王 鵬， 楊紹普， 劉永強(qiáng)， 董旭峰， 趙義偉

(1.石家莊鐵道大學(xué) 省部共建交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，石家莊 050043；2.石家莊鐵道大學(xué) 交通運(yùn)輸學(xué)院，石家莊 050043； 3.大連理工大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，大連 116024)

磁流變彈性體(magnetorheological elastomers，MRE)是一種磁敏智能材料，由彈性基體、磁性顆粒和添加劑組成[1]，具有良好的磁流變效應(yīng)。與磁流變液相比，磁流變彈性體由于沒有顆粒沉降而具有穩(wěn)定的力學(xué)和磁流變性能，在調(diào)諧阻尼器、節(jié)點(diǎn)襯套、變剛度懸架等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景[2-3]。

目前，對(duì)磁流變彈性體力學(xué)性能的研究主要從微觀和宏觀兩個(gè)方面進(jìn)行。基于磁偶極子理論提出了微本構(gòu)模型，主要描述了磁流變效應(yīng)的機(jī)理以及磁致伸縮模量與各種因素之間的關(guān)系。Jolly等[4]建立了磁偶極子模型，該模型假設(shè)磁相互作用僅存在于鏈內(nèi)相鄰粒子之間。Davis[5]基于有限元分析計(jì)算剪切模量，假設(shè)顆粒均勻地排列成一條長(zhǎng)鏈，提出了鏈狀模型。但鏈狀模型忽略了顆粒分布不均勻性對(duì)磁流變效應(yīng)的影響。此后，一些學(xué)者又提出了三維結(jié)構(gòu)模型，如柱模型和網(wǎng)格模型。Chen等[6]基于MRE微觀形貌掃描照片的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)建立了有限柱模型。Zhang等[7]針對(duì)兩種特定的顆粒分布模式(點(diǎn)陣型和體心型)提出了一種網(wǎng)格計(jì)算模型。三維結(jié)構(gòu)模型雖然能夠精細(xì)地反映磁性顆粒在MRE中的分布結(jié)構(gòu)，但通常構(gòu)造復(fù)雜。

為使磁流變彈性體應(yīng)用于工程實(shí)際，還需要可以描述其宏觀力學(xué)行為的力學(xué)模型。宏觀力學(xué)模型應(yīng)綜合考慮外加磁場(chǎng)、激勵(lì)幅值以及加載頻率等對(duì)MRE力學(xué)性能的影響。Li等[8]提出了四參數(shù)線性黏彈性模型預(yù)測(cè)MRE的力學(xué)特性，但該模型不能有效地描述MRE的非線性滯后特性。Kari等[9]認(rèn)為大應(yīng)變下MRE滯回曲線的平行四邊形特征是由磁性顆粒與基體之間的摩擦引起的，故采用庫倫摩擦模型描述此現(xiàn)象。然而，包含庫侖摩擦單元的模型不能準(zhǔn)確反映加載過程中切線模量的逐漸變化規(guī)律。作為描述磁滯回線的經(jīng)典模型，Bouc-Wen模型已被廣泛用于描述與磁場(chǎng)相關(guān)的非線性磁滯系統(tǒng)。Dominguez等[10]將磁流變阻尼器的勵(lì)磁電流引入Bouc-Wen模型，并考慮了電流變化對(duì)磁流變阻尼器機(jī)械性能的影響。Yang等[11]建立了Bouc-Wen模型來描述MRE隔離器的機(jī)械特性，該模型能夠準(zhǔn)確描述MRE隔離器的滯后特性。趙義偉等[12]針對(duì)非識(shí)別激勵(lì)工況下模型預(yù)測(cè)的阻尼力誤差較大問題，提出了一種描述滯回特性的改進(jìn)Bouc-Wen模型。Wang等[13]考慮了MRE的非線性、頻率依賴性，提出了基于Bouc-Wen的磁流變彈性體非線性本構(gòu)模型。上述Bouc-Wen模型能夠準(zhǔn)確模擬MRE的力學(xué)行為。

