摘? 要? “圓柱與圓錐”是小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)的重要內(nèi)容。為幫助學(xué)生學(xué)習(xí)平面與圓柱、圓錐相交界面形狀的相關(guān)知識(shí)，運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)手段，將SolidWorks應(yīng)用于課堂教學(xué)，在旋轉(zhuǎn)實(shí)體建?；A(chǔ)上，運(yùn)用剖面視圖講解相交界面形狀特點(diǎn)，幫助學(xué)生了解平面圖形與立體圖形之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)換，發(fā)展學(xué)生空間想象能力，幫助學(xué)生建立空間觀念。

關(guān)鍵詞? 小學(xué)數(shù)學(xué)；圓柱與圓錐；平面；SolidWorks；數(shù)字化教學(xué)手段

中圖分類號(hào)：G623.5? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1671-489X（2022）21-0055-04

0? 引言

圖形與幾何的學(xué)習(xí)有助于提高學(xué)生的空間想象能力，是提升學(xué)生空間認(rèn)知的重要途徑，有助于學(xué)生解決生活中遇到的問(wèn)題。圓柱與圓錐是小學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的專題，也是以后學(xué)習(xí)和認(rèn)識(shí)其他立體圖形的基礎(chǔ)。但是該部分知識(shí)教學(xué)中，相關(guān)概念展示不直觀、教學(xué)手段陳舊，制約了教學(xué)效果的優(yōu)化，引起相關(guān)人員的重視[1-3]。林同孟[1]針對(duì)小學(xué)高年級(jí)學(xué)生對(duì)立體圖形學(xué)習(xí)不樂(lè)觀的實(shí)際情況，深入分析立體圖形學(xué)習(xí)存在問(wèn)題的原因，指出直觀演示不到位、學(xué)生動(dòng)手操作機(jī)會(huì)少、想象方法指導(dǎo)不明確等因素，不利于學(xué)生學(xué)習(xí)立體圖形的概念知識(shí)，并從鉆研教材、優(yōu)化方法、改變?cè)u(píng)價(jià)方式等角度，提出立體圖形的教學(xué)建議。胡建華[2]針對(duì)部分?jǐn)?shù)學(xué)幾何概念抽象，不便于理解等問(wèn)題，利用信息化教學(xué)手段，以“圓”“圓錐”等內(nèi)容教學(xué)為例，將Flash技術(shù)應(yīng)用到小學(xué)數(shù)學(xué)的課件設(shè)計(jì)與開(kāi)發(fā)中。江錫晨[3]針對(duì)小學(xué)幾何概念學(xué)習(xí)的實(shí)際需求，開(kāi)發(fā)相應(yīng)的教學(xué)支持工具，便于幾何概念知識(shí)的展示。

由此可以看出，更新教學(xué)方法，利用數(shù)字化教學(xué)手段，已經(jīng)成為增強(qiáng)小學(xué)高年級(jí)學(xué)生對(duì)立體圖形學(xué)習(xí)效果的重要途徑之一。特別是涉及平面與圓柱體和圓錐體相交的問(wèn)題，需要培養(yǎng)學(xué)生的空間推理能力，抽象度高，不易直觀展現(xiàn)相關(guān)概念，是教學(xué)過(guò)程中的難點(diǎn)。如果不采用先進(jìn)的數(shù)字化展現(xiàn)手段，很難將立體圖形的構(gòu)建過(guò)程、平面與圓柱體和圓錐體相交面構(gòu)成變化過(guò)程動(dòng)態(tài)直觀地展現(xiàn)，而這些細(xì)節(jié)恰恰是學(xué)生形成立體圖形的概念認(rèn)知、培養(yǎng)空間思維的關(guān)鍵。

為提高學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量，筆者嘗試運(yùn)用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)三維建模軟件SolidWorks，借助軟件系統(tǒng)中的旋轉(zhuǎn)立體建模功能，展現(xiàn)圓柱、圓錐的動(dòng)態(tài)構(gòu)建過(guò)程，借助軟件系統(tǒng)中的剖面視圖功能，展現(xiàn)相交面的產(chǎn)生與形狀特點(diǎn)，起到突破難點(diǎn)、突出重點(diǎn)的作用，收到很好的教學(xué)效果。

