張雪康

摘要. 變量替換法是數(shù)學(xué)分析計(jì)算中的一種重要方法。為了進(jìn)一步幫助學(xué)生加深對(duì)該方法理解和應(yīng)用，本文利用適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q法，研究了函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)以及積分的運(yùn)算等問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：變量替換;數(shù)學(xué)分析

數(shù)學(xué)分析是安徽工程大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)本科專業(yè)最重要的一門基礎(chǔ)課，同時(shí)它也是同學(xué)們報(bào)考數(shù)學(xué)類專業(yè)碩士研究生的專業(yè)考試科目。其中，函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)以及積分的運(yùn)算等概念即是數(shù)學(xué)分析中的重要知識(shí)點(diǎn)，也是學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析這門課的基礎(chǔ)。這些知識(shí)點(diǎn)主要是通過(guò)定義的形式進(jìn)行闡述的，是比較抽象的。在這門課程的教學(xué)中，如果老師們僅僅只是給學(xué)生們講解、分析這些基本定義，學(xué)生們一般很難較為全面地掌握這些知識(shí)點(diǎn)。這勢(shì)必會(huì)給學(xué)生們學(xué)好數(shù)學(xué)分析這門課程帶來(lái)一定的困難。為了進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生對(duì)這些基本概念的理解和認(rèn)識(shí)，幫助他們?cè)鰪?qiáng)綜合運(yùn)用各種解題技巧和方法的能力，進(jìn)而提高他們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題以及解決問(wèn)題的能力，我們給出了部分具有代表性的例題，這些例題既具有基礎(chǔ)性又具有技巧性，這將有助于開(kāi)拓學(xué)生的解題思路，啟發(fā)學(xué)生的思維，不斷增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力和應(yīng)用能力。

變量替換法是數(shù)學(xué)分析計(jì)算中的一種重要方法。它主要針對(duì)的是一些結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜、變?cè)^多的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)引入一些新的變量進(jìn)行代換，來(lái)簡(jiǎn)化其結(jié)構(gòu)，以此來(lái)達(dá)到解決問(wèn)題的目的，是一種簡(jiǎn)便易用的計(jì)算方法。變量替換法通?？梢詾槲覀兒?jiǎn)化相應(yīng)的數(shù)學(xué)計(jì)算，降低計(jì)算的復(fù)雜度。為了幫助同學(xué)們更好地理解和掌握變量替換法，本文將通過(guò)一些具體實(shí)例，研究數(shù)學(xué)分析中的函數(shù)極限、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)以及積分運(yùn)算等問(wèn)題。筆者主要利用變量替換法構(gòu)造新的變量，將所研究的實(shí)例轉(zhuǎn)化為新的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，從而利用基本分析方法對(duì)新的數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行求解。為了更加清晰、直觀地體現(xiàn)我們的解題思路，我們不僅給出了每一個(gè)實(shí)例的具體分析思路，而且針對(duì)每一題題型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)也給出了詳細(xì)的計(jì)算過(guò)程。

數(shù)學(xué)分析中的極限、導(dǎo)數(shù)以及積分運(yùn)算等求解問(wèn)題的研究對(duì)象主要可分為含有一個(gè)自變量的函數(shù)和含有多個(gè)自變量的函數(shù)。若只含有一個(gè)自變量的函數(shù)，則稱之為一元函數(shù)。若含有多個(gè)自變量的函數(shù)，則稱之為多元函數(shù)。多元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣，它具有一元函數(shù)的許多性質(zhì)，但自變量的增加也導(dǎo)致了一些新的性質(zhì)出現(xiàn)，在講解這部分內(nèi)容時(shí)即要注意多元函數(shù)與一元函數(shù)的聯(lián)系，又要注意與一元函數(shù)的區(qū)別。對(duì)于多元函數(shù)的求解問(wèn)題，本文主要以二元函數(shù)為例，循序漸進(jìn)，深入講解，幫助學(xué)生熟練掌握二元函數(shù)的有關(guān)理論和方法，切實(shí)打好學(xué)生的數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)，從而進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)。

