立足概念教學(xué)，培育核心素養(yǎng)

李艾

【摘要】核心素養(yǎng)的發(fā)展打破了傳統(tǒng)的教育理念與課堂模式，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含以下六大方面：邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析。在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，尤其需要重視對學(xué)生的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。本文以《三角函數(shù)的概念》為例，借助課堂實錄，以問題串的形式闡述了如何設(shè)計合理的教學(xué)方案，把握教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，逐漸滲透數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);概念教學(xué);三角函數(shù)的概念;教學(xué)設(shè)計

數(shù)學(xué)教育基本理念是“以學(xué)生的發(fā)展為本，立德樹人、提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，實現(xiàn)不同學(xué)生的不同發(fā)展，培養(yǎng)具有終身學(xué)習(xí)能力、適應(yīng)社會需要的人才”，數(shù)學(xué)的本質(zhì)實際上是數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系、數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過程、數(shù)學(xué)思想方法的提煉以及數(shù)學(xué)理性精神的體驗，教師通過問題的驅(qū)動引導(dǎo)學(xué)生在課堂中通過活動探究分析、解決問題，學(xué)生在活動的探究過程中，通過體驗數(shù)學(xué)知識的形成過程，體會數(shù)學(xué)原理的理性精神和科學(xué)精神，并在知識的探索過程中逐步摸索其中包含的數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)研究工具，掌握和理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的能力，最終實現(xiàn)學(xué)生發(fā)展。因此，在數(shù)學(xué)課堂中通過問題的驅(qū)動，使學(xué)生在知識自然生成中掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)是有效而合理的教學(xué)方法，這個教學(xué)模式也可以為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教育改革找到新的方向。

筆者實錄了“三角函數(shù)的概念（人教A版2019） ”一課，對教學(xué)進(jìn)行分析評價，加深學(xué)生對“三角函數(shù)的概念”的理解，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，從而實現(xiàn)學(xué)生的素養(yǎng)的發(fā)展。

一、課堂實錄（節(jié)選片段）

1.在活動中完成數(shù)學(xué)抽象

創(chuàng)設(shè)情境，提出問題1：深圳美麗的“灣區(qū)之光”，坐落在深圳的前海灣之畔，半徑約56米，轉(zhuǎn)動一圈約36分鐘。當(dāng)摩天輪一圈又一圈重復(fù)轉(zhuǎn)動時，上面的轎廂就在做周而復(fù)始，循環(huán)往復(fù)的運動?，F(xiàn)已知某游客乘坐在客艙P，從距離地面最近的位置A出發(fā)，轉(zhuǎn)盤逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)。如何刻畫（描述）摩天輪中客艙P的位置變化？

師生活動：在教師的引導(dǎo)下得出摩天輪上座艙P的運動可以近似看做質(zhì)點在做圓周運動。

設(shè)計意圖：通過自然而真實的問題讓學(xué)生感受三角函數(shù)的實際背景。引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)建模的角度研究運動、變化規(guī)律，學(xué)會用數(shù)學(xué)的角度看世界，體現(xiàn)三角函數(shù)概念引入的必要性，為抽象三角函數(shù)做準(zhǔn)備。

2.在活動中建成數(shù)學(xué)模型

問題2：如下圖所示，圓O上的點P以A為起點，做逆時針方向旋轉(zhuǎn)。用哪些變量刻畫（描述）點P的位置變化？

師生活動：學(xué)生在獨立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行交流，得出描述點P的變量有圓的半徑，圓的位置，角速度、時間、角a的終邊位置、點P的坐標(biāo)等。

追問：當(dāng)確定圓心和半徑后，P點的位置是否由角a的終邊唯一確定呢？

設(shè)計意圖：通過逐步引導(dǎo)學(xué)生篩查變量，最終確定刻畫點P的變量為角a、點P的坐標(biāo)，讓學(xué)生在此活動中體驗數(shù)學(xué)建模過程中尋找變量——篩查變量環(huán)節(jié)。

問題3：單位圓O上的點P以A為起點，做逆時針方向旋轉(zhuǎn)。能否建立一個函數(shù)模型刻畫（描述）點P的位置變化？

追問1：什么是函數(shù)？

追問2：根據(jù)圓的對稱性該如何建系呢？

問題4：如何把角a與點P（x，y）的坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系轉(zhuǎn)化到數(shù)集到數(shù)集的對應(yīng)關(guān)系呢？

師生活動：對于R中的任意一個角a，它的終邊OP與單位圓交點為p（x，y），無論是橫坐標(biāo)x還是縱坐標(biāo)y，都是唯一確定的。這里有兩個對應(yīng)關(guān)系：f ：實數(shù)a（弧度）對應(yīng)于點P的縱坐標(biāo)y;g ：實數(shù)a（弧度）對應(yīng)于點P的縱坐標(biāo)x。

設(shè)計意圖：通過問題鏈引導(dǎo)學(xué)生逐步尋找到合適的變量來刻畫“周而復(fù)始”的勻速圓周運動，體會數(shù)形結(jié)合思想方法，學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)的思維思考世界。

3.在已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實上構(gòu)建概念

例1：根據(jù)“點P的縱坐標(biāo)y，橫坐標(biāo)x都是角a的函數(shù)”的關(guān)系，求f（a）、g（a）.