Bouc-Wen模型的參數(shù)辨識(shí)方法很多，可分為兩大類。一類是通過分析Bouc-Wen模型的強(qiáng)迫極限環(huán)特征來識(shí)別參數(shù)。Wang使用Bouc-Wen模型再現(xiàn)了隔振器的遲滯力學(xué)特性，并利用極限環(huán)方法識(shí)別了模型參數(shù)[14]。Rodriguez等[15]用Bouc-Wen模型研究磁流變阻尼器動(dòng)態(tài)力學(xué)性能，通過分析強(qiáng)迫極限環(huán)特征對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行識(shí)別。極限環(huán)方法使用多個(gè)單獨(dú)的數(shù)據(jù)點(diǎn)來識(shí)別模型參數(shù)，這使得結(jié)果受到數(shù)據(jù)噪聲的影響，并且對(duì)試驗(yàn)采樣頻率有很高的要求。另一種是采用具有適當(dāng)適應(yīng)度函數(shù)的數(shù)值優(yōu)化算法。該方法采用不同的數(shù)值優(yōu)化算法來識(shí)別多個(gè)參數(shù)。劉永強(qiáng)等[16]采用遺傳算法對(duì)磁流變阻尼器Bouc-Wen模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，并采用縮小參數(shù)取值范圍的方法逐漸提高遺傳算法的識(shí)別精度。Giuclea等[17]提出了一種改進(jìn)的Bouc-Wen動(dòng)力學(xué)模型，通過遺傳算法獲得模型參數(shù)。隨后，Charalampakis等[18]采用混合進(jìn)化算法對(duì)Bouc-Wen滯回系統(tǒng)進(jìn)行辨識(shí)。由于數(shù)值優(yōu)化算法的應(yīng)用，結(jié)果很容易陷入局部最優(yōu)解。此外，該方法忽略了模型參數(shù)的物理意義。

在本研究中，采用Bouc-Wen模型定量地描述MRE的力學(xué)特性。分析了模型參數(shù)與應(yīng)變幅值、頻率和磁場(chǎng)之間的耦合關(guān)系，提出了多工況參數(shù)識(shí)別方法，得到了Bouc-Wen模型的參數(shù)表達(dá)式。最后，利用識(shí)別和非識(shí)別工況下MRE的試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)模型識(shí)別結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，證明了多工況參數(shù)識(shí)別方法的有效性。

1 MRE制備及性能測(cè)試

選用天然橡膠(natural rubber，NR)、羰基鐵粉(carbonyl iron particles，CIP)和添加劑作為原材料，通過塑煉、混合和硫化等工藝制備了CIP質(zhì)量分?jǐn)?shù)80%的各向同性MRE樣品。CIP平均粒徑5.5 μm，使用的添加劑主要有硬脂酸(Stearic Acid，SA)、氧化鋅(ZnO)、促進(jìn)劑(CZ)、防老劑(RD)、防老劑(4010NA)、古馬隆樹脂和硫磺(S)，MRE成分配比，如表1所示。

表1 MRE成分配比Tab.1 The composition ratio of MRE sample

采用Physica MCR301流變儀(Anton Paar，奧地利)對(duì)MRE進(jìn)行動(dòng)態(tài)性能試驗(yàn)。測(cè)試時(shí)，首先將試件放置于下平臺(tái)的中心，隨后上部轉(zhuǎn)子向下運(yùn)動(dòng)直至與試件上表面接觸，并施加法向力(3 N)使試件與上下極板緊密貼合，防止試件發(fā)生滑動(dòng)。旋轉(zhuǎn)流變儀通過改變線圈電流實(shí)現(xiàn)在平行板系統(tǒng)上施加不同的磁場(chǎng)，上部轉(zhuǎn)子按照設(shè)定程序施加平行于試件的旋轉(zhuǎn)剪切應(yīng)變激勵(lì)，并由內(nèi)部精密傳感器測(cè)定試件反饋的應(yīng)力，經(jīng)過儀器控制軟件計(jì)算得到所需結(jié)果。在振蕩剪切測(cè)試模式下，每個(gè)正弦應(yīng)變加載周期內(nèi)軟件可記錄257個(gè)應(yīng)力應(yīng)變數(shù)據(jù)點(diǎn)，根據(jù)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)繪制每個(gè)正弦應(yīng)變加載周期內(nèi)的應(yīng)力應(yīng)變曲線。在正弦剪切應(yīng)變激勵(lì)下測(cè)試了MRE在不同應(yīng)變幅值、頻率和磁場(chǎng)條件下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，試驗(yàn)工況如表2所示。圖1為旋轉(zhuǎn)流變儀、試件及測(cè)試示意圖，其中試件為直徑20 mm，厚度1 mm的MRE圓片。