在本文中，筆者主要闡述變量替換法在極限、導(dǎo)數(shù)以及積分運(yùn)算中的應(yīng)用。我們精選了部分能夠反映極限、導(dǎo)數(shù)以及積分運(yùn)算等章節(jié)基本知識(shí)點(diǎn)和基本方法的典型例題，并給出了詳細(xì)的分析思路和解答過(guò)程，以此來(lái)進(jìn)一步突出變量替換法在數(shù)學(xué)分析解題中的重要應(yīng)用價(jià)值，最終能夠促進(jìn)學(xué)生綜合解題的能力的提升。下面，我們將給出一些具體實(shí)例。

一、變量替換法在函數(shù)極限中的應(yīng)用

極限是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，而且數(shù)學(xué)分析中幾乎所有的概念都可以借助極限來(lái)進(jìn)行定義。可以說(shuō)，數(shù)學(xué)分析的基本方法就是極限的方法。因此，極限對(duì)數(shù)學(xué)分析有著非常重要的作用。

例1.求.

分析：上述所求極限針對(duì)的是一個(gè)結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的一元函數(shù)，如果直接對(duì)其進(jìn)行求解，則計(jì)算過(guò)程將變得比較煩瑣冗長(zhǎng)。為簡(jiǎn)化其計(jì)算過(guò)程，我們采用變量替換法。通過(guò)觀察，不難發(fā)現(xiàn)，所求極限函數(shù)的分子與分母中都可以化簡(jiǎn)成為均含有和的函數(shù)。因此，先考慮變量替換。假設(shè)存在一個(gè)新的變量和一個(gè)大于0的常數(shù)，令變量等于，常數(shù)等于。那么，我們就可以很容易地將這個(gè)較為復(fù)雜的函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)分子分母均含有和的分?jǐn)?shù)表達(dá)形式。隨后，不難看出得到的分?jǐn)?shù)表達(dá)式的分子與分母均可因式分解，故利用因式分解法分別對(duì)表達(dá)式的分母和分子進(jìn)行因式化簡(jiǎn)。最后，利用消元法求其極限。具體步驟如下。

解：首先，對(duì)所求的極限函數(shù)作變量替換。假設(shè)存在一個(gè)新的變量和一個(gè)大于0的常數(shù)，使得變量等于，常數(shù)等于。那么，變量趨近于常數(shù)這個(gè)條件等價(jià)為變量趨近于。則原式等于<<Eqn00108.wmf>>。由函數(shù)的分子可分解為與兩個(gè)函數(shù)的乘積，分母可分解為與兩個(gè)函數(shù)的乘積。上述極限函數(shù)的分子分母同時(shí)除以共同的因子，可將上式轉(zhuǎn)化為。最后，計(jì)算當(dāng)趨近于時(shí)，可得函數(shù)所求函數(shù)的極限為根號(hào)下除以1除以根號(hào)下與的乘積。最后，將等于代入上述所得到的極限可得該函數(shù)的極限為2倍根號(hào)分之一，即。

上述主要利用了變量替換法和消元法了研究了一元函數(shù)的極限求解問(wèn)題。為了讓同學(xué)們能夠清晰直觀地看出多元函數(shù)極限求解與一元函數(shù)極限求解之間的聯(lián)系，我們計(jì)算了下面的二元函數(shù)的極限。

例2. 求

分析：該題考慮的是對(duì)一個(gè)二元函數(shù)求極限的問(wèn)題。不難發(fā)現(xiàn)，這個(gè)二元函數(shù)的結(jié)構(gòu)具有一個(gè)很好的特性，極限函數(shù)的第一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母為和乘數(shù)中都有一個(gè)共同的元素。因此，如果將視為一個(gè)新的變量，那么，我們就可以把這個(gè)二元函數(shù)極限的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的一元函數(shù)極限求解問(wèn)題。也就是說(shuō)，這個(gè)二元函數(shù)求極限的問(wèn)題將退化為一個(gè)一元函數(shù)求極限的問(wèn)題。這也就很好地說(shuō)明了二元函數(shù)求極限的研究實(shí)質(zhì)上就是對(duì)一元函數(shù)求極限研究的推廣。針對(duì)例題2，我們將采用變量替換法來(lái)研究這個(gè)二元函數(shù)的極限求解問(wèn)題。詳細(xì)步驟如下。