1? “圓柱與圓錐”教學(xué)難點(diǎn)分析

圓柱與圓錐的基本概念對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)并不陌生，但是從數(shù)學(xué)概念的角度，直觀地展現(xiàn)圓柱與圓錐的形成原理與過(guò)程，并不是一件容易的事情。通常，有兩種方法可以輔助該知識(shí)點(diǎn)的講解：

一是教師攜帶圓錐或圓柱的立體模型，通過(guò)語(yǔ)言的描述，結(jié)合模型的展示，用于概念知識(shí)的講解；

二是可采取將特定的形狀粘在木棒上，通過(guò)快速旋轉(zhuǎn)木棒，讓學(xué)生觀察旋轉(zhuǎn)出來(lái)的視覺(jué)效果，以推斷所形成的圖形特征。

上述方法可以幫助學(xué)生思考，并取得一定的教學(xué)效果。但是，由于示范模型不易變換，且較難展現(xiàn)成形過(guò)程，因此存在一定的短板，展示效果不夠理想。通過(guò)分析可以看出，目前該部分內(nèi)容的課堂授課缺少生動(dòng)有效的輔助手段，特別是個(gè)別題目類型中涉及特定平面與圓柱、圓錐相交平面形狀的推導(dǎo)，需要逐步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，對(duì)教學(xué)過(guò)程提出挑戰(zhàn)。

空間體和平面相交得到的輪廓形狀，是由空間體與平面接觸的邊界決定的，這種構(gòu)圖是一個(gè)嚴(yán)格的科學(xué)過(guò)程，如圖1所示。該過(guò)程有一定的抽象性，是教學(xué)過(guò)程中的難點(diǎn)。針對(duì)該教學(xué)目標(biāo)要求，教師迫切需要積極探索新的數(shù)字化教學(xué)手段，應(yīng)用數(shù)字化技術(shù)，助力增強(qiáng)課堂教學(xué)效果。

在教學(xué)過(guò)程中運(yùn)用信息化教學(xué)手段，可以直觀形象地表達(dá)圓柱與圓錐的成形過(guò)程，實(shí)時(shí)展現(xiàn)其與平面相交的截面變化，促進(jìn)學(xué)生空間想象能力的發(fā)展，是對(duì)教學(xué)手段與知識(shí)傳授方法的一種創(chuàng)新。

2? SolidWorks軟件系統(tǒng)在“圓柱與圓錐”課程中的應(yīng)用

SolidWorks是達(dá)索公司的一款產(chǎn)品數(shù)字化建模軟件，可以構(gòu)建機(jī)械產(chǎn)品的零件、裝配體的參數(shù)化模型。隨著創(chuàng)客教育、3D打印技術(shù)在基礎(chǔ)教育階段的應(yīng)用，SolidWorks系統(tǒng)也逐漸進(jìn)入小學(xué)數(shù)學(xué)教育的視野[4]。在實(shí)體構(gòu)形方面，該軟件提供了若干方便的操作方法，如“拉伸”“旋轉(zhuǎn)”等命令，可以快速通過(guò)平面圖形獲得立體圖形。同時(shí)，可以通過(guò)不同的視角觀察立體圖形。

2.1? “圓柱與圓錐”的成形過(guò)程展示

針對(duì)“圓柱與圓錐”課程中的授課要求，動(dòng)態(tài)展現(xiàn)基本形體的成形過(guò)程，有助于學(xué)生對(duì)基本概念的理解，建立空間認(rèn)知。利用基本建模模塊中的部分建模功能來(lái)完成。

“拉伸”與“旋轉(zhuǎn)”是實(shí)體建模的基本方法。“拉伸”實(shí)體建模是指在特定的平面內(nèi)構(gòu)建一個(gè)圖形，并將該圖形沿著垂直于該圖形平面的方向進(jìn)行延展，從而形成實(shí)體的方法。“旋轉(zhuǎn)”實(shí)體建模主要是在一個(gè)平面內(nèi)構(gòu)建一個(gè)圖形，并讓該圖形繞特定旋轉(zhuǎn)軸線旋轉(zhuǎn)，從而得到相應(yīng)實(shí)體的一種建模方法。