表2 MRE測(cè)試工況Tab.2 MRE test conditions

圖1 旋轉(zhuǎn)流變儀、試件及測(cè)試示意圖Fig.1 Rotary rheometer, specimen and schematic of the measuring system

2 MRE力學(xué)模型及其驗(yàn)證

2.1 Bouc-Wen模型

MRE具有明顯的非線性滯后特性，線性黏彈性參數(shù)模型不能模擬MRE磁滯回線的平行四邊形特性。作為描述磁滯回線的經(jīng)典模型，Bouc-Wen模型能夠很好地模擬這一特性，特別是在大應(yīng)變幅值下。Yang等首先利用Bouc-Wen模型擬合MRE隔離器的力-位移關(guān)系，該模型由Bouc-Wen滯回算子、彈簧和阻尼元件并聯(lián)組成，如圖2所示。Bouc-Wen模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，通用性強(qiáng)，且能夠很好地模擬滯回特性。本文采用Bouc-Wen模型來模擬MRE的力學(xué)特性?？刂品匠虨?/p>

(1)

(2)

圖2 Bouc-Wen模型Fig.2 The modified Bouc-Wen model

式中：k表示彈性系數(shù);c表示黏性系數(shù);參數(shù)z為中間變量;α介于0～1之間，表征模型的線性程度;A、n、β、γ是無量綱參數(shù)，共同決定了滯回曲線的形狀和大小。

由于Bouc-Wen模型存在微分項(xiàng)，采用傳統(tǒng)方法數(shù)值仿真較困難，根據(jù)控制方程在Simulink軟件中建立了仿真模型。

2.2 GA-PSO混合算法

粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization，PSO)是假設(shè)在D維的搜索空間中，有M個(gè)粒子構(gòu)成一個(gè)群體，當(dāng)前的迭代次數(shù)記為λ，粒子當(dāng)前位置記為Xi，當(dāng)前飛行速度記為Vi，粒子當(dāng)前最優(yōu)位置記為qi，粒子群當(dāng)前最優(yōu)位置記為g。每個(gè)粒子的位置就是一個(gè)潛在的解，代入目標(biāo)函數(shù)L計(jì)算適應(yīng)值，根據(jù)適應(yīng)值大小衡量解的優(yōu)劣。第i個(gè)粒子最優(yōu)位置更新

qi(λ+1)=

(3)

粒子群當(dāng)前最優(yōu)位置由下式確定

L[g(λ)]=min{L[q1(λ)],…,L[qm(λ)]}

(4)

粒子在搜索空間中的速度更新公式

vij(λ+1)=ηvij(λ)+d1r1[qij(λ)-xij(λ)]+

d2r2[gj(λ)-xij(λ)]

(5)

粒子在搜索空間中的位置更新公式

xij(λ+1)=xij(λ)+vij(λ+1)

(6)

其中，i=[1,2,…,M]，j=[1,2,…,D]；η表示慣性權(quán)重；d1和d2是加速常數(shù)；r1和r2為0～1內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。設(shè)定粒子的速度區(qū)間(vmin，vmax)，位置范圍(xmin，xmax)，如果超出范圍則取邊界值。