解：假設(shè)存在一個(gè)新的變量，使得變量等于的平方與的平方之和成立。那么所求極限中的趨近于0和趨近于0這兩個(gè)條件就可以用一個(gè)條件趨近于0來(lái)代替。也就是說(shuō)，所求極限中的趨近于與新的變量趨近于0是等價(jià)的。故此題所研究的二元函數(shù)極限求解問(wèn)題就可以等價(jià)變換為一個(gè)形式相對(duì)簡(jiǎn)單的一元函數(shù)極限求解問(wèn)題，可得等于5乘以。最后，利用數(shù)學(xué)分析中的第一個(gè)重要極限公式：當(dāng)z趨近于0時(shí)，除以的極限為1這個(gè)性質(zhì)，可得此題的極限等于5。

二、變量替換法在函數(shù)求導(dǎo)中的應(yīng)用

在對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，使用頻率最多的就是變量替換法。這里面主要運(yùn)用的方法就是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：鏈?zhǔn)椒▌t。在運(yùn)用鏈?zhǔn)椒▌t時(shí)，同學(xué)們必須要注意到復(fù)合函數(shù)中哪些是自變量，哪些是中間變量。只有這樣，我們才能夠正確使用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中的鏈?zhǔn)椒▌t。在對(duì)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)數(shù)時(shí)，我們常常會(huì)引入一些新的中間變量，并將所研究的復(fù)合函數(shù)轉(zhuǎn)化為多個(gè)形式相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)導(dǎo)數(shù)的乘積，以此來(lái)利用復(fù)合函數(shù)中的求導(dǎo)法則，從而計(jì)算出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。需要指出的是，這里引入的中間變量對(duì)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的表達(dá)形式是毫無(wú)影響的，它們只是起到了過(guò)渡的作用。值得注意的是，引入的中間變量可以是多種形式的，具體要采用哪一種形式，要看哪一種能夠極大地簡(jiǎn)化我們能的運(yùn)算。因此，采用變量替換法也是具有較高的技巧性。

例3.求的導(dǎo)函數(shù)

分析：不難看出，本題所研究的是一個(gè)一元函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題。為了計(jì)算出這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，我們計(jì)劃利用多元復(fù)合微分法對(duì)其進(jìn)行求解。針對(duì)所研究對(duì)象的結(jié)構(gòu)，我們有如下解題思路。若直接選擇引入一個(gè)中間變量，其中等于。那么，所計(jì)算的一元函數(shù)就可看成等于和等于兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)。當(dāng)對(duì)這個(gè)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)需多次使用鏈?zhǔn)椒▌t，才能獲得它的導(dǎo)函數(shù)，致使該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)計(jì)算過(guò)程較為復(fù)雜?？紤]到函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的求解結(jié)果與引入的中間變量無(wú)關(guān)，筆記考慮引入另外一個(gè)新的中間變量求解它的導(dǎo)函數(shù)。因此，我們考慮引入一個(gè)新的中間變量，其中等于cos2x。這時(shí)，所研究的復(fù)合函數(shù)就可轉(zhuǎn)化為等于和兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)。此時(shí)，經(jīng)過(guò)基本分析，我們發(fā)現(xiàn)只需利用一次鏈?zhǔn)椒▌t，即可獲得所求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，這極大地簡(jiǎn)化了我們計(jì)算復(fù)雜度。具體步驟如下。

解：作變量替換，令z等于，則所求函數(shù)為等于，那么，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，可知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為與的乘積，其中等于除以，等于2乘以?？傻迷降扔?lt;<Eqn00172.wmf>>除以。將等于代入可得的導(dǎo)函數(shù)為除以。

