王麗

[摘? 要] 探究式教學(xué)法能有效地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，促進學(xué)生創(chuàng)新意識與能力的形成，為學(xué)生數(shù)學(xué)思想與科學(xué)素養(yǎng)的形成奠定基礎(chǔ).研究者以“全等三角形”的教學(xué)為例，提出“SAS”的全等三角形拓展問題“SSA”，并以此作為開展探究式教學(xué)的主題，分別從作圖——感知不同情形，探索——找出全等條件，應(yīng)用——解決實際問題三方面展開闡述.

[關(guān)鍵詞] 探究式教學(xué);數(shù)學(xué)教學(xué);全等三角形

隨著新課改的推進，廣大教育工作者開始重視探究式教學(xué)法的應(yīng)用.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，教師雖然在思想上重視這種教學(xué)方法，但在實際應(yīng)用時卻比較生疏，有時因掌握不好給學(xué)生的思考時間，而導(dǎo)致探究的失敗.

實踐證明，想要科學(xué)、合理地在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中開展探究式教學(xué)，首先必須了解學(xué)情，根據(jù)學(xué)生的實際認知情況開展示范性的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生掌握相應(yīng)的學(xué)習(xí)策略與方法，獲得主動探究的能力[1]. 本文以“SAS”的全等三角形拓展教學(xué)為例，具體談?wù)勅绾卧谡n堂教學(xué)中靈活應(yīng)用探究式教學(xué)法來拓展學(xué)生的思維.

提出問題

學(xué)完“探索三角形全等的條件”這一章節(jié)后，學(xué)生已經(jīng)掌握了兩個三角形全等的判定方法，在對于“SAS”的判定方法中，遇到對應(yīng)相等的角不是兩等邊夾角（SSA）的情況，該如何判定這兩個三角形是否全等的問題產(chǎn)生了思考. 通常情況下，教師會應(yīng)用反例法來證明這個結(jié)論成立與否. 但是，學(xué)生常渴望從更深層次去理解“SSA”. 為此，筆者以探索“SSA判定兩個三角形全等的條件”展開教學(xué)設(shè)計與探究.

教學(xué)目標(biāo)

1. 作圖，感知兩個三角形滿足“SSA”條件的不同情形.

2. 探究用“SSA”法判定兩三角形為全等關(guān)系的條件過程，形成良好的分類思想.

教學(xué)設(shè)計與意圖分析

（一）作圖——感知不同情形

問題1：通過之前的學(xué)習(xí)，我們都知道用“SAS”來判定兩個三角形全等，其中“A”的位置必須位于兩個“S”的中間，也就是兩條邊的夾角. 當(dāng)“A”的位置不是兩條對應(yīng)邊的夾角時，也就是在“SSA”的情況下，不一定能證明這兩個三角形是全等關(guān)系. 現(xiàn)在我們就探討兩個三角形在“SSA”的情況下，滿足什么條件可證得它們是全等的？若此“A”為直角，是否可證得這兩個三角形全等？為什么？（學(xué)生回顧舊知）

問題2：按照以下條件作一個△ABC：AB=4 cm，AC=3 cm，∠B=40°. 觀察自己所作的三角形與其他學(xué)生所作的三角形是否一樣. （先作圖，后交流）

問題3：作一個△ABC，條件為：AB=2 cm，AC=4 cm，∠B=120°. 觀察自己所作的三角形與其他學(xué)生所作的三角形是否一樣. （先作圖，后交流）

問題4：通過以上兩次作圖的觀察與交流，你們發(fā)現(xiàn)所作三角形在滿足“SSA”條件時，會出現(xiàn)哪些不同的情形呢？（交流）

設(shè)計意圖? 學(xué)生從自身已有的經(jīng)驗出發(fā)（“HL”全等），在作圖后對比、交流中基本獲得滿足“SSA”條件的兩三角形存在哪些不同情形. 學(xué)生的思維經(jīng)歷了從特殊到一般的過程，獲得了相應(yīng)的分析問題的方法與分類討論思想.