PSO算法具有較好的優(yōu)化能力，但局部搜索性能較差，導(dǎo)致后期收斂速度減慢，產(chǎn)生不準(zhǔn)確的結(jié)果。遺傳算法(genetic algorithm，GA)作為一種基于概率的優(yōu)化方法，能夠自適應(yīng)地調(diào)整搜索方向，具有出色的局部搜索能力，但優(yōu)化過程耗時(shí)且對(duì)種群初始化敏感。GA和PSO算法結(jié)合使用，既改善了GA算法易陷入局部極值、運(yùn)算速度慢的缺點(diǎn)，又提高了PSO算法的運(yùn)算精度[19]。因此，采用GA-PSO混合算法對(duì)Bouc-Wen模型參數(shù)進(jìn)行識(shí)別。首先初始化粒子群種群，然后計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)度值。根據(jù)粒子適應(yīng)度值更新個(gè)體最優(yōu)位置和群體最優(yōu)位置。在PSO迭代產(chǎn)生新一代個(gè)體后，再通過遺傳操作(交叉和變異)將當(dāng)前種群進(jìn)行更新[20]。設(shè)置慣性權(quán)重η=1，加速常數(shù)d1=d2=3.5，粒子數(shù)M=36，迭代次數(shù)400，染色體編碼長(zhǎng)度7，交叉概率0.7，變異概率0.3。利用Liu等[21]提出的誤差計(jì)算公式作為參數(shù)識(shí)別的目標(biāo)函數(shù)L，公式如下：

(7)

MRE力學(xué)模型的參數(shù)識(shí)別是一個(gè)最小化目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化過程。流程圖如圖3所示。

圖3 基于GA-PSO算法的參數(shù)識(shí)別流程Fig.3 Flowchart of Hybrid GA-PSO algorithm

2.3 MRE力學(xué)模型驗(yàn)證

分析Bouc-Wen模型能否準(zhǔn)確表征不同工況下MRE的力學(xué)特性。利用GA-PSO優(yōu)化算法和MRE試驗(yàn)數(shù)據(jù)，按照識(shí)別流程進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。

(1) 磁感應(yīng)強(qiáng)度為0，應(yīng)變頻率為1 Hz，不同應(yīng)變幅值下，MRE的仿真與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，如圖4所示，吻合率如表3所示。

(a)

(b)圖4 不同應(yīng)變幅值下的仿真與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.4 Simulation data and test data under different amplitudes

由圖4可知，隨著應(yīng)變幅值增加，MRE的滯回環(huán)形狀由傾斜的橢圓逐漸演變成兩頭尖的橄欖形，進(jìn)一步發(fā)展呈現(xiàn)出平行四邊形特征，而整個(gè)變化過程中仿真曲線與試驗(yàn)曲線均吻合較好。需要指出的是，當(dāng)應(yīng)變幅值為15.80%和29.3%時(shí)，試驗(yàn)曲線有部分重疊，而仿真曲線未出現(xiàn)重疊，這一現(xiàn)象是因?yàn)镸RE的儲(chǔ)能模量會(huì)隨著應(yīng)變幅值增加會(huì)快速下降，所以試驗(yàn)曲線出現(xiàn)了重疊；對(duì)于仿真曲線而言，擬合精度與選取的MRE力學(xué)模型有關(guān)，也和參數(shù)識(shí)別結(jié)果有關(guān)，所以仿真得到的滯回曲線并未出現(xiàn)重疊現(xiàn)象，但是整體變化趨勢(shì)與試驗(yàn)曲線保持一致。說明Bouc-Wen模型可以準(zhǔn)確描述MRE非線性滯回特性，反映黏彈性隨應(yīng)變幅值的變化規(guī)律。

(2) 磁感應(yīng)強(qiáng)度為405 mT，應(yīng)變幅值為0.40%，不同應(yīng)變頻率下，MRE的仿真與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，如圖5(a)所示，吻合率見表3。

由圖5(a)可知，磁流變彈性體的動(dòng)態(tài)黏彈性對(duì)加載頻率有一定的依賴性。隨著應(yīng)變頻率增加，試驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制的滯回環(huán)的斜率和面積均不斷變大。四種應(yīng)變頻率下仿真數(shù)據(jù)很好地反映了這一力學(xué)特性，且與試驗(yàn)結(jié)果吻合良好。說明Bouc-Wen模型能有效追蹤滯回環(huán)隨頻率的變化規(guī)律。