3.變量替換在積分中的應(yīng)用

在對(duì)一個(gè)積分進(jìn)行求解時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)分析中所計(jì)算的大部分積分是無(wú)法直接利用已知公式簡(jiǎn)單推導(dǎo)得出的。針對(duì)這種情況，我們一般可以適當(dāng)?shù)乩米兞刻鎿Q法將所求積分轉(zhuǎn)化為一個(gè)新變量的積分，隨后再利用已知的基本積分公式、歐拉積分等工具，對(duì)新的變量積分進(jìn)行求解。

例4. 求

分析：不難看出，這個(gè)積分是一個(gè)含參量的反常積分。首先，利用傳統(tǒng)的含參量非正常積分判別法判斷它的一致收斂性。目前，含參量反常積分的一致性判別法主要有魏爾斯特拉斯M判別法、狄利克雷判別法以及阿貝爾判別法。在含參量反常積分在某一個(gè)區(qū)間具有一致收斂性的基礎(chǔ)上，再根據(jù)數(shù)學(xué)分析書(shū)中的含參量反常積分的性質(zhì)中的可積性定理判斷它的可積性。最后我們才能進(jìn)一步對(duì)反常積分進(jìn)行求解。在一般情況下，對(duì)反常積分直接進(jìn)行求解是相當(dāng)復(fù)雜的。通常情況下，針對(duì)這類含參量反常積分，可以通過(guò)分析被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)，利用恰當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q法對(duì)反常積分的結(jié)構(gòu)進(jìn)行變換，隨后對(duì)其進(jìn)行求解。針對(duì)上述的例4，可知該反常積分的瑕點(diǎn)為正無(wú)窮。通過(guò)對(duì)這個(gè)反常積分結(jié)構(gòu)形式的觀察，我們發(fā)現(xiàn)被積函數(shù)的分子可以轉(zhuǎn)化為含有的函數(shù)，分母也可以轉(zhuǎn)化為含有的函數(shù)。即，分子等于和分母16+x4等于。顯然，分子與分母中都存在著一個(gè)共同的元素。所以，可以利用變量替換法，先將所求積分進(jìn)行變換。假定存在一個(gè)新的變量等于，則所求的反常積分將可以轉(zhuǎn)化為含有變量的的積分，即為。顯然，這個(gè)反常積分的結(jié)構(gòu)形式與我們常見(jiàn)的歐拉積分結(jié)構(gòu)形式很相似?；谶@個(gè)想法，可以考慮將此反常積分進(jìn)行結(jié)構(gòu)變換。要讓積分結(jié)構(gòu)發(fā)生變換，就要用到變量替換法。因此，為了將這個(gè)反常積分轉(zhuǎn)化為學(xué)生們所熟悉的歐拉積分，筆者再次利用變量替換法。再進(jìn)一步假設(shè)，存在一個(gè)新的變量等于y/（1+y），則該反常積分將轉(zhuǎn)化為一個(gè)含有變量的歐拉積分，即為。需要指出的是，這個(gè)歐拉積分是學(xué)生們比較熟悉的貝塔函數(shù)。接下來(lái)，我們就可以利用貝塔函數(shù)和伽馬函數(shù)之間的性質(zhì)來(lái)對(duì)這個(gè)歐拉積分進(jìn)行求解。具體步驟如下。

解：作變量替換，假設(shè)存在一個(gè)新的變量等于，則原式等于再進(jìn)一步假設(shè)存在一個(gè)新的變量等于。那么，上述反常積分就可以變換為含有變量的積分。利用歐拉積分中的貝塔函數(shù)的性質(zhì)可將瑕積分轉(zhuǎn)變?yōu)樨愃瘮?shù)的表示形式，即。又由貝塔函數(shù)與伽馬函數(shù)之間的性質(zhì)可得等于與的乘積再除以。使用伽馬函數(shù)性質(zhì)可知與的乘積等于除以，而且等于1。因此，可得等于除以。綜上所述，可得此題反常積分的值為除以。

四、結(jié)語(yǔ)

