王璐 ，范波 ，邱玉林

（1.河南科技大學(xué)信息工程學(xué)院，河南 洛陽 471003；2.中信重工機(jī)械股份有限公司，河南 洛陽 471003）

感應(yīng)電機(jī)由于結(jié)構(gòu)簡單、價(jià)格低廉等特點(diǎn)，在工業(yè)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，其有效控制方法的研究一直受到大家的重視[1]。由于感應(yīng)電機(jī)復(fù)雜多變、耦合性強(qiáng)的非線性運(yùn)行特征，難以采用傳統(tǒng)的線性系統(tǒng)控制方法來獲得高性能的感應(yīng)電機(jī)轉(zhuǎn)速控制器。為了得到更好的控制效果以滿足工業(yè)領(lǐng)域不斷提高的性能需求，許多非線性控制方法被應(yīng)用于感應(yīng)電機(jī)控制領(lǐng)域，例如反饋線性化、反步法、滑?？刂萍爸悄芸刂频萚2-3]。

無源性方法于1989年被Ortega R與Spong M提出[4]。將其應(yīng)用于感應(yīng)電機(jī)控制系統(tǒng)，可以從能量的角度將感應(yīng)電機(jī)與控制器看作能量輸入、輸出轉(zhuǎn)換裝置，通過能量注入和互聯(lián)達(dá)到控制平衡，在抑制外界擾動(dòng)影響的同時(shí)，使電機(jī)系統(tǒng)的輸出信號(hào)能夠有效跟蹤給定信號(hào)。

本文基于無源性控制理論，設(shè)計(jì)感應(yīng)電機(jī)的無源轉(zhuǎn)速控制器，并構(gòu)建迭代學(xué)習(xí)控制器來引入自學(xué)習(xí)能力。在此基礎(chǔ)上，為進(jìn)一步改善動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能，對(duì)轉(zhuǎn)速給定值進(jìn)行柔化處理，同時(shí)在迭代學(xué)習(xí)過程中加入微分項(xiàng)。仿真表明，電機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)能夠很好地跟隨柔化給定值，轉(zhuǎn)速無超調(diào)，控制性能良好。

1 感應(yīng)電機(jī)的無源性控制設(shè)計(jì)

1.1 感應(yīng)電機(jī)運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型

在d-q旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，感應(yīng)電機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型由繞組電壓方程和機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程組成[5-6]。

電壓方程如下：

式中：isd，isq分別為定子電流在d，q軸上的分量；ird，irq分別為轉(zhuǎn)子電流在d，q軸上的分量；usd，usq分別為定子電壓在d，q軸上的分量；ωr為轉(zhuǎn)子角速度；ω1為旋轉(zhuǎn)角速度；ωs為轉(zhuǎn)差角速度；Rs，Rr分別為電機(jī)定子和轉(zhuǎn)子電阻；Ls，Lr分別為定子繞組和轉(zhuǎn)子繞組的等效自感；Lm為定子和轉(zhuǎn)子繞組的等效互感；ρ為微分算子。

機(jī)械方程如下：

式中：J為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；D為阻尼系數(shù)；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；Te為電磁轉(zhuǎn)矩；ω為電機(jī)轉(zhuǎn)速；np為磁極對(duì)數(shù)。

1.2 感應(yīng)電機(jī)的無源性分析

使用Eluer-Lagrange方程表達(dá)感應(yīng)電機(jī)系統(tǒng)的總能量，并附加耗散項(xiàng)注入。與基于系統(tǒng)自然耗散所得收斂性相比，附加耗散項(xiàng)可以改善導(dǎo)出狀態(tài)的收斂性[7]。感應(yīng)電機(jī)無源性控制方法將系統(tǒng)分為電氣和機(jī)械兩個(gè)系統(tǒng)[8]。為保證系統(tǒng)的全局穩(wěn)定，將機(jī)械系統(tǒng)看作擾動(dòng)，以證明電氣系統(tǒng)無源。

