李仲興， 李忠遠(yuǎn)， 劉晨來

(江蘇大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院， 江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

環(huán)境和能源問題已成為國際社會廣為關(guān)注的主題，電動汽車作為一種環(huán)境友好和低碳經(jīng)濟(jì)的交通工具應(yīng)運(yùn)而生。輪轂驅(qū)動電動車具有結(jié)構(gòu)緊湊、傳動效率高和動力可控等優(yōu)點(diǎn)，已成為研究的熱點(diǎn)領(lǐng)域[1]；但由于其采用分布式的布置方式，造成非簧載質(zhì)量增加，影響了車輛的行駛平順性和操縱穩(wěn)定性。

針對以上問題，國內(nèi)外學(xué)者在懸架控制及阻尼調(diào)節(jié)方面展開研究并取得一系列成果。鐘銀輝等[2]探究了開關(guān)磁阻電機(jī)激勵對車輛性能的影響，并基于FxLMS算法進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)對主動懸架的控制，抑制了振動負(fù)效應(yīng)；汪若塵等[3]提出了一種集成電磁懸架的懸置式新結(jié)構(gòu)，并采用天棚控制策略進(jìn)行分析，驗(yàn)證了所提新結(jié)構(gòu)以及控制方法的可行性；李哲等[4]構(gòu)建不平衡徑向力建立懸架耦合模型，并提出基于多目標(biāo)粒子群算法的電磁主動懸架優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，通過對控制器參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，有效削弱振動負(fù)效應(yīng)；李佩琳等[5]提出一種考慮時滯的主動懸架H∞控制策略，實(shí)現(xiàn)了對帶有時滯主動懸架系統(tǒng)的有效控制；Wang等[6]設(shè)計(jì)了一種有限頻率狀態(tài)反饋H∞控制器，實(shí)現(xiàn)了對目標(biāo)頻率范圍的干擾抑制；Ibrahim等[7]提出基于模糊控制和H∞控制的主動懸架控制策略，并通過仿真試驗(yàn)驗(yàn)證了所提方法的有效性；Luo等[8]基于音圈電機(jī)作為作動器，構(gòu)建主動懸架系統(tǒng)，提出了一種串級控制方法，試驗(yàn)表明主動懸架性能得到明顯改善。

綜上所述，目前對輪轂驅(qū)動電動車的研究主要集中考慮懸架和輪轂電機(jī)兩方面因素，對輪胎的考慮較少，并且控制方法多為在線計(jì)算，計(jì)算耗時較長。據(jù)此本文提出一種顯式模型預(yù)測控制(explicit model predictive control, EMPC)策略，建立1/4輪轂電機(jī)與空氣懸架(hub motor-air suspension, HM-AS)系統(tǒng)模型,考慮輪胎內(nèi)部垂向力，EMPC采用離線計(jì)算、在線查找的方式，并基于多參數(shù)二次規(guī)劃理論構(gòu)建顯式多面體分段仿射系統(tǒng)，綜合考慮時域和頻域兩方面因素，降低車身垂向加速度、輪胎動載荷和輪轂電機(jī)偏心距，有效抑制振動負(fù)效應(yīng)，改善車輛的行駛平順性、操縱穩(wěn)定性和電機(jī)性能。

1 1/4 HM-AS系統(tǒng)模型

1.1 不平衡電磁力模型

本文輪轂電機(jī)選用外轉(zhuǎn)子永磁無刷直流電機(jī)。輪轂電機(jī)的氣隙磁場包括永磁體磁場和電樞反應(yīng)磁場。在極坐標(biāo)系下，分別計(jì)算永磁體、電樞反應(yīng)磁場，并采用線性疊加法，將上述兩者相加，得到輪轂電機(jī)偏心狀態(tài)下徑向氣隙磁場和切向氣隙磁場[9]

Ber(r,α,t)=[Bmr(r,α,t)+Bar(r,α,t)]εδ

(1)

Bet(r,α,t)=[Bmt(r,α,t)+Bat(r,α,t)]εδ

(2)