設(shè)計意圖：通過實例運算，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解“角的終邊與單位圓交點的橫、縱坐標(biāo)都是圓心角a（弧度）的函數(shù)”，并引出三角函數(shù)的定義。

問題5：任意角三角函數(shù)與初中所學(xué)銳角三角函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系是什么？

設(shè)計意圖：找到銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，使學(xué)生體會兩個定義的相融性。

4.在計算中進(jìn)一步深化概念

例2：已知角a終邊上的點，求角a的正弦、余弦和正切值。

師生活動：提問學(xué)生，教師再總結(jié)出從定義出發(fā)求三角函數(shù)值的步驟，并得出最終答案。

設(shè)計意圖：通過對三角函數(shù)概念的簡單應(yīng)用，理解用定義求三角函數(shù)值的基本步驟，進(jìn)一步深化定義的內(nèi)涵。

問題6：已知角終邊上的任意一點，如何求它的三角函數(shù)值？

變式1：已知角a的終邊經(jīng)過點p（-12，5），求角a的正弦、余弦和正切值。

變式2：已知角a的終邊經(jīng)過點p（x，y），求角a的正弦、余弦和正切值。

師生活動：1.教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)定義作圖表示sina、cosa、tana;2.學(xué)生觀察所做的圖形，找出點P的橫縱坐標(biāo)與sina、cosa、tana的關(guān)系，并寫出相應(yīng)答案。由變式1的特殊情況引導(dǎo)學(xué)生觀察分別表示什么，并找到它們與任意角a之間的關(guān)系。3.學(xué)生給出相應(yīng)的證明。

設(shè)計意圖：通過分析題目，引導(dǎo)學(xué)生找到兩個三角形，并利用它們的相似關(guān)系，通過三角形的定義來證明，深化學(xué)生對定義的理解，讓學(xué)生從另一個角度來理解三角函數(shù)的定義，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)。

5.在小結(jié)提升中，形成結(jié)構(gòu)

師生活動：學(xué)生回答下列問題：三角函數(shù)的概念是什么？三角函數(shù)是用來刻畫“周期運動”的函數(shù)模型，你能從定義中體會到這一點嗎？知道角終邊上的點如何求三角函數(shù)值？在建構(gòu)三角函數(shù)的概念過程中，我們采用了怎樣的探究過程與方法？5FD3B7F4-E4D7-438E-ABC8-CB991A41398C

設(shè)計意圖：學(xué)生通過回顧本節(jié)課構(gòu)建的知識和應(yīng)用的方法，積累研究數(shù)學(xué)問題的方法與活動經(jīng)驗，學(xué)會學(xué)數(shù)學(xué)。

二、感悟結(jié)語

本節(jié)課的指導(dǎo)思想是從發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)出發(fā)，將任意角三角函數(shù)的概念課作為載體，使數(shù)學(xué)抽象的三個階段真正落實在課堂教學(xué)中。以“如何描述周期現(xiàn)象”為出發(fā)點，讓學(xué)生體驗“周期現(xiàn)象——圓周運動——單位圓上質(zhì)點的旋轉(zhuǎn)運動”，明確研究對象，形成第一次抽象;分析變量，鎖定變量，找出變量的對應(yīng)關(guān)系，形成第二次抽象;最后給出定義，用數(shù)學(xué)的符號語言加以表達(dá)，完成第三次抽象。

在學(xué)習(xí)三角函數(shù)概念之前，學(xué)生已經(jīng)對函數(shù)的一般概念、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)有一定的認(rèn)知和研究。這些認(rèn)知準(zhǔn)備對分析“周而復(fù)始”運動變化中涉及的量及其關(guān)系、認(rèn)識其中的對應(yīng)關(guān)系并給出定義等都能起到引導(dǎo)作用。但是，之前學(xué)習(xí)的基本初等函數(shù)，涉及的變量比較少，解析式都有明確的運算定義，在三角函數(shù)中，影響單位圓上點的坐標(biāo)變化的因素較多，對應(yīng)關(guān)系不是代數(shù)運算關(guān)系，是“a與x，y 直接對應(yīng)”，是不需要計算的。雖然角a，x，y都是實數(shù)，實際上是“幾何元素之間的對應(yīng)關(guān)系”。因此，三角函數(shù)中的這種對應(yīng)關(guān)系，與學(xué)生的已有經(jīng)驗認(rèn)知相差較大，由此產(chǎn)生了一大難點就是理解三角函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，包括影響單位圓上點的位置的變量篩查和對三角函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系的理解。

為了突出重點，突破難點，在本節(jié)課的教學(xué)中，筆者設(shè)定了這樣的邏輯主線：1.情境鋪墊出來的第一步就是研究在圓周運動中，點P位置的刻畫;2.模型構(gòu)建過程的因素分析，通過變量篩查和分析，鎖定角度和坐標(biāo)刻畫點P;3.怎樣建立角度與坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系。

通過本節(jié)課，筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師應(yīng)瞄準(zhǔn)學(xué)生如何“學(xué)習(xí)”，而不是把知識直接呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生參與到課堂，喚醒學(xué)生的思考能力，讓學(xué)生在探究思考的過程中能夠理解知識的生成過程，體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法、工具，從而培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

參考文獻(xiàn)：

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責(zé)任編輯? 鐘春雪5FD3B7F4-E4D7-438E-ABC8-CB991A41398C