具體來說，取ix=[isdisqirdirq]T為狀態(tài)變量；ue=[usdusqurdurq]T為控制輸入；并令Ι2為單位矩陣，則有：

由式（4）～式（8）及電氣系統(tǒng)方程可知，感應(yīng)電機(jī)的Euler-Lagrange系統(tǒng)方程為

式（9）中，等號(hào)左邊第1項(xiàng)為系統(tǒng)的作用力；因Re矩陣正定，則第3項(xiàng)為系統(tǒng)的耗散力；第4項(xiàng)為外部擾動(dòng)。在式（9）兩邊同乘，由于是系統(tǒng)的無功分量，不影響系統(tǒng)的能量平衡。可得：

等號(hào)左側(cè)代表能量的變化量，等號(hào)右側(cè)各項(xiàng)為感應(yīng)電機(jī)由外部輸入的能量變化。根據(jù)無源性理論，可以證明感應(yīng)電機(jī)的電氣系統(tǒng)為嚴(yán)格無源。同理可證得機(jī)械系統(tǒng)亦為嚴(yán)格無源。在控制器設(shè)計(jì)過程中，為了在減少控制難度的同時(shí)滿足控制性能要求，可將機(jī)械部分作為系統(tǒng)的無源擾動(dòng)，電氣系統(tǒng)則為受控對(duì)象。

2 感應(yīng)電機(jī)轉(zhuǎn)速控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)上述無源性控制的分析，感應(yīng)電機(jī)無源控制器的設(shè)計(jì)是系統(tǒng)的輸出轉(zhuǎn)矩和磁鏈跟隨期望[9]。因此結(jié)合磁場(chǎng)定向原理可得到：

式中：T′e為系統(tǒng)期望轉(zhuǎn)矩；i′sd，i′sq為對(duì)應(yīng)于T′e的期望定子電流在d，q軸上的分量；i′rd，i′rq分別為對(duì)應(yīng)于T′e的期望轉(zhuǎn)子電流在d，q軸上的分量；Ψ′r為對(duì)應(yīng)T′e的期望磁鏈。

定義系統(tǒng)狀態(tài)向量為x=[isdisqirdirq]T，x′=[i′sdi′sqi′rdi′rq]T，則系統(tǒng)期望狀態(tài)變量的誤差向量為ex=x-x′，結(jié)合式（9）可知感應(yīng)電機(jī)系統(tǒng)加入誤差向量后的方程為

式中：ζe為系統(tǒng)擾動(dòng)。

由于Re函數(shù)為正定的，因此只有當(dāng)ζe=0時(shí)，e<0，則誤差ex收斂到0，轉(zhuǎn)矩趨近收斂于期望值，為實(shí)現(xiàn)ζe=0，達(dá)到控制效果，結(jié)合感應(yīng)電機(jī)的特性及矢量控制磁場(chǎng)定向原理，使在d，q軸上的轉(zhuǎn)子磁鏈分量分別滿足以下條件：

其中，Ψ′r是常值，令i′rq=0可以得到轉(zhuǎn)子電流在d，q軸上的分量及轉(zhuǎn)差率如下所示：

綜合以上分析，可以得到無源控制器如下：

式中：ω′r為轉(zhuǎn)速給定值。

為了降低系統(tǒng)對(duì)參數(shù)變化的反應(yīng)程度，并且保證閉環(huán)系統(tǒng)嚴(yán)格無源，達(dá)到快速響應(yīng)的目的，引入阻尼系數(shù)K，構(gòu)成阻尼項(xiàng)。阻尼項(xiàng)方程如下所示：

式中：ε為常數(shù)，且 0< ε

在感應(yīng)電機(jī)轉(zhuǎn)速控制設(shè)計(jì)中，本文設(shè)計(jì)為無傳感器控制方式，基于磁鏈模型來在線估計(jì)電機(jī)轉(zhuǎn)速。對(duì)轉(zhuǎn)子磁鏈的d，q軸分量之差進(jìn)行比例積分運(yùn)算，從而得到估計(jì)的轉(zhuǎn)速值：

