諸兵，左宗玉，王艷東

(北京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京)

一 引言

國內(nèi)大多數(shù)高等院校信息類和航空航天類相關(guān)專業(yè)都開設(shè)有《自動(dòng)控制原理》課程。該課程是自動(dòng)化相關(guān)專業(yè)的理論基礎(chǔ)課，同時(shí)又是其它信息類和航空航天類學(xué)科的重要基礎(chǔ)課之一，例如計(jì)算機(jī)、電子信息、航空宇航、機(jī)器人等等。一個(gè)工程系統(tǒng)的正常運(yùn)行通常在很大程度上依賴其控制系統(tǒng)的性能。在新工科背景下，通過對(duì)《自動(dòng)控制原理》課程的學(xué)習(xí)，使本科學(xué)生系統(tǒng)掌握自動(dòng)控制的基本理論知識(shí)和了解必要的實(shí)踐手段，為后續(xù)專業(yè)課學(xué)習(xí)和參加信息類和航空航天類工程實(shí)踐打下必要的基礎(chǔ)。

北京航空航天大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院承擔(dān)全校部分學(xué)院的本科《自動(dòng)控制原理》課程。該課程為國家級(jí)精品課程、北京市精品課程，是自動(dòng)化相關(guān)本科學(xué)科的專業(yè)核心課，在北航自動(dòng)化及相關(guān)專業(yè)課程體系中占有重要地位。課程所使用的教材為程鵬教授主編《自動(dòng)控制原理》（第二版），由高等教育出版社出版，并配套有輔助教材。教材與輔助教材均為普通高等教育“十一五”國家級(jí)規(guī)劃教材配套用書。根據(jù)北航辦學(xué)方針和自動(dòng)化學(xué)院的本科培養(yǎng)目標(biāo)，結(jié)合教學(xué)大綱的基本要求，《自動(dòng)控制原理》教研組不斷總結(jié)和分析教學(xué)實(shí)踐中的經(jīng)驗(yàn)和問題，持續(xù)改進(jìn)教學(xué)方法和教學(xué)手段，并取得了良好效果[1]。

目前，《自動(dòng)控制原理》課程教學(xué)實(shí)踐中的一個(gè)典型問題，該課程的主要內(nèi)容是在實(shí)際工程中提煉出來的理論分析與設(shè)計(jì)方法，由于課時(shí)有限，課程的講授需要找到理論推導(dǎo)與工程實(shí)踐之間的平衡點(diǎn)。過于注重理論推導(dǎo)而忽視應(yīng)用，則容易脫離課程的教學(xué)目標(biāo)，讓學(xué)生感覺不知所云，從而引發(fā)厭學(xué)情緒；過于注重應(yīng)用而忽視理論推導(dǎo)，則不利于學(xué)生培養(yǎng)學(xué)科的思維方式，也不利于進(jìn)入后續(xù)課程的深入學(xué)習(xí)。當(dāng)前國內(nèi)高校的普遍情況是《自動(dòng)控制原理》課程及教材非常注重理論結(jié)果的精確描述和相關(guān)應(yīng)用，但是受限于工科學(xué)生的基礎(chǔ)數(shù)理知識(shí)，并未充分給出所有理論結(jié)果的證明和推導(dǎo)。以梅森公式為例，通過該公式能夠直接計(jì)算出動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖（或信號(hào)流圖）描述的線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，是非常重要的理論結(jié)果，也具有重要工程意義，但是幾乎所有國內(nèi)外的著名教材都未能給出其詳細(xì)證明[2-5]。通過查閱早期文獻(xiàn)以及一些相關(guān)的后續(xù)研究，能夠發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)中的原始證明方法需要使用一些自動(dòng)化類本科生可能不曾接觸的理論知識(shí)。講授梅森公式的證明需要在教學(xué)實(shí)踐中嘗試使用其它能使自動(dòng)化類工科學(xué)生接受的方法。

本文針對(duì)《自動(dòng)控制原理》課程中存在的普遍忽視定理證明的問題，以梅森公式為例，探索如何簡(jiǎn)潔充分講述定理的理論推導(dǎo)的方法。并研究理論推導(dǎo)如何提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，研究如何促進(jìn)學(xué)生熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)定理，最終提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

