立足分析　精心設(shè)計(jì)　高效構(gòu)建

許麗芳

[摘? 要] 研究者以“生活中的不等式”課堂教學(xué)為例，提出高效課堂構(gòu)建的策略，即多角度分析課堂教學(xué)，精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程，以促進(jìn)學(xué)生的核心素養(yǎng)生成.

[關(guān)鍵詞] 不等式;教學(xué)設(shè)計(jì);初中數(shù)學(xué)

筆者講授的“生活中的不等式”一課曾贏得了同人的一致好評(píng). 通過分析本次教學(xué)活動(dòng)，筆者認(rèn)為，構(gòu)建高效課堂要深度分析教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)對(duì)象，然后設(shè)計(jì)合理的問題與教學(xué)活動(dòng)，精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程，才能促進(jìn)學(xué)生的核心素養(yǎng)生成.

多角度分析課堂教學(xué)

組織合理的教學(xué)過程，離不開分析教材內(nèi)容，剖析學(xué)生的特點(diǎn)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)有針對(duì)性的教學(xué).

（一）剖析教材內(nèi)容

1. 教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)與難點(diǎn)

不等關(guān)系是本節(jié)課的主要概念，因此，本節(jié)課的重點(diǎn)是讓學(xué)生在大量實(shí)例中感受不等關(guān)系，探索如何用不等式表示不等關(guān)系，進(jìn)而構(gòu)建新的數(shù)學(xué)模型——不等式[1]. 本節(jié)課的難點(diǎn)在于準(zhǔn)確應(yīng)用數(shù)學(xué)符號(hào)刻畫不等關(guān)系. 學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)不等符號(hào)：>與<，但是學(xué)生對(duì)不等關(guān)系的理解仍有一定的困難，尤其用兩個(gè)不等符號(hào)表示三個(gè)量之間的相互關(guān)系.

2. 教學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)含的思想方法

等式與不等式具有同構(gòu)的特征. 在教學(xué)中教師可以運(yùn)用類比的方法建立不等式的模型，建構(gòu)不等式的相關(guān)理論，讓學(xué)生在合情推理的過程中，了解合情推理對(duì)于探索發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的價(jià)值以及數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)思想.

在學(xué)習(xí)方程時(shí)，學(xué)生感受到了量與量之間的相等關(guān)系，通過這一節(jié)課，又結(jié)合具體生活實(shí)例，感受了量與量之間的不等關(guān)系. 等式與不等式是兩個(gè)不同的集合，它們并行不悖但又相互聯(lián)系，如果從集合的角度看待不等式，不等符號(hào)“≥”“≤”蘊(yùn)含了并集的思想，不等符號(hào)“≠”蘊(yùn)含了補(bǔ)集的數(shù)學(xué)思想.

如何說明連不等式表達(dá)的范圍呢？教師可以利用數(shù)軸加以說明，左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)，數(shù)軸上的數(shù)從左向右依次增大，因此書寫連不等式時(shí)，應(yīng)從左到右的順序書寫，進(jìn)而滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)數(shù)形統(tǒng)一的觀點(diǎn).

用不等式表示實(shí)際生活中的不等關(guān)系時(shí)，必須設(shè)出相應(yīng)字母表示相關(guān)的量，這也是在自然滲透代數(shù)的數(shù)學(xué)思想. 可以看出，生活中的不等式內(nèi)容雖少，但其中包含的數(shù)學(xué)思想十分豐富，且它們都有很高的數(shù)學(xué)價(jià)值.

3. 教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)與應(yīng)用價(jià)值

不等式這一數(shù)學(xué)模型有何數(shù)學(xué)意義與實(shí)際意義呢？要說明這個(gè)問題，這一節(jié)課還不能充分說明，需要學(xué)生在后面不等式的學(xué)習(xí)中慢慢體會(huì)與感受. 如何讓學(xué)生對(duì)不等式的數(shù)學(xué)意義與實(shí)際意義有所感受呢？教師可以引導(dǎo)學(xué)生感受不等式表示不等關(guān)系比用自然語言表示不等式關(guān)系顯得更加簡(jiǎn)潔，進(jìn)而感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美. 教師還可以引導(dǎo)學(xué)生利用不等式嘗試解決一些實(shí)際問題，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

（二）剖析教學(xué)對(duì)象

1. 學(xué)生的認(rèn)知基點(diǎn)

與本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容相關(guān)，且已在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)知識(shí)包括：相等關(guān)系，相等關(guān)系用等式表示，方程就是用相等關(guān)系表示現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型;大于號(hào)與小于號(hào)，數(shù)軸的點(diǎn)與有理數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系等.