基于前述無源性分析結(jié)果，轉(zhuǎn)速控制器可設(shè)計(jì)為

式中：Kp1，Ki1分別為比例增益、積分增益。

3 感應(yīng)電機(jī)迭代學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)速控制器

3.1 P型迭代學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)速控制器

迭代學(xué)習(xí)控制（iterative learning control，ILC）不依賴于被控對(duì)象的精確數(shù)學(xué)模型，其自學(xué)習(xí)能力可以使系統(tǒng)在重復(fù)運(yùn)行過程中不斷逼近控制期望，且具有控制算法計(jì)算量小、實(shí)現(xiàn)成本低的優(yōu)點(diǎn)[10-12]。本文中，設(shè)計(jì)感應(yīng)電機(jī)P型迭代學(xué)習(xí)控制器如下：

式中：ui(t)，ui+1(t)分別為系統(tǒng)第i次和第i+1次運(yùn)行過程中t時(shí)刻的輸出控制變量；ei(t)為第i次運(yùn)行過程中t時(shí)刻的轉(zhuǎn)速誤差；kp為比例學(xué)習(xí)增益。

由式（21）可知，迭代學(xué)習(xí)的控制過程是基于前一次控制情況的學(xué)習(xí)過程。因而，系統(tǒng)第1次運(yùn)行采用式（20）所示控制器，為隨后的迭代學(xué)習(xí)控制進(jìn)程提供學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。

為驗(yàn)證迭代學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)速控制性能，搭建Simu?link系統(tǒng)仿真模型，如圖1所示。

圖1 感應(yīng)電機(jī)無源性迭代學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)速控制結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Passivity iterative learning speed control structure diagram of induction motor

感應(yīng)電機(jī)參數(shù)設(shè)置為：PN=2.2 kW，UN=380 V，ωN=1200 rad/s，Lsd=Lrd=2 mH，J=0.03kg ?m2，Rr=0.816Ω，Rs=0.435Ω，np=2，Lm=69mH，期望磁鏈設(shè)為0.9 Wb，感應(yīng)電動(dòng)機(jī)空載啟動(dòng)。

取kp=0.1，將學(xué)習(xí)迭代次數(shù)設(shè)置為10次，得轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)過程如圖2所示，對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)矩控制量變化曲線如圖3所示。

圖2 迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線（kp=0.1）Fig.2 Speed response curves of iterative learning control system（kp=0.1）

圖3 轉(zhuǎn)矩控制量變化曲線（kp=0.1）Fig.3 Torque control variation curves（kp=0.1）

從圖2可以看出，隨著迭代次數(shù)增加，轉(zhuǎn)速上升時(shí)間逐漸減少，迭代學(xué)習(xí)控制有效。但從第4次迭代開始，出現(xiàn)明顯的超調(diào)。這表明，P型迭代學(xué)習(xí)控制雖然能夠使轉(zhuǎn)速響應(yīng)過程逐漸趨近階躍給定值，但也導(dǎo)致了超調(diào)。圖3表明，為了更快達(dá)到轉(zhuǎn)速階躍給定值，電機(jī)轉(zhuǎn)矩隨著迭代次數(shù)的增加而不斷增大，導(dǎo)致控制量不斷增大，過大的轉(zhuǎn)矩必然導(dǎo)致超調(diào)。產(chǎn)生超調(diào)的原因首先來自于轉(zhuǎn)速給定值為階躍函數(shù)。在迭代學(xué)習(xí)過程中，初始時(shí)刻的轉(zhuǎn)速為0，轉(zhuǎn)速誤差值大。系統(tǒng)為了減少轉(zhuǎn)速誤差，必然使控制量不斷增大，使轉(zhuǎn)速響應(yīng)過程出現(xiàn)超調(diào)。

3.2 引入給定值柔化的迭代學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)速控制器

為了解決系統(tǒng)階躍給定值以及電機(jī)模型慣性引起的系統(tǒng)超調(diào)，對(duì)轉(zhuǎn)速階躍給定值進(jìn)行柔化處理，使柔化后的給定值按照一定的方式光滑趨近階躍給定值。通過圖2中的轉(zhuǎn)速數(shù)據(jù)分析，選取第2次迭代學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)速進(jìn)行曲線擬合，并對(duì)擬合的結(jié)果進(jìn)行處理得到柔化表達(dá)式為