(a) 不同頻率

(b) 不同磁感應(yīng)強(qiáng)度圖5 仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.5 Comparison of the numerical and test results

(3) 應(yīng)變幅值為2.51%，應(yīng)變頻率為1 Hz時(shí)，不同磁感應(yīng)強(qiáng)度下，MRE的仿真與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，如圖5(b)所示，吻合率見表3。

表3 Bouc-Wen模型參數(shù)識(shí)別結(jié)果及吻合率Tab.3 Identification values of the Bouc-Wen model parameters and fitness values

由圖5(b)可知，隨著磁感應(yīng)強(qiáng)度的增加，試驗(yàn)數(shù)據(jù)的滯回環(huán)包圍的面積與對(duì)角線斜率逐漸變大，即MRE的動(dòng)態(tài)黏彈性具有磁場(chǎng)依賴性，不同磁場(chǎng)下仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合效果較好，二者滯回曲線差異不大。此外，對(duì)于試驗(yàn)值，磁感應(yīng)強(qiáng)度由456 mT增大到545 mT時(shí)滯回環(huán)的最大應(yīng)力值的增長(zhǎng)幅度明顯小于磁場(chǎng)強(qiáng)度增長(zhǎng)初期時(shí)滯回環(huán)最大應(yīng)力值的增長(zhǎng)幅度，這是MRE磁致模量增加接近磁場(chǎng)飽和引起的；圖中可以看出仿真數(shù)據(jù)的滯回曲線同樣準(zhǔn)確地反映了MRE磁致黏彈性的磁場(chǎng)飽和特性。說明Bouc-Wen模型可以準(zhǔn)確反映磁流變效應(yīng)對(duì)MRE力學(xué)性能的影響。

3 多工況參數(shù)識(shí)別方法

Bouc-Wen模型共有7個(gè)參數(shù)，若每次應(yīng)用模型時(shí)均要對(duì)7個(gè)目標(biāo)參數(shù)尋找最優(yōu)結(jié)果，不僅影響模型使用的便捷性，且很難保證優(yōu)化結(jié)果的一致性。因此，需要提供確定MRE力學(xué)模型參數(shù)的識(shí)別方法。

3.1 參數(shù)耦合關(guān)系分析

(8)

(9)

將式(8)代入式(9)可得：

(10)

進(jìn)一步分析，當(dāng)應(yīng)變頻率和磁場(chǎng)相同時(shí)，將應(yīng)變幅值1.36%工況得到的參數(shù)識(shí)別結(jié)果用于預(yù)測(cè)其他應(yīng)變幅值(2.51%、4.64%、8.57%、15.8%、29.3%)工況，發(fā)現(xiàn)仿真值與試驗(yàn)值擬合誤差較大，即單一應(yīng)變幅值工況得出的識(shí)別結(jié)果不能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)其他幅值工況的滯回環(huán)。同樣，將其他應(yīng)變幅值(2.51%、4.64%、8.57%、15.8%、29.3%)工況的參數(shù)識(shí)別結(jié)果用于預(yù)測(cè)應(yīng)變幅值1.36%工況時(shí)，仿真值與試驗(yàn)值吻合度也較低，說明Bouc-Wen模型參數(shù)與應(yīng)變幅值存在耦合。

圖6(a)為磁感應(yīng)強(qiáng)度0，應(yīng)變頻率1 Hz時(shí)，不同應(yīng)變幅值下的MRE試驗(yàn)數(shù)據(jù)的滯回曲線。由圖可知，隨著應(yīng)變幅值增加，滯回曲線的等效剛度(滯回曲線對(duì)角線斜率)不斷減小，滯回曲線的等效阻尼(滯回曲線的面積來表征[22])不斷增大，而參數(shù)k表示彈性系數(shù)，c表示黏性系數(shù)，也從另一側(cè)面反映出參數(shù)k、c與應(yīng)變幅值相關(guān)。