對(duì)于“圓柱與圓錐”來(lái)說(shuō)，結(jié)合相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的講解需要，可以采用“旋轉(zhuǎn)”實(shí)體建模的方法。以圓柱體為例，說(shuō)明旋轉(zhuǎn)實(shí)體建模方法，直觀展現(xiàn)圓柱體的構(gòu)形過(guò)程。從旋轉(zhuǎn)的角度認(rèn)識(shí)圓柱，感受平面圖形與立體圖形的轉(zhuǎn)換，感受長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬與圓柱的底面半徑、高之間的關(guān)系。但在實(shí)際教學(xué)中，因受學(xué)生空間想象能力限制，實(shí)際效果并不理想。SolidWorks軟件系統(tǒng)可以很好地解決這一問(wèn)題。

如圖2所示，選擇一基準(zhǔn)面，繪制一個(gè)基準(zhǔn)線，即旋轉(zhuǎn)軸線，其通常為點(diǎn)劃線形式。在旋轉(zhuǎn)軸的一側(cè)繪制一個(gè)矩形，即成形基礎(chǔ)面，可以通過(guò)尺寸標(biāo)注，確定矩形的長(zhǎng)度與寬度。在“旋轉(zhuǎn)”建模功能選項(xiàng)中，通過(guò)增值按鈕，控制旋轉(zhuǎn)角度的大小，將旋轉(zhuǎn)角度由0°開(kāi)始逐步連續(xù)增加，同時(shí)可以在右側(cè)的視圖區(qū)域展現(xiàn)矩形邊界繞旋轉(zhuǎn)軸動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程。該示例是以矩形的寬為半徑，以矩形的長(zhǎng)為高，形成一個(gè)圓柱體。不僅能看到圓柱面的形成過(guò)程，包括圓柱上頂面、下底面的形成，也非常直觀。當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度逐漸增大，其形成的扇面也逐漸增大，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度為360°時(shí)，圓柱上頂面與下底面構(gòu)成完整的圓形，這時(shí)也形成一個(gè)完整、封閉的圓柱面。當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度為270°時(shí)，見(jiàn)圖2，圓柱上頂面與下底面構(gòu)成一個(gè)圓心角為270°的扇形，圓柱面未封閉，而缺口處的形狀恰恰是成形的基礎(chǔ)面——矩形。這個(gè)展現(xiàn)過(guò)程十分直觀，將圓柱體的形成原理以及涉及的成形基礎(chǔ)面、旋轉(zhuǎn)軸線、旋轉(zhuǎn)角度等成形參量之間的關(guān)系，十分清楚地展現(xiàn)出來(lái)，便于學(xué)生理解。

同理，圓錐體的形成也可以用相同的過(guò)程實(shí)現(xiàn)，如圖3所示。選擇一基準(zhǔn)面，繪制一個(gè)基準(zhǔn)線作為旋轉(zhuǎn)軸。在旋轉(zhuǎn)軸的一側(cè)繪制一個(gè)三角形，即成形基礎(chǔ)面，可以通過(guò)尺寸標(biāo)注，確定三角形的三條邊長(zhǎng)。在“旋轉(zhuǎn)”建模功能選項(xiàng)中，通過(guò)增值按鈕，控制旋轉(zhuǎn)角度的大小，將旋轉(zhuǎn)角度由0°開(kāi)始逐步連續(xù)增加，同時(shí)可以在右側(cè)的視圖區(qū)域展現(xiàn)三角形邊界繞著旋轉(zhuǎn)軸動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程。三角形中的三條邊分別形成圓錐底面的半徑、圓錐的高和圓錐的母線。