式中，Bmr和Bar為非偏心時永磁體和電樞繞組的徑向磁場；Bmt和Bat為非偏心時永磁體和電樞繞組的切向磁場；r為極坐標(biāo)系極徑；α為極坐標(biāo)系極角；εδ為偏心時磁導(dǎo)修正系數(shù)。

偏心時磁導(dǎo)修正系數(shù)εδ為

α+φ)

(3)

其中，

式中：e為輪轂電機(jī)偏心距；δ0為實(shí)際氣隙長度；μr為相對回復(fù)磁導(dǎo)率；hm為永磁體厚度。

輪轂電機(jī)工作時，定轉(zhuǎn)子之間產(chǎn)生偏心，進(jìn)一步產(chǎn)生垂向不平衡電磁力Fez為

2[Ber(r,α,t)·Bet(r,α,t)]cosα}dα

(4)

1.2 剛性環(huán)輪胎模型

本文考慮垂向振動，建立剛性環(huán)輪胎模型。從文獻(xiàn)[10]中可以得知，不考慮輪胎胎體形變時，輪胎帶束運(yùn)動可視為剛體運(yùn)動，因此可以將輪胎胎體部分視為剛性環(huán)。輪轂電機(jī)與車輪通過螺栓固定連接，且輪轂電機(jī)外轉(zhuǎn)子與車輪同步運(yùn)動。從圖1可以看出，剛性環(huán)輪胎模型在垂向上簡化為車輪、環(huán)形彈簧和減振器，并引入接地彈簧來表示輪胎形變，計(jì)算輪胎與地面在垂直方向上的垂向力[11]。圖1中：mt為輪胎質(zhì)量；mms為定子質(zhì)量；mw_mr為車輪與轉(zhuǎn)子質(zhì)量；kbeaz為垂向軸承剛度；kt_rd為輪胎徑向剛度；ct_rd為輪胎徑向阻尼；kcz為輪胎殘余剛度。

圖1 剛性環(huán)輪胎模型與BLDC模型結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of rigid ring tire model and BLDC model

1.3 四質(zhì)量系統(tǒng)模型

HM-AS系統(tǒng)結(jié)構(gòu)組成如圖2所示：包括輪轂電機(jī)、空氣懸架和輪胎。以輪轂電機(jī)氣隙為分界面，將輪轂電機(jī)分為內(nèi)定子與外轉(zhuǎn)子，結(jié)合剛性環(huán)輪胎模型、空氣懸架模型并引入由電磁作動器產(chǎn)生的主動力，將傳統(tǒng)1/4車輛二自由度振動模型轉(zhuǎn)化為1/4車輛四自由度振動模型，其垂向振動模型如圖3所示，振動微分方程為

(5)

圖2 輪轂電機(jī)與空氣懸架結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of hub motor and air suspension

圖3 四質(zhì)量系統(tǒng)模型Fig.3 Four mass system model

其中，

式中：ms為簧載質(zhì)量；zs、zt、zms、zw_mr分別為簧載質(zhì)量、定子質(zhì)量、車輪與轉(zhuǎn)子質(zhì)量、輪胎質(zhì)量垂向位移；q為路面激勵；g為重力加速度；Ae為空氣彈簧有效面積；k為多變系數(shù)；pa為大氣壓強(qiáng)；p0為空氣彈簧初始?xì)鈮海籪d為懸架動行程；V0為空氣彈簧初始體積；cs為減振器阻尼系數(shù)；Fspr為空氣彈簧力；Fdam為阻尼力；Fbeaz為電機(jī)垂向軸承力；Fs為主動力；Ft輪胎內(nèi)部垂向力。

1.4 路面模型

本文采用隨機(jī)路面作為激勵，路面功率譜密度的冪函數(shù)表達(dá)式[12]為

(6)

式中：n為空間頻率；n0為參考空間頻率；Gq(n0)為路面不平度系數(shù)。

建立基于濾波白噪聲的時域隨機(jī)路面模型，其表達(dá)式為

(7)