問題1的提出是建立在學(xué)生對“HL”是“SSA”的特例基礎(chǔ)上，讓學(xué)生由∠B的特殊情況（直角）向一般情況（銳角或鈍角）拓展，使得學(xué)生將研究“SSA”的問題轉(zhuǎn)化為分類研究∠B的情況.

問題2、3，學(xué)生通過自主作圖，不僅掌握了如何利用圓規(guī)作出滿足相關(guān)條件的三角形，還在對圖形的對比和交流中獲得了以下結(jié)論：若∠B為銳角，能畫出不一樣的三角形;若∠B為鈍角，所畫出來的三角形都是一樣的（全等）. 教師在引導(dǎo)過程中，針對問題2，可讓學(xué)生將不全等的三角形按照順序重疊在一起，以感知兩個三角形滿足“SSA”條件，是不全等關(guān)系的反例.

問題4的提出是讓學(xué)生感知若∠B為直角或鈍角時，滿足“SSA”條件的兩個三角形是全等的關(guān)系. 并根據(jù)以上幾問總結(jié)出：當(dāng)∠B為銳角時，滿足“SSA”條件的兩個三角形不一定全等，因此用“SSA”的條件來判斷兩個三角形全等具有不確定性.

（二）探索——找出全等條件

問題5：如圖1，△ABC與△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，且∠B=∠B′（大于90°），求證：△ABC≌△A′B′C′. （先做題，后交流）

問題6：△ABC與△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，且∠B=∠B′（小于90°），判斷△ABC與△A′B′C′是否全等？（獨立思考做題）

問題7：△ABC與△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′（小于90°），AB

問題8：△ABC與△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′（小于90°），AB>AC，判斷△ABC與△A′B′C′是否全等？（思考、做題后交流）

問題9：結(jié)合以上集體的解題過程，思考△ABC與△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′（小于90°），在什么情況下可以判斷△ABC與△A′B′C′是全等的關(guān)系？什么情況下這兩個三角形是不全等的關(guān)系？

教師以幾何畫板來演示圖形的變化過程，讓學(xué)生在直觀中感知圖形之間的關(guān)系，在獨立思考的基礎(chǔ)上再進行分組討論.

設(shè)計意圖? 在此探索環(huán)節(jié)，首先引導(dǎo)學(xué)生對∠B=∠B′（大于90°）的情形進行分析，再著重分析∠B為銳角時的情況，讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的數(shù)學(xué)分類思想的應(yīng)用與研究，從而歸納總結(jié)出多種類別中所存在的共性條件，獲得本題研究問題的結(jié)論，即滿足“SSA”條件的兩個三角形是全等關(guān)系的情況.

問題5，分別過點A與A′作AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，點D，D′分別為兩個垂足. 如圖2，通過△ABD≌A′B′D′（用“AAS”法）可證得AD=A′D′. 再通過HL法證得△ACD≌A′C′D′，由此可推導(dǎo)出∠C=∠C′，據(jù)此可證明△ABC≌△A′B′C′. 此過程是對學(xué)生猜想的論證，符合幾何應(yīng)遵循的周密性原則.AB35040E-6393-4E15-8594-3F54D756C8B4

問題6是基于對第一個教學(xué)環(huán)節(jié)所獲得的猜想的論證，即∠B為銳角的情況下，兩個三角形不一定是全等關(guān)系. 根據(jù)從特殊到一般的情況分析，將條件中提到的AB=AC的條件逐漸轉(zhuǎn)化為ABAC）的情況，并加以分析. 顯然，如圖3所示，在AB=AC的情況下，△ABC≌△A′B′C′.