通過(guò)上述4個(gè)例子，可以看出變量替換法在數(shù)學(xué)分析求解中占據(jù)著重要的作用，它可以極大地簡(jiǎn)化我們的計(jì)算過(guò)程。它更是一種極其有效的解題方法，在處理一些復(fù)雜函數(shù)求極限、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)以及積分運(yùn)算等問(wèn)題上，效果尤為顯著。通過(guò)例1，可以發(fā)現(xiàn)在計(jì)算函數(shù)極限時(shí)，利用變量替換法可以簡(jiǎn)便我們的計(jì)算過(guò)程，縮短計(jì)算時(shí)間。通過(guò)例2，可以看出在對(duì)一個(gè)多元函數(shù)進(jìn)行極限求解時(shí)，變量替換法依然是有效的。而且，還能幫助我們將二元函數(shù)極限求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限求解問(wèn)題，使得學(xué)生們可以迅速快捷地解決多元函數(shù)極限問(wèn)題。通過(guò)例3，不難發(fā)現(xiàn)，變量替換法中的替換變量的形式是非常多的，那么如何選擇適當(dāng)?shù)淖兞窟M(jìn)行代換，簡(jiǎn)化題目的求解過(guò)程，就有著極其重要的作用。因此，同學(xué)們?nèi)绾螌ふ液线m的變量替換是非常具有技巧性的。要做到這一點(diǎn)，就需要同學(xué)們針對(duì)性地多加練習(xí)此類題目，尋找規(guī)律，掌握方法，也要勤于思考，會(huì)舉一反三，學(xué)有所思，學(xué)有所得，學(xué)有所悟。善于觀察發(fā)現(xiàn)題目的結(jié)構(gòu)形式和隱藏的題干信息，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，準(zhǔn)確把握住題干運(yùn)作的邏輯原理，對(duì)我們靈活運(yùn)用變量替換法具有重要的作用。通過(guò)例4，不難發(fā)現(xiàn)，有時(shí)對(duì)于一個(gè)題目可以多次使用變量替換法來(lái)簡(jiǎn)化我們的計(jì)算過(guò)程。具體地，要根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)形式，有效地分析題干的信息，善于利用已知的運(yùn)算方法對(duì)一個(gè)題目進(jìn)行求解。所以，當(dāng)學(xué)生們?cè)谧鲱}目訓(xùn)練時(shí)，不是先急著進(jìn)行驗(yàn)算求解，而是要對(duì)逐步分析題目所給的信息，理清所給題目的信息脈絡(luò)，尋找隱藏在題干中的重要線索，進(jìn)而與自己熟知的知識(shí)體系相融合，從而更加高效快捷地解決問(wèn)題。

本文通過(guò)一些典型的實(shí)例闡述了變量替換法在數(shù)學(xué)分析求解中的幾點(diǎn)重要應(yīng)用。不僅說(shuō)明了變量替換法在一元函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)以及積分運(yùn)算等問(wèn)題中的應(yīng)用，而且也說(shuō)明了變量替換法在二元函數(shù)極限、導(dǎo)數(shù)等問(wèn)題求解中依然是有效的。變量替換方法除了在上述三點(diǎn)方面的應(yīng)用外，在解析函數(shù)微分方程結(jié)構(gòu)、復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、無(wú)窮級(jí)數(shù)以及曲面積分等方面都有著廣泛的應(yīng)用。因此，在數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)中應(yīng)重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)變量替換法的理論方法和技巧，深入講解，教會(huì)學(xué)生們熟練掌握和靈活運(yùn)用變量替換法，來(lái)進(jìn)一步提高解題能力，確保學(xué)生們能夠?qū)W好用好數(shù)學(xué)分析知識(shí)，并逐漸形成穩(wěn)固、扎實(shí)的知識(shí)網(wǎng)，從而為提高數(shù)學(xué)思維水平夯實(shí)基礎(chǔ)。

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本文系安徽工程大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目：統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)金融類課程教學(xué)體系改革——基于學(xué)科交叉視角（2021jyxm23）的階段性成果。