上述過(guò)程，動(dòng)態(tài)、直觀地展示了圓柱與圓錐的構(gòu)建過(guò)程，學(xué)生能夠感受到平面圖形與立體圖形之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，能夠清楚地認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬與圓柱的底面半徑、高之間的關(guān)系，以及三角形不同邊與圓錐底面的半徑、圓錐的高和母線之間的關(guān)系。教師可以通過(guò)軟件操作，控制知識(shí)點(diǎn)講授的節(jié)奏，同時(shí)可以通過(guò)讓學(xué)生操作的方式，提升學(xué)生學(xué)習(xí)的參與度，促進(jìn)學(xué)生對(duì)于知識(shí)的理解與學(xué)習(xí)。

2.2? 平面與立體圖形的相交面展示

對(duì)于平面與立體圖形相交問(wèn)題的講授，利用SolidWorks軟件中的“剖面視圖”功能，直觀展示相交圖形的變化過(guò)程，如圖4、圖5所示。“剖面視圖”功能是通過(guò)選擇基準(zhǔn)平面，并動(dòng)態(tài)調(diào)整基準(zhǔn)平面的空間位置，實(shí)時(shí)顯示基準(zhǔn)面與立體實(shí)體相交界面形狀的一個(gè)功能。

如圖4所示，對(duì)于圓柱體，如果選擇“右視基準(zhǔn)面”作為剖切面，選擇“剖面視圖”功能圖標(biāo)，通過(guò)拖動(dòng)箭頭，動(dòng)態(tài)改變“右視基準(zhǔn)面”的空間位置，當(dāng)“右視基準(zhǔn)面”距離圓柱底面圓心的距離大于底面圓的半徑時(shí)，其與圓柱體不相交，不形成截面；當(dāng)“右視基準(zhǔn)面”距離圓柱底面圓心的距離等于底面圓的半徑時(shí)，其與圓柱體相切，形成“線”接觸；當(dāng)“右視基準(zhǔn)面”距離圓柱底面圓心的距離小于底面圓的半徑時(shí)，其與圓柱體相交，形成截面，其相交平面的形狀——矩形——也在動(dòng)態(tài)變化，當(dāng)剖切面經(jīng)過(guò)底面的圓心時(shí)，得到的矩形面積是最大的。當(dāng)剖切面離開(kāi)底面的圓心時(shí)，相交平面的矩形形狀面積也在逐漸變小。

如果選擇“上視基準(zhǔn)面”作為剖切面，通過(guò)拖動(dòng)箭頭，動(dòng)態(tài)改變“上視基準(zhǔn)面”的空間位置，相交平面的形狀為圓形，在相交區(qū)域內(nèi)，其形狀及面積的大小均沒(méi)有變化。

如圖5所示，對(duì)于圓錐體，如果選擇“右視基準(zhǔn)面”作為剖切面，選擇“剖面視圖”功能圖標(biāo)，通過(guò)拖動(dòng)箭頭，動(dòng)態(tài)改變“右視基準(zhǔn)面”的空間位置，其相交面的輪廓有變化：當(dāng)“右視基準(zhǔn)面”通過(guò)底面圓心時(shí)，得到的相交面形狀是三角形；當(dāng)“右視基準(zhǔn)面”離開(kāi)圓心時(shí)，其截面部分輪廓出現(xiàn)曲線的形狀。盡管這超出小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)與知識(shí)點(diǎn)范圍，但是這個(gè)動(dòng)態(tài)展示過(guò)程會(huì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并促進(jìn)其空間想象力的培養(yǎng)。當(dāng)“右視基準(zhǔn)面”距離圓錐底面圓心的距離大于圓心半徑時(shí)，不再形成相交截面。如果選擇“上視基準(zhǔn)面”作為剖切面，通過(guò)拖動(dòng)箭頭，動(dòng)態(tài)改變“上視基準(zhǔn)面”的空間位置，相交平面的形狀為圓形，其形狀大小發(fā)生改變，剖切面越接近頂點(diǎn)，截面圓的輪廓越小。