式中：n00為路面空間截至頻率；w(t)為白噪聲激勵；v為車速。

本文以B級路面為例，即路面不平度系數(shù)Gq(n0)=64×10-6m3，車速v=30 km/h，隨機(jī)路面輸入下的車輪垂向位移如圖4所示。

圖4 隨機(jī)路面輸入下的車輪垂向位移Fig.4 Wheel vertical displacement under random road input

2 HM-AS系統(tǒng)顯式模型預(yù)測控制

2.1 MPC控制器設(shè)計(jì)

MPC的控制思想是明確使用系統(tǒng)預(yù)測模型來預(yù)測系統(tǒng)未來時刻的輸出，在每個采樣時刻，MPC通過有限時域內(nèi)的滾動優(yōu)化使性能指標(biāo)最小，在線計(jì)算獲得最優(yōu)控制序列，并將第一個控制量作用于系統(tǒng)，同時在下一時刻根據(jù)系統(tǒng)輸出和預(yù)測之間的誤差校正未來輸出。根據(jù)式(5)中所示的振動微分方程，系統(tǒng)的狀態(tài)空間可以寫為

(8)

矩陣A、B進(jìn)一步計(jì)算為

系統(tǒng)輸出定義車身垂向加速度、懸架動行程、輪轂電機(jī)偏心距和輪胎動載荷為

(9)

同樣，矩陣C、D進(jìn)一步計(jì)算為

由于MPC用于解決離散時域內(nèi)的最優(yōu)問題，因此對式(8)進(jìn)行離散化處理，進(jìn)一步以狀態(tài)空間的形式獲得滿足MPC控制器設(shè)計(jì)要求的離散時間模型為

(10)

其中，

式中：Ts為離散時域步長；τ為積分時間常數(shù)。

MPC控制器的設(shè)計(jì)目標(biāo)是找到最優(yōu)控制率u(k)，以主動力約束和動力學(xué)方程為基礎(chǔ)，在行駛平順性、操縱穩(wěn)定性和電機(jī)使用壽命方面優(yōu)化車輛主動懸架和電機(jī)的性能。本研究考慮懸架動行程約束|fd|≤0.05 m，同時考慮主動力約束|Fs|≤5 000 N，選擇最優(yōu)預(yù)測時域Np、最優(yōu)控制時域Nu0、R=RT>0，定義二次成本函數(shù)為

(11)

式中：NP為預(yù)測時域；Nm為控制時域；Q為目標(biāo)權(quán)重矩陣；R為輸入權(quán)重；yref為目標(biāo)參考軌跡，在本研究中表示車身垂向加速度、懸架動行程、輪轂電機(jī)偏心距和輪胎動載荷參考值。

然后，采用滾動時域優(yōu)化策略，得到車輛主動懸架系統(tǒng)MPC的控制律：

(1) 在k時刻獲得系統(tǒng)狀態(tài)xk；

(2) 利用混合整數(shù)規(guī)劃理論求解下列二次問題；

(12)

(3) 將計(jì)算出的第一個控制量作用于系統(tǒng)優(yōu)化問題；

(4) 將預(yù)測時域向前移動一步，在k+1時刻重復(fù)以上過程。

2.2 EMPC控制器設(shè)計(jì)

Bemporad[13]提出在模型預(yù)測控制中引入多參數(shù)二次規(guī)劃理論(multi-parametric quadratic program, MPQP)，將隱式MPC過渡到EMPC。EMPC引入多參數(shù)二次規(guī)劃理論，對系統(tǒng)的狀態(tài)區(qū)域進(jìn)行凸劃分，離線求解每個狀態(tài)分區(qū)上的線性狀態(tài)反饋?zhàn)顑?yōu)控制律，并得到顯式多面體分段仿射(polyhedral piece-wise affine, PPWA)系統(tǒng)[14]。EMPC在線實(shí)時控制時，根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)值查找所在多面體分區(qū)，接著調(diào)用對應(yīng)的顯式線性控制律得到最優(yōu)控制律，由于無需反復(fù)在線優(yōu)化，相比隱式MPC，效率明顯提高[15-18]。