二 教學(xué)探索與實(shí)踐——以梅森公式為例

（一） 動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖與信號(hào)流圖

同一個(gè)線性系統(tǒng)，既可以用動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖描述，也可以用信號(hào)流圖描述。兩種描述方法的形式不同，但是物理意義是一樣的。

動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖（或者方框圖）中，方框表示各元部件的傳遞函數(shù)，各方框之間通過信號(hào)線、綜合點(diǎn)和引出點(diǎn)連接，形成描述整個(gè)系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)。例如圖1是一個(gè)典型的線性系統(tǒng)反饋結(jié)構(gòu)。

信號(hào)流圖的形式與動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖不同，使用有向信號(hào)線表示各元部件的輸入輸出關(guān)系（即傳遞函數(shù)），信號(hào)線中的信號(hào)進(jìn)入節(jié)點(diǎn)做加減法計(jì)算，計(jì)算結(jié)果輸出到下一信號(hào)線。例如圖2 所示為信號(hào)流圖，它與圖1 描述的是同一個(gè)系統(tǒng)。通常，可以（不精確地）認(rèn)為，信號(hào)流圖中的節(jié)點(diǎn)為動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖中的信號(hào)線，而信號(hào)流圖中的信號(hào)線為動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖中的方框。

使用信號(hào)流圖的描述方式，梅森公式的證明顯得簡(jiǎn)單直觀。動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖描述方式下的梅森公式物理意義是相同的。

（二） 梅森公式（Mason’s gain formula）

梅森公式用于直接由動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖或者信號(hào)流圖計(jì)算線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，其表達(dá)式見公式（1）。

圖2 線性系統(tǒng)信號(hào)流圖

Li為第i個(gè)回路傳遞函數(shù)（含符號(hào)）的乘積；

LiLj為兩個(gè)互不接觸回路的傳遞函數(shù)（含符號(hào)）的乘積（這里，互不接觸是指兩個(gè)回路不享有相同的元部件）；

LiLjLk為三個(gè)互不接觸回路的傳遞函數(shù)（含符號(hào)）的乘積，等等。

N為前向通路[ 從輸入R(s) 到輸出C(s) 且不重復(fù)訪問同一點(diǎn)]的條數(shù)；

Pk為第k條前向通道傳遞函數(shù)的乘積；

△k為第k條前向通道的余子式，即將△中去除與k條前向通路相接觸的回路后的余項(xiàng)。

經(jīng)過長(zhǎng)期教學(xué)實(shí)踐，如果不介紹梅森公式的證明，則學(xué)生通常會(huì)提出下列問題：

（1）△的表達(dá)式中，除了包含各回路傳遞函數(shù)，為何還需不接觸回路傳遞函數(shù)的乘積？不接觸回路的乘積在物理上表示什么意義？

（2）余子式△k與線性代數(shù)中的余子式概念有何聯(lián)系？其物理意義是什么？

（三） 梅森公式的證明

梅森公式的原始文獻(xiàn)中，因?yàn)樾枰紤]到更一般的情況，因此證明過程中使用了很多國內(nèi)工科本科生不曾掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)。如果只考慮本科生能夠?qū)嶋H接觸到的系統(tǒng)，則其動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖或信號(hào)流圖相對(duì)比較簡(jiǎn)單。將梅森公式限制在此種情況下，則證明比較容易，能夠?yàn)楣た票究粕斫獠⒄莆?。本?jié)以大三本科生的視角，基于最少的前期課程的基礎(chǔ)知識(shí)證明梅森公式的基本結(jié)論，用到的基礎(chǔ)理論僅包括線性代數(shù)。

這里使用信號(hào)流圖證明梅森公式。令系統(tǒng)的輸入節(jié)點(diǎn)信號(hào)為R，其余節(jié)點(diǎn)信號(hào)為Xi，其中i=1,2,…,n。即，除了輸入節(jié)點(diǎn)外，系統(tǒng)還有n個(gè)節(jié)點(diǎn)。例如圖2 中，除輸入節(jié)點(diǎn)外，還有3 個(gè)其他節(jié)點(diǎn)。系統(tǒng)的輸出Y=Xn。令輸入節(jié)點(diǎn)到節(jié)點(diǎn)i的增益為gir，令節(jié)點(diǎn)j到節(jié)點(diǎn)i的增益為gir，則在節(jié)點(diǎn)處的信號(hào)滿足下式：