柔化的主要目的是配合迭代學(xué)習(xí)使系統(tǒng)的輸入量達(dá)到合理給定，從而避免在迭代學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)超調(diào)。柔化后的轉(zhuǎn)速給定值曲線如圖4所示。取kp=0.14，迭代10次的電機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線如圖5所示，轉(zhuǎn)矩變化曲線如圖6所示。

圖4 轉(zhuǎn)速給定值柔化后的曲線Fig.4 Speed setting curve after softening

圖5 給定柔化后的迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線（kp=0.14）Fig.5 Speed response curves of iterative learning control system after softening（kp=0.14）

圖6 給定柔化后的轉(zhuǎn)矩控制量變化曲線（kp=0.14）Fig.6 Torque control variation curves after softening（kp=0.14）

由圖5可知，對(duì)階躍給定值進(jìn)行柔化處理后，轉(zhuǎn)速響應(yīng)的超調(diào)明顯減小，并能夠通過迭代學(xué)習(xí)來逐漸趨近柔化給定曲線。圖6表明，隨著迭代次數(shù)的增加，轉(zhuǎn)矩在轉(zhuǎn)速上升過程中逐步增加，使轉(zhuǎn)速上升速度合理加快。

迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速性能指標(biāo)如表1所示，系統(tǒng)在10次迭代學(xué)習(xí)過程中，隨著學(xué)習(xí)迭代次數(shù)的增加，上升時(shí)間逐漸縮短，超調(diào)得到明顯抑制。

表1 迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速性能指標(biāo)（kp=0.14）Tab.1 Speed performance index of iterative learning control system（kp=0.14）

3.3 PD型迭代學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)速控制器

為了進(jìn)一步抑制超調(diào)，同時(shí)保證響應(yīng)的速度，在式（21）所示控制器中加入微分項(xiàng)，得到PD型迭代學(xué)習(xí)控制器為[13]

式中：kd為微分學(xué)習(xí)增益；ωr0(t)為系統(tǒng)在第i次運(yùn)行過程中t時(shí)刻的轉(zhuǎn)速。

取kp=0.14，kd=0.9，迭代10次的轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線如圖7所示，對(duì)應(yīng)的迭代學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)速性能指標(biāo)如表2所示。

圖7 給定柔化后的迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線（kp=0.14，kd=0.9）Fig.7 Speed response curves of iterative learning control system after softening（kp=0.14，kd=0.9）

表2 迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速性能指標(biāo)（kp=0.14，kd=0.9）Tab.2 Speed performance index of iterative learning control system（kp=0.14，kd=0.9）

由圖7及表2數(shù)據(jù)與P型對(duì)比可知，當(dāng)系統(tǒng)的上升時(shí)間減少、調(diào)節(jié)時(shí)間縮短時(shí)，PD型迭代學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)速超調(diào)量得到進(jìn)一步控制，控制性能趨好。

4 結(jié)論

本文首先在無源控制理論的基礎(chǔ)上對(duì)感應(yīng)電機(jī)的無源性進(jìn)行分析并設(shè)計(jì)無源控制器，接著在感應(yīng)電機(jī)的轉(zhuǎn)速控制中加入迭代學(xué)習(xí)的控制算法，采用P型迭代學(xué)習(xí)控制器時(shí)仿真發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)有超調(diào)，產(chǎn)生超調(diào)的原因是由于轉(zhuǎn)速給定為階躍函數(shù)，在跟隨給定轉(zhuǎn)速的過程中，由于實(shí)際轉(zhuǎn)速與給定轉(zhuǎn)速存在誤差，導(dǎo)致控制量增大，同時(shí)在控制作用下電機(jī)模型存在慣性，因此發(fā)生超調(diào)。為了解決該問題，通過將給定階躍信號(hào)進(jìn)行柔化，使給定轉(zhuǎn)速以一定的方式趨近給定轉(zhuǎn)速，實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)速控制超調(diào)的抑制。最后為了進(jìn)一步抑制系統(tǒng)超調(diào)，加入微分項(xiàng)構(gòu)成PD型迭代學(xué)習(xí)控制器，系統(tǒng)轉(zhuǎn)速曲線響應(yīng)無超調(diào)，跟隨性能良好。