圖5所示為本文所提基于EMPC控制理論的HM-AS系統(tǒng)控制框圖，實(shí)線代表離線求解過程，虛線代表在線控制過程。EMPC控制策略分為三部分，首先根據(jù)動力學(xué)理論，建立預(yù)測時域內(nèi)的目標(biāo)函數(shù)及約束條件，將對提升行駛平順性、操縱穩(wěn)定性和電機(jī)性能的問題轉(zhuǎn)換為求解最優(yōu)主動力的問題，然后采用EMPC控制方法，運(yùn)用MPQP理論，離線求解并得到多面體分段仿射系統(tǒng)，接著通過顯式控制律求得每個狀態(tài)分區(qū)上的最優(yōu)控制向量，最后通過在線查找狀態(tài)定位分區(qū)，確定對應(yīng)分區(qū)最優(yōu)控制向量，進(jìn)而有效控制HM-AS系統(tǒng)的垂向振動。

圖5 EMPC HM-AS系統(tǒng)控制框圖Fig.5 EMPC HM-AS system control block diagram

當(dāng)給定狀態(tài)變量x(k)時，在每個采樣時刻，隱式MPC在線求解二次規(guī)劃(quadratic programming, QP)問題，而EMPC離線求解給定x(j)中所有x(k)值的QP。隱式MPC和EMPC的解是等價的，因此EMPC保留了MPC解的特性。由式(13)導(dǎo)出MPC的解可以用分段仿射函數(shù)的形式得到，表示為

(13)

式中：x(k)為狀態(tài)變量；矩陣Fi和向量gi分別為固定反饋增益和位移常數(shù)。

當(dāng)前狀態(tài)x(k)為每個多面體x(j)的一部分，并且這些集合組成狀態(tài)空間中的多面體分區(qū)，即x(j)=X1,X2…XN。多面體集x(j)用半空間的交點(diǎn)表示為

x(j)={x(k)∈Rn|S1x≤S2}

(14)

利用MPQP理論對EMPC離線計(jì)算實(shí)現(xiàn)狀態(tài)變量凸劃分，經(jīng)過MATLAB求解，得到117個凸參數(shù)分區(qū)。圖6為參數(shù)分區(qū)截面圖及其局部放大圖，其中圖6(a)為在其它維度參數(shù)值為零時，狀態(tài)變量車輪與轉(zhuǎn)子垂向速度、車輪與轉(zhuǎn)子垂向位移兩個維度的截面圖，圖6 (b) 為其它維度參數(shù)值為零時，狀態(tài)變量車輪與轉(zhuǎn)子垂向速度、車身垂向速度兩個維度的截面圖，圖6(c) 為其它維度參數(shù)值為零時，狀態(tài)變量車輪與轉(zhuǎn)子垂向位移、車身垂向位移兩個維度的截面圖。由圖6可以看出截面分區(qū)關(guān)于原點(diǎn)對稱，且多面體在零附近區(qū)域相對比較集中，滿足控制要求。

圖6 參數(shù)分區(qū)截面圖Fig.6 Parameter partition sections

經(jīng)過上述求解，得到狀態(tài)參數(shù)的所有分區(qū)，以及對應(yīng)分區(qū)上最優(yōu)控制量與初始狀態(tài)的顯式函數(shù)關(guān)系，建立顯式多面體PPWA系統(tǒng)，通過在線搜索，進(jìn)一步快速有效的根據(jù)當(dāng)前定位分區(qū)和PPWA系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)最優(yōu)控制。

3 仿真結(jié)果分析

為評價HM-AS系統(tǒng)的控制性能，將本文所提EMPC控制方法與被動懸架、運(yùn)用天棚控制策略的主動懸架進(jìn)行對比，由于系統(tǒng)中引入了輪轂電機(jī)，其高頻振動會影響系統(tǒng)的振動特性，因此，選取車身垂向加速度、輪胎動載荷和輪轂電機(jī)偏心距作為評價指標(biāo)，并通過仿真試驗(yàn)驗(yàn)證所提EMPC控制方法的有效性。在EMPC控制器中將預(yù)測時域設(shè)置為10，控制時域設(shè)置為2，采樣時刻設(shè)置為0.05 s，通過對不同加權(quán)參數(shù)的EMPC控制器進(jìn)行反復(fù)性能比較，得到了滿意的控制效果。