或者

當(dāng)節(jié)點(diǎn)取遍i=1, 2,…,n，可以寫成矩陣方程的形式：

可以證明，如果從輸入節(jié)點(diǎn)出發(fā)，能夠通過有向信號(hào)線到達(dá)任一其他節(jié)點(diǎn)，則矩陣A可逆，因此

如果只關(guān)注輸入輸出關(guān)系，則

或者傳遞函數(shù)為

即向量A-1b的最后一個(gè)元素。

進(jìn)一步的，考慮

其中det(A)表示矩陣A的行列式，A*是矩陣A的伴隨矩陣。

關(guān)于傳遞函數(shù)的分母，我們可以關(guān)注det(A) 的特點(diǎn)。按照行列式的計(jì)算規(guī)則，有

其中k1,k2,…,kn是1,2,…,n交換k次所得的序列。

按照（1）中矩陣的具體形式，如果行列式中元素乘積指標(biāo)序列沒有交換次序，則

式中的“1”。如果行列式中A元素乘積序列有交換次序，則對(duì)應(yīng)回路。例如：

式中的單回路之一，符號(hào)為負(fù)。再例如

上式中，類似對(duì)特征多項(xiàng)式det(A) 的分析，行列式包含從節(jié)點(diǎn)1 到n的所有前向通道及其與不接觸回路的乘積；而g1r表示從輸入端到節(jié)點(diǎn)1 的通道。因此，g1ra*1n包含所有從輸入端開始，由g1r經(jīng)節(jié)點(diǎn)1 的前向通道及其與不接觸回路的乘積。類似的，所有g(shù)1ra*1n包含所有從輸入端開始，由gir經(jīng)節(jié)點(diǎn)i的前向通道及其與不接觸回路的乘積。求和之后，可以證明，，即梅森公式的分子部分得證。

從上述證明可以看出，針對(duì)目前學(xué)生能夠接觸到的線性系統(tǒng)，用動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖或者信號(hào)流圖描述，其梅森公式的證明是簡(jiǎn)潔且容易理解的。除線性代數(shù)基本知識(shí)外，并沒有用到其它深?yuàn)W的數(shù)學(xué)理論。在課堂上將梅森公式的證明作為選學(xué)內(nèi)容講授，則可以引入初步的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)建模思想，提前為以后從事網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)控制相關(guān)方面研究做準(zhǔn)備；同時(shí)，加深學(xué)生對(duì)于線性代數(shù)知識(shí)的熟練掌握與應(yīng)用。

除了梅森公式之外，本課程其它定理的證明（例如根軌跡法則、線性系統(tǒng)PBH 可控性判據(jù)、李雅普諾夫方程、李雅普諾夫穩(wěn)定性幾何意義，等等）都可以作為選學(xué)內(nèi)容講授。既能夠加深學(xué)生對(duì)于大綱內(nèi)容的理解，也能夠進(jìn)一步激發(fā)對(duì)更深入知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣。

三 教學(xué)實(shí)踐效果與持續(xù)改進(jìn)措施

（一） 教學(xué)實(shí)踐效果

作者已在兩輪次（2019-2020 年秋春、2020-2021 年秋春，共4 學(xué)期）本科《自動(dòng)控制原理》課程教學(xué)實(shí)踐中嘗試適當(dāng)增加定理證明作為選學(xué)內(nèi)容。兩輪次的課程教學(xué)實(shí)踐中，第一輪次先少量加入教材中未提供的定理證明，第二輪次在第一輪次的基礎(chǔ)上進(jìn)一步增加定理證明。從學(xué)生的實(shí)際反饋和期末考試成績(jī)可以看出，這種嘗試取得了很好的效果。

圖3 近兩輪次授課期末考試成績(jī)分布

按照學(xué)校有關(guān)規(guī)定，學(xué)生在查看期末成績(jī)之前需要對(duì)教師的教學(xué)效果做出評(píng)價(jià)和建議。這兩輪次的授課后，典型的學(xué)生評(píng)價(jià)主要包括：“超綱內(nèi)容（即增加的證明內(nèi)容）非常有趣”“（授課）實(shí)行效果好”“講解非常詳細(xì)”“l(fā)ecture notes（即授課筆記）很有用”，等等。選課學(xué)生對(duì)課程和教師的肯定是作者持續(xù)教學(xué)改革的最大動(dòng)力。