圖6(b)表示應(yīng)變頻率為1 Hz，應(yīng)變幅值為2.51%時(shí)，不同磁感應(yīng)強(qiáng)度下MRE試驗(yàn)數(shù)據(jù)滯回曲線。由圖可知，不同磁感應(yīng)強(qiáng)度下，滯回曲線的形狀基本保持不變，可近似視為滯回曲線形狀不隨磁場(chǎng)改變而改變，而滯回曲線的形狀由參數(shù)A、γ、β、n共同調(diào)控，所以參數(shù)A、γ、β、n受磁場(chǎng)影響較小，此處不再考慮其與磁場(chǎng)之間的耦合關(guān)系。此外，隨著磁感應(yīng)強(qiáng)度的增加，滯回曲線的等效剛度和等效阻尼不斷增大，說明參數(shù)k、c與磁場(chǎng)存在耦合。參數(shù)α影響滯回曲線的線性程度，與滯回曲線的剛度、阻尼相關(guān)，因此與磁場(chǎng)存在一定的函數(shù)關(guān)系。

(a) 不同應(yīng)變幅值

(b) 不同磁感應(yīng)強(qiáng)度圖6 MRE應(yīng)力應(yīng)變的試驗(yàn)數(shù)據(jù)Fig.6 Test results of MRE stress and strain

綜上分析，Bouc-Wen模型參數(shù)與頻率、幅值及磁場(chǎng)存在耦合。與頻率相關(guān)的參數(shù)有c；與幅值相關(guān)的參數(shù)有k、c、α、A、γ、β、n；與磁場(chǎng)相關(guān)的參數(shù)有k、c、α。

3.2 模型參數(shù)識(shí)別過程

上節(jié)分析可知，Bouc-Wen模型參數(shù)同時(shí)與多個(gè)因素存在耦合，要將所有的耦合關(guān)系量化表示難度較大。為了降低參數(shù)識(shí)別難度，本文對(duì)參數(shù)耦合關(guān)系進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化，提出了多工況參數(shù)識(shí)別方法。

基本思想是：在整個(gè)識(shí)別過程中忽略磁場(chǎng)和應(yīng)變頻率對(duì)α的影響；同時(shí)先不考慮應(yīng)變頻率對(duì)k、c的影響，即在任一應(yīng)變頻率下探尋模型參數(shù)與幅值、磁場(chǎng)的函數(shù)關(guān)系；再結(jié)合應(yīng)變頻率對(duì)k、c的影響，對(duì)其參數(shù)表達(dá)式進(jìn)行適當(dāng)修正，以提高不同應(yīng)變頻率下的擬合精度。具體步驟如下：

(1) 應(yīng)變頻率為1 Hz時(shí)，對(duì)25種工況(應(yīng)變幅值取1.36%、2.51%、4.64%、8.57%、15.8%；磁場(chǎng)取0、115 mT、234 mT、456 mT、545 mT)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行第一次參數(shù)識(shí)別，得到kij、cij、αij、Aij、γij、βij、nij；i表示幅值，j表示磁場(chǎng)。

(6) 結(jié)合頻率f對(duì)參數(shù)k和c的影響，對(duì)參數(shù)k和c的表達(dá)式進(jìn)行修正，得到[k,c]=F3(f)·F2(xm,B)。

根據(jù)上述過程，利用步驟(1)中25種工況的試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)Bouc-Wen模型進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，分別得到第一次識(shí)別結(jié)果見表4，第二次識(shí)別結(jié)果見表5。此處需要指出的是在B=0，f=1 Hz時(shí)，應(yīng)變幅值變化下表3和表4中數(shù)據(jù)是先后進(jìn)行兩次不同的識(shí)別得到的結(jié)果，可以看出數(shù)據(jù)的吻合率相差不大，但數(shù)值不同，這也從側(cè)面印證了不同的識(shí)別過程盡管擬合誤差相近，但很難保證優(yōu)化結(jié)果一致。因此，研究MRE力學(xué)模型參數(shù)的識(shí)別方法是非常必要的。

表4 Bouc-Wen模型參數(shù)第一次識(shí)別結(jié)果Tab.4 First identification values of the Bouc-Wen model parameters

表5 Bouc-Wen模型參數(shù)第二次識(shí)別結(jié)果Tab.5 Second identification values of the Bouc-Wen model parameters