3.1 時域分析

分別對車身垂向加速度、輪胎動載荷和輪轂電機(jī)偏心距進(jìn)行分析，仿真結(jié)果如圖7所示。HM-AS系統(tǒng)性能均方根值對比，如表1所示。

(a) 車身垂向加速度

(b) 輪胎動載荷

(c) 輪轂電機(jī)偏心距圖7 EMPC控制效果對比Fig.7 EMPC control effect comparison

表1 HM-AS系統(tǒng)性能均方根值對比Tab.1 Comparison of root mean square values of HM-AS system performance

從圖7和表1中可知，HM-AS系統(tǒng)通過顯式模型預(yù)測控制，降低了車身垂向加速度、輪胎動載荷和輪轂電機(jī)偏心距的RMS值，相較于被動懸架分別降低了28.02%、27.85%和23.44% ，相較于運(yùn)用天棚控制策略的主動懸架分別降低了16.50%、20.09%和18.46%。因此，所提EMPC控制方法改善了車輛行駛平順性、操縱穩(wěn)定性和輪轂電機(jī)性能，驗(yàn)證了所提控制方法的有效性。

3.2 頻域分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證所提EMPC控制方法的性能，通過仿真試驗(yàn)對車身垂向加速度、輪胎動載荷和輪轂電機(jī)偏心距進(jìn)行頻域分析，仿真結(jié)果如圖8所示。

(a) 車身垂向加速度頻域響應(yīng)

(b) 輪胎動載荷頻域響應(yīng)

(c) 輪轂電機(jī)偏心距頻域響應(yīng)圖8 EMPC控制效果功率譜密度對比Fig.8 Comparison of power spectral density of EMPC

從圖8中可知，采用本文所提EMPC控制方法的HM-AS系統(tǒng)，車身垂向加速度和輪轂電機(jī)偏心距功率譜密度在低高頻均低于被動懸架和運(yùn)用天棚控制策略的主動懸架的功率譜密度，能夠有效改善車身垂向加速度和輪轂電機(jī)偏心距，明顯提升行駛舒適性、平順性和輪轂電機(jī)性能；輪胎動載荷功率譜密度在中低頻均低于被動懸架和運(yùn)用天棚控制策略的主動懸架的功率譜密度，在一定程度上提升了操縱穩(wěn)定性。驗(yàn)證了所提EMPC控制方法的有效性。

4 結(jié) 論

本文分析輪轂電機(jī)、空氣懸架和車輪間的作用機(jī)理，建立了四自由度HM-AS系統(tǒng)模型。基于多參數(shù)二次規(guī)劃理論，以改善車身垂向加速度、輪胎動載荷和輪轂電機(jī)偏心距為目標(biāo)，提出一種基于系統(tǒng)模型的主動懸架EMPC控制策略，將MPC反復(fù)在線計(jì)算的閉環(huán)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的PPWA系統(tǒng)，離散計(jì)算獲得車身垂向速度、車身垂向位移等狀態(tài)變量間的最優(yōu)控制律，并依據(jù)分區(qū)的顯式最優(yōu)控制律實(shí)現(xiàn)HM-AS系統(tǒng)的最優(yōu)控制，顯著提升了HM-AS系統(tǒng)的實(shí)時性。通過仿真分析，所提出的顯式模型預(yù)測控制方法顯著提升了車輛主動懸架的性能：在時域內(nèi)，有效減小車身垂向加速度、降低車輪動載荷和輪轂電機(jī)偏心距；在頻域內(nèi)，有效降低車身垂向加速度、車輪動載荷和輪轂電機(jī)偏心距的功率譜密度，充分改善了車輛行駛平順性、操縱穩(wěn)定性和輪轂電機(jī)性能，仿真分析驗(yàn)證了所提EMPC控制方法的有效性。