初步嘗試教學(xué)改革的兩輪次（2019-2020 年秋春、2020-2021 年秋春，共4 學(xué)期）授課的期末考試成績(jī)分布情況見圖3 所示。從選課學(xué)生成績(jī)分布可以看出，優(yōu)秀率很高，不及格率很低，充分體現(xiàn)了作者近兩年來教改措施的有效性。

（二） 持續(xù)改進(jìn)措施

按照學(xué)校有關(guān)規(guī)定，學(xué)生在查看期末成績(jī)之前需要對(duì)教師的教學(xué)效果做出評(píng)價(jià)和建議。針對(duì)作者在適當(dāng)增加定理證明方面的嘗試，典型的評(píng)價(jià)主要包括：（1）現(xiàn)有教材上并未提供教師講授的選學(xué)內(nèi)容，無法充分預(yù)習(xí)；（2）由于課時(shí)所限導(dǎo)致講授速度較快，來不及記筆記，因此并不能總是很好地接受所有的選學(xué)內(nèi)容。

作者認(rèn)為，上述評(píng)價(jià)確實(shí)能夠反映當(dāng)前課堂教學(xué)實(shí)踐的實(shí)際問題。導(dǎo)致上述問題的原因在于該教學(xué)改革還處于初步嘗試階段，授課教師并未充分考慮所有選課學(xué)生對(duì)于新理論知識(shí)的接受能力。所以，當(dāng)前的教改措施還未完全達(dá)到期望效果。從圖3 的數(shù)據(jù)也能看出，2020-2021 年春季學(xué)期的期末成績(jī)比其它學(xué)期略差，說明作者的教改措施還有持續(xù)提高的空間。因此，作者提出并準(zhǔn)備嘗試在下一輪授課中采取以下持續(xù)改進(jìn)措施：

（1）對(duì)于教材未提供的但相對(duì)重要的定理證明仍然采用課堂講授的方式。授課教師提前制作授課筆記，并在課前至少一周通過學(xué)校網(wǎng)絡(luò)課程中心系統(tǒng)發(fā)給選課學(xué)生。授課筆記的內(nèi)容包括教材中知識(shí)點(diǎn)的高度提煉，并加入一些重要定理證明。本措施試圖提高學(xué)生的預(yù)習(xí)效果。

（2）對(duì)于教材未提供的相對(duì)不重要的定理證明，考慮線上課堂視頻作為線下課堂授課的補(bǔ)充材料。通過線上線下結(jié)合的措施能夠給學(xué)生提供充分的學(xué)習(xí)材料，包括非常有趣的選學(xué)材料。本措施主要針對(duì)線下課堂學(xué)時(shí)不足的問題。

上述兩項(xiàng)改進(jìn)措施中，第（1）條措施已在上一輪授課中做了初步嘗試，取得了一定效果，但是現(xiàn)有的授課筆記還比較簡(jiǎn)單，需要在新一輪授課中進(jìn)一步改進(jìn)；第（2）條措施已在作者負(fù)責(zé)的研究生課程“非線性控制理論”中使用，且取得了非常好的效果（視頻播放超過4 萬次）?；诋?dāng)前的教學(xué)實(shí)踐效果和數(shù)據(jù)，作者認(rèn)為上述兩項(xiàng)措施一定能夠有效改進(jìn)教學(xué)改革的效果。

四 結(jié)語

本文以梅森公式為例，論述了工科自動(dòng)化專業(yè)《自動(dòng)控制原理》課程中適當(dāng)增加有關(guān)定理證明的講解的優(yōu)點(diǎn)與意義。近年來的學(xué)生評(píng)價(jià)和教學(xué)實(shí)踐數(shù)據(jù)表明，在《自動(dòng)控制原理》課程中適當(dāng)加入定理證明的講解，有利于學(xué)生進(jìn)一步系統(tǒng)性深入理解和掌握所學(xué)知識(shí)，有效提高學(xué)習(xí)成績(jī)；并且，在學(xué)習(xí)新知識(shí)的同時(shí)達(dá)到復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)的效果。