顧文佳

一般地，有關(guān)直線與圓問題的運(yùn)算量較大.為了減少運(yùn)算量，在解答有關(guān)直線與圓的問題時(shí)，常常需借助圖形來分析問題，以圖形的特征為切入點(diǎn)，根據(jù)圖形的特征、性質(zhì)來尋找解題的思路.下面結(jié)合實(shí)例，談一談如何借助圖形來求解直線與圓問題.

一、從角平分線的特征入手

從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)完全相同的角，這條射線叫做這個(gè)角的角平分線.那么角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等.這是角平分線的一個(gè)重要性質(zhì).有些直線與圓問題中涉及了角的平分線，此時(shí)可根據(jù)題意畫出圖形，從角平分線的特征入手，根據(jù)角平分線的性質(zhì)建立有關(guān)角、距離的等量關(guān)系，求得問題的答案.

例1.已知在△ABC中，點(diǎn)A（-1，5），∠B和∠C的平分線所在直線的方程分別為x-y+2=0和y=2，求△ABC的面積.

解：由圖1可知點(diǎn)A關(guān)于直線x-y+2=0的對稱點(diǎn)A′必在直線BC上，點(diǎn)A關(guān)于直線y=2的對稱點(diǎn)A″也必在直線BC上.

設(shè)點(diǎn)A″（x₂，y₂），則x₂=-1，y₂=-1

所以點(diǎn)A″（-1，-1）.

又直線BC經(jīng)過點(diǎn)A′（3，1）

所以直線BC的方程為x-2y-1=0.

所以點(diǎn)B（-5，-3）;

所以點(diǎn)C（5，2）.

三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)是三角形的內(nèi)心（即內(nèi)切圓的圓心），由角平分線的性質(zhì)可知該交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，所以可以斷定點(diǎn)A關(guān)于∠B的平分線的對稱點(diǎn)必在直線BC上，點(diǎn)A關(guān)于∠C的平分線的對稱點(diǎn)也必在直線BC上，據(jù)此建立方程組，便可求得B、C的坐標(biāo)和三角形的面積.

二、從圓的特征入手

在一個(gè)平面內(nèi)，圍繞一個(gè)點(diǎn)并以一定長度為半徑旋轉(zhuǎn)一周所形成的封閉曲線叫做圓.圓的性質(zhì)很多，如圓是軸對稱、中心對稱圖形;等弦所對的圓周角相等或相補(bǔ);直徑所對的圓周角為直角;切點(diǎn)與圓心的連線與切線垂直;圓心到切線的距離等于半徑;等等.在解答有關(guān)直線與圓的問題時(shí)，可從圓的特征入手，結(jié)合圖形明確圓心、切點(diǎn)、切線、直徑等及其位置關(guān)系，根據(jù)圓的性質(zhì)建立關(guān)系式，再靈活運(yùn)用圓的方程、直線的方程、點(diǎn)到直線的距離公式、勾股定理等來解題.

例2.已知點(diǎn)B（1，1）是圓O：x²+y²=4內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，且∠PBQ=90°，求線段PQ的中點(diǎn)N的軌跡方程.

解：根據(jù)題意畫出如圖2所示的圖形，連接BN， ON， OQ.

因?yàn)镹是線段PQ的中點(diǎn)，

因?yàn)椤螾BQ=90°，且N是線段PQ的中點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)N（x，y），則x²+y²+（x-1）²+（y-1）²=4

化簡得x²+y²-x-y-1=0.

故線段PQ的中點(diǎn)N的軌跡方程為x²+y²-x-y-1=0.

一般地，若已知點(diǎn)A，B在圓C上，弦AB的中點(diǎn)為M（如圖3），由圓的性質(zhì)：切點(diǎn)與圓心的連線與切線垂直可得AB⊥CM，所以△AMC和△BMC都是直角三角形. 從圓的性質(zhì)入手，找出圖形中的直角三角形，運(yùn)用勾股定理建立關(guān)系式，即可得到動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程.

三、從中垂線的特征入手

經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，又稱“中垂線”.中垂線的性質(zhì)主要有：（1）中垂線垂直且平分其所在的線段;（2）中垂線上的任意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等.在解答兩圓相交問題或者圓中弦問題時(shí)，可從兩圓公共弦的中垂線入手，根據(jù)中垂線的性質(zhì)，找到垂直關(guān)系或等量關(guān)系，便可快速解題.

例3.求圓心在直線3x+4y-1=0上，且經(jīng)過兩圓x²+y²-x+y-2=0與x²+y²=5的交點(diǎn)的圓的方程.

解：記圓C₁：x²+y²-x+y-2=0，

設(shè)兩圓相交于點(diǎn)A，B，根據(jù)兩圓的方程可知直線AB的方程為x-y-3=0，

易知公共弦AB的中垂線為C₁C₂，

所以公共弦AB的中垂線方程為y=-x.

設(shè)所求圓的圓心為C，根據(jù)題意可知圓心C就是直線3x+4y-1=0與y=-x的交點(diǎn).

所以圓心C的坐標(biāo)為（-1，1）.

故圓的方程為（x+1）²+（y-1）²=13.

由于直線與圓問題都與平面圖形有關(guān)，所以在分析、解答問題時(shí)，應(yīng)將數(shù)形結(jié)合起來，借助圖形來分析問題，這樣有利于提升解題的效率.從“形”入手，便于挖掘圖形的特征;然后根據(jù)圖形的特征、性質(zhì)建立關(guān)系式，即可通過“數(shù)”獲得問題的答案.6D5550D2-61F0-48AE-954F-357FF8B98DB2