根據(jù)表4中不同應(yīng)變幅值下參數(shù)α、A、γ、β、n的均值，利用Matlab軟件的曲線擬合工具箱確定參數(shù)α、A、γ、β、n與應(yīng)變幅值xm的函數(shù)關(guān)系。參數(shù)表達(dá)式如式(11)所示，擬合結(jié)果如圖7所示。

0.184 8xm+0.713 9

12.23xm+38.73

0.243 2xm+0.826 9

(11)

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)圖7 Bouc-Wen模型參數(shù)擬合結(jié)果Fig.7 Fitting results of Bouc-Wen model parameters

根據(jù)表5，確定參數(shù)k、c與應(yīng)變幅值xm和磁感應(yīng)強(qiáng)度B的函數(shù)關(guān)系。參數(shù)表達(dá)式如式(12)所示，擬合結(jié)果如圖8所示。

9.898×10-9xmB3-1.718×10-11B4

(12)

(a)

(b)圖8 Bouc-Wen模型參數(shù)k、c擬合結(jié)果Fig.8 Fitting results of Bouc-Wen model parameters k, c

選取應(yīng)變幅值2.51%，利用式(11)計(jì)算參數(shù)α、A、γ、β、n，得到的結(jié)果帶入Bouc-Wen模型，使模型只剩余未知參數(shù)k、c。再利用磁感應(yīng)強(qiáng)度234 mT，應(yīng)變幅值2.51%，頻率分別為0.5 Hz、1 Hz、3 Hz、5 Hz的試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)參數(shù)k、c進(jìn)行二次識(shí)別，表6為不同頻率下參數(shù)k、c的識(shí)別結(jié)果(各頻率工況的絕對(duì)值除以1 Hz工況的絕對(duì)值即為相對(duì)值)。

表6 不同頻率下參數(shù)k和c識(shí)別結(jié)果Tab.6 Identification values of the parameters k and c under different frequencies

由表6中參數(shù)k、c的相對(duì)值，確定參數(shù)k、c關(guān)于應(yīng)變頻率f的函數(shù)表達(dá)式

Fk(f)=-0.246 5f3+2.077f2-4.465f+3.634

Fc(f)=-0.336 9f3+3.046f2-8f+6.29

(13)

再利用式(13)對(duì)式(12)進(jìn)行修正，得參數(shù)k、c關(guān)于應(yīng)變幅值xm、應(yīng)變頻率f、磁感應(yīng)強(qiáng)度B的函數(shù)表達(dá)式為

k(xm,B,f)=Fk(f)×(9.687-4.779xm-3.034×

5.004×10-6xmB2-1.064×10-7B3+2.748×

5.354×10-9xmB3)

c(xm,B,f)=Fc(f)×(7.073-1.305xm-5.492×

9.197×10-6xmB2-1.249×10-7B3+1.854×

1.718×10-11B4)

(14)

4 參數(shù)識(shí)別結(jié)果驗(yàn)證

分析Bouc-Wen模型的仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的吻合情況，驗(yàn)證多工況參數(shù)識(shí)別方法所得結(jié)果的正確性。

4.1 識(shí)別工況下驗(yàn)證

對(duì)應(yīng)變頻率1 Hz，不同應(yīng)變幅值(1.36%、2.51%、4.64%、8.57%、15.8%)和不同磁場(chǎng)(0、115 mT、234 mT、456 mT、545 mT)的25種識(shí)別工況，仿真與試驗(yàn)結(jié)果的吻合率見表7，曲線對(duì)比見圖9。

表7 識(shí)別工況下仿真和試驗(yàn)結(jié)果的吻合率Tab.7 Fitness values of the numerical and test results

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)圖9 識(shí)別工況下仿真和試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比(f=1 Hz)Fig.9 Comparison of the numerical and test results under identification conditions (f=1 Hz)

由圖11和表7可知，無論是不同幅值，還是不同磁感應(yīng)強(qiáng)度下，仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的吻合率都高于93.2%，模型仿真的滯回曲線能準(zhǔn)確模擬MRE的力學(xué)特性，說明參數(shù)識(shí)別結(jié)果對(duì)識(shí)別工況試驗(yàn)數(shù)據(jù)有效。