2.3? 習(xí)題講解中的應(yīng)用

在小學(xué)高年級(jí)階段，認(rèn)識(shí)二維圖形與三維圖形之間的內(nèi)在關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)于圓柱與圓錐組合形態(tài)的認(rèn)知，是經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容。通常需要學(xué)生在理解形體基本概念和特征的基礎(chǔ)上，能夠在不同二維圖形的基礎(chǔ)上，結(jié)合空間想象與推理過(guò)程，準(zhǔn)確判斷二維圖形圍繞特定軸線旋轉(zhuǎn)后生成的三維幾何形體。

結(jié)合數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)（人民教育出版社）的第35頁(yè)習(xí)題，講解二維圖形與三維圖形轉(zhuǎn)換過(guò)程。如圖6所示，有四種基本的二維圖形，包括矩形、三角形以及矩形與三角形的兩種組合圖形。它們各自圍繞旋轉(zhuǎn)軸線進(jìn)行轉(zhuǎn)換，會(huì)得到什么立體圖形？根據(jù)前面的介紹，可以非常方便直觀地展示出：矩形以一條邊為軸，旋轉(zhuǎn)后可以得到圓柱體的形狀；三角形以一直角邊為軸線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，可以得到圓錐形狀；當(dāng)直角三角形與矩形組合在一起，三角形的一直角邊與矩形的寬相等，其沿著軸線旋轉(zhuǎn)后得到圓柱體與圓錐體的組合體形狀；當(dāng)三角形以長(zhǎng)邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)后得到的是兩個(gè)同底圓錐組合體。通過(guò)三維圖形的成形過(guò)程展示，很容易建立二維圖形與三維圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

這種教學(xué)方法與數(shù)字化教學(xué)手段的結(jié)合，使模型的制作具有很強(qiáng)的柔性，可以根據(jù)備課的需要，建立各種圖形特征，輔助知識(shí)點(diǎn)的講解，降低制作模型的成本，提高模型展示過(guò)程的便捷性與教學(xué)過(guò)程的數(shù)字化程度。在課堂授課過(guò)程中，根據(jù)學(xué)生的課堂需要，即時(shí)構(gòu)建特定的二維圖形，以及各種圖形的組合，進(jìn)行三維構(gòu)圖的展示，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生積極參與課堂授課過(guò)程，有助于學(xué)生對(duì)概念的理解，增強(qiáng)教學(xué)效果。

3? 結(jié)束語(yǔ)

小學(xué)階段是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維、提升空間認(rèn)知能力的關(guān)鍵階段，根據(jù)培養(yǎng)目標(biāo)要求，探索數(shù)字化教學(xué)方法與數(shù)字化教學(xué)輔助工具，對(duì)于增強(qiáng)教學(xué)效果十分必要?！皥A柱與圓錐”等立體圖形的學(xué)習(xí)，是小學(xué)高年級(jí)階段重點(diǎn)考查的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，也是提升小學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的關(guān)鍵，一直被教育界所重視。針對(duì)“圓柱與圓錐”知識(shí)授課過(guò)程中概念知識(shí)直觀展示力度弱、教學(xué)過(guò)程缺乏有力的數(shù)字教學(xué)手段等問(wèn)題，筆者將計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)三維建模軟件SolidWorks作為教學(xué)工具引入課堂教學(xué)環(huán)節(jié)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)實(shí)體建模與“剖面視圖”功能，為學(xué)生講解圓柱與圓錐的構(gòu)成及其與平面相交時(shí)的截面特點(diǎn)，探索信息化教學(xué)手段的新途徑，有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力，突破教學(xué)難點(diǎn)。該方法具有簡(jiǎn)單易用、模型構(gòu)建柔性大、適應(yīng)性強(qiáng)、展示過(guò)程直觀等特點(diǎn)，在教學(xué)過(guò)程中取得很好的效果。

參考文獻(xiàn)

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[4] 李潔.SolidWorks軟件在觀察物體教學(xué)中的應(yīng)用[J].中國(guó)教育技術(shù)裝備，2020（9）：32-33，44.

*項(xiàng)目來(lái)源：濟(jì)南市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題（編號(hào)：145C073）。

作者：楊潤(rùn)輝，濟(jì)南市濱河小學(xué)，一級(jí)教師，研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)（250031）。