探索過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)可將點C視為∠B的一邊（頂點B除外）和☉A（圓心為點A，半徑為AB的圓）的交點，由此可看出點C具有唯一性，也就是說以此畫出的三角形是唯一的. 因此，我們可以判斷，滿足問題2這個條件的兩個三角形為全等的關(guān)系，也就是將三角形全等的問題轉(zhuǎn)變成☉A與射線BC（點B不含）所獲得的公共點的個數(shù)問題的探索.

問題7和8的探討，如圖4，①在AB

如圖5，問題9以幾何畫板來演示前幾個問題的作圖流程，讓學(xué)生在直觀中看到∠B的變化情況與線段AB，AC的長度，深化學(xué)生對問題2、3、4的理解. 最后將∠B逐漸轉(zhuǎn)化成特殊的直角或鈍角來分析，學(xué)生通過畫圖與理解，不但自主地獲得了分類條件，還總結(jié)出以下結(jié)論：在△ABC與△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′，當(dāng)AB≤AC或AC=AB·sinB時，△ABC≌△A′B′C′.

（三）應(yīng)用——解決實際問題

問題10：如圖6，已知點P為∠AOB角平分線上的一點，且點C，D分別位于OA，OB的邊上，CP=DP，請從圖中找出等于∠PCA的角，并說明理由.

問題11：如圖7，四邊形ABCD為☉O的內(nèi)接四邊形，已知AB=3，AD=5，∠BAD=60°，弧BD的中點恰巧為點C，求AC的長度.

設(shè)計意圖? 讓學(xué)生將所學(xué)知識靈活地應(yīng)用到實際解題中，并在解題過程中感知數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想. 問題11需先構(gòu)造直角三角形，然后以“HL”論證，強化學(xué)生解決“SSA”類問題的能力，達到融會貫通的目的.

教學(xué)思考

（一）關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的深度探究

新課標(biāo)提出：教學(xué)中，教師應(yīng)挖掘教學(xué)內(nèi)容中與發(fā)展學(xué)生各項能力相關(guān)的教學(xué)價值[2]. 本節(jié)課，筆者是基于學(xué)生在課堂中遇到的問題所展開的教學(xué)活動，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生對“SSA”這個內(nèi)容展開了深度探究.

探究中，基于學(xué)生原有的認知經(jīng)驗，教師利用一切手段拓展學(xué)生的視野. 在問題串的引領(lǐng)下，學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容逐步分析、思考，并及時與同伴交流解決問題的辦法等. 這為學(xué)生獲得分析問題的經(jīng)驗與能力，開闊視野、提升思維，形成良好的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)奠定了堅實的基礎(chǔ).

（二）注重批判性思維的培養(yǎng)

批判性思維是一種重要的思維品質(zhì)，是創(chuàng)新意識形成與發(fā)展的前提[3]. 華羅庚曾經(jīng)說過：我們要學(xué)習(xí)前輩的經(jīng)驗，但不要拘泥于這種經(jīng)驗中，我們完全有理由懷疑前人的成果. 本節(jié)課，對于兩個三角形滿足“SSA”的條件，不少學(xué)生從幾何直觀的角度來看，常會誤認為兩個三角形一定是全等的關(guān)系.

隨著本節(jié)課的探究，成功地推翻了學(xué)生的這種認知，讓學(xué)生清楚地明白“SSA”的條件并不能作為判斷兩三角形全等的依據(jù).

總之，探究式教學(xué)是新課標(biāo)所倡導(dǎo)的基本教學(xué)方式之一. 作為教師，應(yīng)立足于課堂，采取問題引領(lǐng)的教學(xué)手段，引導(dǎo)學(xué)生積極探索問題，以形成良好的數(shù)學(xué)思想與思維品質(zhì)，為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成奠定基礎(chǔ).

參考文獻：

[1]涂榮豹. 數(shù)學(xué)教學(xué)認識論[M]. 南京：南京師范大學(xué)出版社，2003.

[2]中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3]布魯納. 教學(xué)過程[M]. 上海：上海人民出版社，1973.AB35040E-6393-4E15-8594-3F54D756C8B4