學(xué)生已有建構(gòu)等式、代數(shù)式、方程等數(shù)學(xué)模型的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在列一元一次方程解應(yīng)用題的過程中，學(xué)生充分經(jīng)歷了用方程表示相等關(guān)系的過程. 有了這樣的基礎(chǔ)，學(xué)生可以自主建構(gòu)不等式刻畫不等關(guān)系. 但由于學(xué)生認(rèn)知的差異，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生情況作相應(yīng)的補(bǔ)救或復(fù)習(xí)，不能因?yàn)榍懊嬷R(shí)的缺陷而影響新知的學(xué)習(xí).

2. 學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律

由皮亞杰的認(rèn)識(shí)論可知，七年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知水平已進(jìn)入形式運(yùn)演階段，此時(shí)學(xué)生能夠通過假設(shè)、抽象、形式化的思維活動(dòng)，自主建構(gòu)不等式的數(shù)學(xué)模型.

基于學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，學(xué)生認(rèn)識(shí)不等式的過程需要經(jīng)歷以下幾個(gè)層次：背景感受—激發(fā)需求—形成問題—分析深究—數(shù)學(xué)建構(gòu). 基于此，教師應(yīng)從不等式的情境—表達(dá)不等關(guān)系的需求—如何構(gòu)建數(shù)學(xué)模型—聯(lián)想類比結(jié)構(gòu)—形成數(shù)學(xué)模型等進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).

精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程

（一）立足核心概念設(shè)計(jì)問題串

教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)圍繞核心概念設(shè)計(jì)有關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)問題. 不等關(guān)系是本節(jié)課的核心概念，設(shè)計(jì)初始問題時(shí)，應(yīng)通過實(shí)例提出問題，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的相等或不等關(guān)系[2]. 如何尋找不等關(guān)系的聯(lián)結(jié)點(diǎn)呢？實(shí)際上相等關(guān)系就是最好的邏輯起點(diǎn). 在自然現(xiàn)象與人類社會(huì)中，兩個(gè)量之間的關(guān)系，不僅存在相等關(guān)系而且存在不等關(guān)系. 教學(xué)中，筆者讓學(xué)生充分感受具體實(shí)例的基礎(chǔ)上，提出本節(jié)課的問題，即如何從數(shù)學(xué)的角度刻畫不等關(guān)系. 當(dāng)學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到可以用不等式表示不等關(guān)系后，再提出后面教材需要研究的問題：如何用不等式解決與不等關(guān)系有關(guān)的實(shí)際問題.

（二）立足知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì)問題情境

如何呈現(xiàn)新知識(shí)呢？它是由新知的生長(zhǎng)點(diǎn)決定的. 從認(rèn)知規(guī)律角度分析，等式應(yīng)是不等式的自然生長(zhǎng)點(diǎn). 因此，可以設(shè)計(jì)一個(gè)天平，在天平的兩端放兩種不同實(shí)物，如三個(gè)桃子與兩個(gè)蘋果，它們質(zhì)量相等，此時(shí)天平平衡. 在此基礎(chǔ)上，變化問題情境，打破相等關(guān)系，提出如果拿走一個(gè)桃子，天平會(huì)怎么樣？為什么會(huì)這樣？此時(shí)，學(xué)生可能會(huì)用自然語言表達(dá)：天平向蘋果方向傾斜，因?yàn)閮蓚€(gè)蘋果的質(zhì)量大于兩個(gè)桃子的質(zhì)量. 順勢(shì)而為，筆者又再舉一些生活不等關(guān)系的實(shí)例，讓學(xué)生用自然的語言表示它們之間的不等關(guān)系，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生舉一些自己熟悉的不等關(guān)系的實(shí)例. 當(dāng)學(xué)生充分認(rèn)識(shí)了不等關(guān)系的客觀存在時(shí)，自然會(huì)提出本節(jié)課的主要問題：如何從數(shù)學(xué)的角度表示不等關(guān)系.