4.2 非識(shí)別工況下驗(yàn)證

利用非識(shí)別工況的MRE試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)Bouc-Wen模型參數(shù)識(shí)別結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證。

對(duì)于磁感應(yīng)強(qiáng)度234 mT時(shí)，應(yīng)變幅值1.36%、4.64%，應(yīng)變頻率分別取0.5 Hz、3 Hz、5 Hz的試驗(yàn)工況；以及磁感應(yīng)強(qiáng)度115 mT時(shí)，應(yīng)變幅值取1.36%、2.51%、4.64%，應(yīng)變頻率分別為0.5 Hz、3 Hz、5 Hz的試驗(yàn)工況，仿真與試驗(yàn)結(jié)果的吻合率見表8，曲線對(duì)比見圖10。

表8 非識(shí)別工況下仿真和試驗(yàn)結(jié)果的吻合率Tab.8 Fitness values of the numerical and test results

由圖10和表8可知，不同應(yīng)變幅值、頻率和磁感應(yīng)強(qiáng)度作用下，仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的滯回曲線吻合良好，說明預(yù)測(cè)模型能夠準(zhǔn)確的模擬MRE滯回特性。由表8數(shù)據(jù)可知，各工況的吻合率均保持在94%以上，說明參數(shù)識(shí)別結(jié)果正確，證明了本文提出的多工況參數(shù)識(shí)別方法的有效性。

(a) 磁場(chǎng)B=234 mT，幅值xm=1.36%

(b) 磁場(chǎng)B=234 mT，幅值xm=4.64%

(c) 磁場(chǎng)B=115 mT，幅值xm=2.51%

(d) 磁場(chǎng)B=115 mT，幅值xm=1.36%

(e) 磁場(chǎng)B=115 mT，幅值xm=4.64%圖10 非識(shí)別工況下仿真和試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.10 Comparison of simulation and test results under non identification conditions

5 結(jié) 論

本文采用工業(yè)煉膠方法制備了CIP質(zhì)量分?jǐn)?shù)80%各向同性的天然橡膠基MRE，利用流變儀在正弦剪切應(yīng)變激勵(lì)對(duì)MRE進(jìn)行了測(cè)試。采用Bouc-Wen模型來表征MRE的非線性滯回特性，試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了模型的有效性。分析了Bouc-Wen模型參數(shù)與應(yīng)變幅值、頻率和磁場(chǎng)的耦合關(guān)系分析，提出了多工況參數(shù)識(shí)別方法，將仿真值與試驗(yàn)值之間的誤差作為目標(biāo)函數(shù)，利用GA-PSO混合算法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行識(shí)別，采用多種應(yīng)變幅值、頻率和磁場(chǎng)下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)識(shí)別結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)論如下：

(1) Bouc-Wen模型能夠準(zhǔn)有效擬不同應(yīng)變幅值、頻率和磁場(chǎng)下磁流變彈性體的力學(xué)特性。在磁感應(yīng)強(qiáng)度0～545 mT，應(yīng)變幅值0.04%～15.8%，應(yīng)變頻率 0.5～5 Hz的加載工況，模型的擬合精度較高，可以準(zhǔn)確描述MRE非線性滯回特性，反映MRE的動(dòng)態(tài)黏彈性隨著應(yīng)變幅值的變化規(guī)律，追蹤滯回環(huán)隨著頻率的變化趨勢(shì)，以及磁致黏彈性的磁場(chǎng)飽和特性。

(2) 提出了多工況參數(shù)識(shí)別方法，得到了Bouc-Wen模型參數(shù)表達(dá)式，量化了參數(shù)與影響因素之間的關(guān)系。識(shí)別和非識(shí)別工況下Bouc-Wen模型仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的吻合率均高于93%，證明了多工況參數(shù)識(shí)別方法的有效性，該方法不限于所使用的Bouc-Wen模型，可廣泛用于MRE其他力學(xué)模型的參數(shù)識(shí)別。