，2/7÷4，學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖也不難發(fā)現(xiàn)，就是求2/7的1/4是多少。換其他任何一個(gè)分?jǐn)?shù)除以一個(gè)不為零的整數(shù)，都是求這個(gè)分?jǐn)?shù)的幾分之一是多少。學(xué)生有了這樣的直觀理解后，再抽象歸納出分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計(jì)算方法，水到渠成。反過(guò)來(lái)，學(xué)生總結(jié)出這樣的計(jì)算方法后，仍舊可以通過(guò)畫(huà)圖的方法來(lái)解釋說(shuō)明其中蘊(yùn)含的道理[2]。

通過(guò)以上舉例不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)加減乘除法算理的理解都離不開(kāi)幾何直觀。幾何直觀的作用，一方面在于它對(duì)于算理的理解有啟動(dòng)作用;另一方面則在于直感的材料對(duì)于算理的深化具有獨(dú)特作用。

三、借助“幾何直觀”理解計(jì)算算理的一般流程及要求

①明確要解決的問(wèn)題，列出算式，思考怎樣算？追問(wèn)為什么這樣列式？對(duì)運(yùn)算意義的理解。②獨(dú)立畫(huà)圖解決、交流畫(huà)法——初步感受算理。畫(huà)圖得出結(jié)果、說(shuō)出畫(huà)法、教師巡視了解畫(huà)的情況;交流、規(guī)范畫(huà)法，比較不同畫(huà)法的聯(lián)系區(qū)別。畫(huà)法和算法結(jié)合：結(jié)合圖說(shuō)說(shuō)結(jié)果是怎么得到的？③再次運(yùn)用畫(huà)圖解決其他類(lèi)似問(wèn)題——進(jìn)一步感受算理。可用書(shū)中問(wèn)題、可補(bǔ)充其他問(wèn)題、可學(xué)生自己舉例。④說(shuō)說(shuō)畫(huà)圖解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)的發(fā)現(xiàn)——理解、抽象算理。結(jié)合畫(huà)圖及計(jì)算概括出怎么算？為什么這么算？小結(jié)得到算理的過(guò)程，發(fā)展幾何直觀意識(shí)。⑤解決實(shí)際問(wèn)題——深化、運(yùn)用算理：如畫(huà)一畫(huà)、算一算等。

四、借助“幾何直觀”理解計(jì)算算理的具體教學(xué)建議

（一）重視學(xué)生獨(dú)立畫(huà)圖，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀意識(shí)

教師在引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用幾何直觀理解算理、解決問(wèn)題時(shí)，不要急于教給學(xué)生怎樣畫(huà)圖，而要讓學(xué)生獨(dú)立嘗試，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)借助幾何直觀分析問(wèn)題的意識(shí)。如在處理2/7÷3=？這一問(wèn)題時(shí)，有的老師總是著急把自己的畫(huà)圖方法“迫不及待”地訓(xùn)講給學(xué)生，讓學(xué)生先畫(huà)什么，再畫(huà)什么，可是學(xué)生自己畫(huà)圖時(shí)仍然不會(huì)畫(huà)，或者看圖不能寫(xiě)出相應(yīng)算式。

（二）重視學(xué)生自己的示意圖，重視學(xué)生自己解釋算理的過(guò)程

不要過(guò)于死板地規(guī)范學(xué)生的畫(huà)圖、過(guò)分強(qiáng)調(diào)學(xué)生畫(huà)的圖必須全班一樣，而要允許學(xué)生用自己的方式去表示，只要能說(shuō)出道理即可。因?yàn)椴煌斫鈱哟蔚膶W(xué)生有著不同的思維特點(diǎn)和思維水平，給學(xué)生展示自己畫(huà)圖的時(shí)間和空間，也是學(xué)生之間交流的需要。

（三）引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖、結(jié)合計(jì)算過(guò)程，得出計(jì)算方法

數(shù)學(xué)教育本身是個(gè)過(guò)程，它不僅是傳授知識(shí)，更重要的是在教學(xué)過(guò)程中讓學(xué)生親身實(shí)踐而抓住其發(fā)展規(guī)律，學(xué)會(huì)抽象化、形式化的方法。直觀是具象，有了直觀畫(huà)圖后，在經(jīng)歷了多次畫(huà)圖感受后，要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖、結(jié)合計(jì)算過(guò)程，抽象出計(jì)算的方法，實(shí)際上也是建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。在學(xué)生結(jié)合圖抽象出計(jì)算方法后，教師還要讓學(xué)生結(jié)合圖說(shuō)明和解釋算理。將抽象的算理再次放回到直觀的圖中，解釋算理的過(guò)程也是算理深化的過(guò)程[3]。

（四）把握好“幾何直觀”與計(jì)算理解的關(guān)系

如對(duì)于2/7÷3=2/21，學(xué)生除了運(yùn)用畫(huà)圖外，還可以通過(guò)商不變規(guī)律，（2/7×1/3）÷（3×1/3）來(lái)計(jì)算;或者從分?jǐn)?shù)意義的角度去思考，1/7除以3是1/21，2個(gè)1/7除以3，應(yīng)得2個(gè)1/21，就是2/21等。因此，重要的是應(yīng)該讓學(xué)生從這樣的學(xué)習(xí)素材中，去展現(xiàn)自己的探究能力，去經(jīng)歷多樣化的探究，在個(gè)性思維得到發(fā)展的同時(shí)，自主實(shí)現(xiàn)算理的理解，獲取算法的優(yōu)化。

（五）不必強(qiáng)求借助“幾何直觀”來(lái)解決所有問(wèn)題

借助幾何直觀是一種分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的策略，是否需要畫(huà)圖與問(wèn)題的難度、學(xué)生對(duì)情境的熟悉程度、學(xué)生的年齡特點(diǎn)等都有關(guān)系。如果學(xué)生不借助畫(huà)圖已經(jīng)可以解決問(wèn)題了，教師可以鼓勵(lì)他們運(yùn)用畫(huà)圖來(lái)表達(dá)自己的思考過(guò)程，但不必強(qiáng)求他們必須經(jīng)過(guò)畫(huà)圖才解決問(wèn)題。

小學(xué)生的思維水平處于具體運(yùn)算階段向形式運(yùn)算階段過(guò)渡，更是離不開(kāi)具體事物的支持。幾何直觀憑借圖形的直觀性特點(diǎn)將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形語(yǔ)言有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，抽象思維同形象思維結(jié)合起來(lái)，充分展現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，能夠幫助學(xué)生打開(kāi)思維的大門(mén)，開(kāi)啟智慧的鑰匙，突破數(shù)學(xué)理解上的難點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維品質(zhì)?？傊瑤缀沃庇^在計(jì)算算理的理解方面也起到了至關(guān)重要的作用。教師培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，需要依托數(shù)學(xué)課程的每個(gè)領(lǐng)域。有效的培養(yǎng)工作必須依托具體的數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容，落實(shí)在課程內(nèi)容之中、課堂教學(xué)細(xì)節(jié)之中，最終形成學(xué)生敏銳的洞察力和深厚的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]孫承勇.談幾何直觀在小學(xué)低段數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用[J].小學(xué)教學(xué)參考，2020（3）：29-30.

[2]孔凡哲，史寧中.關(guān)于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式：對(duì)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的一點(diǎn)認(rèn)識(shí)[J].課程.教材.教法，2012（7）：92-97.

[3]中華人民共和國(guó)教育部制訂.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.