（三）立足教學(xué)重點(diǎn)建構(gòu)教學(xué)過程

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是用不等式表示不等關(guān)系，所以必須讓學(xué)生經(jīng)歷這一形成過程. 之前，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了從等式表示相等關(guān)系到用不等式表示不等關(guān)系的過程，并提出問題：如何用數(shù)學(xué)符號(hào)表示不等關(guān)系. 實(shí)際上學(xué)生已經(jīng)能夠用大于號(hào)或小于號(hào)表示兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系，基于此，用不等式表示不等關(guān)系也可以放手讓學(xué)生自主建構(gòu). 當(dāng)學(xué)生能夠用大于號(hào)或小于號(hào)表示問題中的不等關(guān)系后，然后提出用“≥”“≤”“≠”表示不等關(guān)系的實(shí)例，如x是非負(fù)數(shù)，y是非正數(shù)，x與3的和不大于5等. 這樣既豐富了不等關(guān)系，也顯示了引入新不等號(hào)的必要性，使新符號(hào)與舊符號(hào)的包含關(guān)系得到了揭示，滲透了并集與補(bǔ)集的思想.

在引入新的不等符號(hào)時(shí)，筆者作了一定的說明. 如不大于、不超過、至多都表示“≤”;不小于、不少于、至少都表示“≥”等. 這樣，能讓學(xué)生在比較用自然語言表示不等關(guān)系與用不等式表示不等關(guān)系中，進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)語言的簡(jiǎn)潔美.

在課堂訓(xùn)練中，筆者引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)把不等式與等式分類，以韋恩圖的形式，把相應(yīng)的元素集中在框內(nèi)，以滲透分類與集合的思想. 為了強(qiáng)化學(xué)生應(yīng)用不等式的能力，筆者引入公路的限速標(biāo)記等，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)結(jié).

（四）立足教學(xué)難點(diǎn)設(shè)計(jì)探究性活動(dòng)

對(duì)于學(xué)生有認(rèn)知困難的學(xué)習(xí)內(nèi)容，教師應(yīng)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)其本質(zhì)或關(guān)系. 用不等式表示不等關(guān)系是本節(jié)課的難點(diǎn). 教學(xué)中，筆者精心設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，讓學(xué)生在比較異同中突破教學(xué)難點(diǎn).

探究活動(dòng)：某個(gè)城市某天的最高氣溫是20℃，最低氣溫是5℃，如何表示當(dāng)天的氣溫范圍呢？筆者先讓學(xué)生嘗試自己表示，然后進(jìn)行小組討論，最后收集各小組的意見，不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的表示形式各不相同，如t≥5，t≤20;t=5-20;20≥t≥5;5≤t≤20等. 對(duì)于第一種表示方法，中間應(yīng)加“且”字以強(qiáng)調(diào)兩個(gè)條件同時(shí)滿足;第二種表示方法屬于等式范疇;第三種與第四種表示方法比較簡(jiǎn)明，屬于數(shù)學(xué)語言. 在進(jìn)一步比較第三種與第四種表示方法的優(yōu)劣中，學(xué)生聯(lián)想到數(shù)軸上左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)，認(rèn)為第四種表示方法更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在統(tǒng)一性與一致性，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的有效統(tǒng)一.

（五）立足拓展延伸給學(xué)生以啟迪

一節(jié)好的數(shù)學(xué)課應(yīng)使學(xué)生的思維得到不斷的發(fā)展，而不是就此終結(jié). 為此，筆者在課堂練習(xí)中設(shè)計(jì)了這樣的一道題：用甲、乙兩種原料配制成某種飲料，已知這兩種原料的維生素C的含量及購(gòu)買這兩種原料的價(jià)格如下表.

（1）現(xiàn)配制這種飲料9千克，要求至少含有4000單位的維生素C，試寫出所需甲種原料的質(zhì)量x（kg）應(yīng)滿足的不等式;

（2）如果還要求甲、乙兩種原料的費(fèi)用不超過70元，試寫出x（kg）應(yīng)滿足的另一個(gè)不等式.

這是下一節(jié)課要研究的課題，給學(xué)生后續(xù)的研究指明了方向，也從另一個(gè)側(cè)面說明，用數(shù)學(xué)語言表示實(shí)際問題，是為了更好地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題.

通過本次教學(xué)，筆者認(rèn)為，只有對(duì)教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)對(duì)象深入分析與研究，精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程，才能構(gòu)建出高質(zhì)有效的教學(xué)課堂，促進(jìn)學(xué)生的核心素養(yǎng)生成.

參考文獻(xiàn)：

[1]袁樂. 基于“三個(gè)理解”的“生活中的不等式”教學(xué)設(shè)計(jì)[J]. 福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（09）：17-20.

[2]周秀梅. 初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)要重視教學(xué)分析——以七年級(jí)下“生活中的不等式”為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2020（03）：42-43+51.