陳云，臧朝平，楊志強(qiáng)

(南京航空航天大學(xué) 能源與動力學(xué)院，江蘇 南京 210016)

0 引言

航空發(fā)動機(jī)中的許多連接結(jié)構(gòu)對發(fā)動機(jī)的動力學(xué)特性有很大的影響，比如機(jī)匣螺栓連接、轉(zhuǎn)子套齒連接等[1]。在對航空發(fā)動機(jī)整機(jī)動力學(xué)特性分析時(shí)，前人大都將連接作為剛性處理，這樣會增加整機(jī)模型的總體剛度，不符合實(shí)際發(fā)動機(jī)結(jié)構(gòu)特性，嚴(yán)重影響整機(jī)模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性的吻合程度。在早期設(shè)計(jì)階段，沒有物理樣機(jī)，無法準(zhǔn)確建立連接模型，也就無法獲取連接參數(shù)，故連接建模難度非常大。

針對螺栓連接結(jié)構(gòu)，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了一系列探索研究，發(fā)現(xiàn)連接對結(jié)構(gòu)的剛度和阻尼有很大的影響，尤其是金屬結(jié)構(gòu)，其產(chǎn)生的阻尼可以達(dá)到材料阻尼的10～100倍[2-3]。KIM J等[4]研究了基于彈簧阻尼法的螺栓接觸分析法；SONG Y等[5]研究了采用梁單元模擬螺栓連接的方法；AHMADIAN H等[6]采用薄層單元法，將連接結(jié)構(gòu)的接觸法蘭面等效為厚度很薄的實(shí)體單元，建立動力學(xué)建模，并利用優(yōu)化算法對薄層材料參數(shù)進(jìn)行了修正。馬雙超[7]在模擬螺栓連接時(shí)，采用了薄層單元建模的方法，通過調(diào)整薄層單元的材料參數(shù)來識別連接處的實(shí)際剛度。孫衍山等[8]研究了螺栓預(yù)緊力、螺栓分布和螺栓數(shù)量對機(jī)匣抗彎剛度和振動頻率的影響。姚星宇等[9]提出了航空發(fā)動機(jī)復(fù)雜螺栓連接結(jié)構(gòu)的連接剛度理論表達(dá)式,并進(jìn)一步研究了航空發(fā)動機(jī)螺栓連接載荷、結(jié)構(gòu)參數(shù)對連接剛度的影響規(guī)律。劉宗魁[10]運(yùn)用分區(qū)薄層單元模擬航空發(fā)動機(jī)機(jī)匣螺栓連接結(jié)構(gòu)。劉丁[11]通過建模仿真驗(yàn)證了薄層單元法在建模仿真中的可行性。目前，螺栓連接采用薄層單元建模的方式得到了一定的認(rèn)可，但是AHMADIAN H、劉宗魁等人建立的均為實(shí)體薄層單元，機(jī)匣連接件建模采用實(shí)體薄層會導(dǎo)致機(jī)匣軸向位置發(fā)生微量偏移，連接機(jī)匣數(shù)量較多的情況下偏移量會不斷累積，最終造成整機(jī)軸向位置定位出現(xiàn)較大誤差。為避免這個(gè)誤差的出現(xiàn)，本文研究了薄層單元建模原理，提出虛擬薄層單元法代替實(shí)體薄層單元法完成機(jī)匣連接建模，并用相關(guān)分析理論驗(yàn)證了虛擬薄層單元法的可靠性。

1 基本原理與方法簡介

1.1 薄層單元建模原理

本文采用8節(jié)點(diǎn)六面體單元建立實(shí)體薄層，如圖1(a)所示；4節(jié)點(diǎn)板殼單元建立虛擬薄層如圖1(b)所示。為便于計(jì)算引入局部坐標(biāo)系(ξ，η，ζ)。薄層單元內(nèi)任意節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為(Xi，Yi，Zi)，節(jié)點(diǎn)位移為(Ui，Vi，Wi)。

圖1 薄層單元

薄層單元的形函數(shù)為

(1)

薄層單元中任一點(diǎn)的位移可表示為

(2)

薄層單元內(nèi)任一點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為

(3)

形函數(shù)是在局部坐標(biāo)中建立的，在由單元節(jié)點(diǎn)位移求單元應(yīng)變時(shí)，需要求解形函數(shù)在總體坐標(biāo)中的導(dǎo)數(shù)，因而需要將局部坐標(biāo)中的形函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)中，由偏微分法則得

(4)

(5)

對于尺寸為l1×l2×d的薄層單元，根據(jù)虛位移原理得到其虛功方程

(6)

式中：l1、l2分別是薄層單元x和y方向的長度；d是薄層單元在局部坐標(biāo)系z方向的厚度；K是通過等參變換得到的在自然坐標(biāo)系ξ、η、ζ下的單元?jiǎng)偠染仃嚒Ｐ枰獙Ψe分的單元體積進(jìn)行變換，根據(jù)微分知識可得

(7)

式中i、j、k分別是沿x、y、z方向的單位矢量。微元體的體積可由dξ，dη，dζ的矢量混合積求得：

dV=dξ(dη×dζ)=|J|dξdηdζ

(8)

進(jìn)而可得單元?jiǎng)偠染仃嚨谋磉_(dá)式為

(9)

式中K是雅克比矩陣。由局部坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到自然坐標(biāo)的等參變換得到，二者方向一致時(shí)J的表達(dá)式為

(10)

根據(jù)高斯積分，剛度矩陣K的表達(dá)式為

det([J(ξi，ηj，ζk)])wξ，iwη，jwζ，k

(11)

式中wξ,i、wη,j、wζ,k是高斯積分權(quán)函數(shù)。

假設(shè)薄層單元厚度d遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于長度l1和寬度l2，相關(guān)研究表明當(dāng)厚度d趨近于0時(shí)單元應(yīng)變(εx,εy,εxy)和單元應(yīng)力(δx,δy,δxy)可以忽略。此時(shí)可以把接觸面法向{e}n和接觸面切向{e}Tx，{e}Ty分別定義為局部坐標(biāo)，x、y和z的方向。同理，應(yīng)力δz、δxz和δyz分別對應(yīng)tn、tTx和tTy；應(yīng)變εz、2εxz和2εyz分別對應(yīng)εn、γTx和γTy，則本構(gòu)方程可以轉(zhuǎn)化為

(12)

式中En和GT分別是彈性模量和切變模量。對于各向同性材料，En和GT之間的關(guān)系式為

(13)

1.2 相關(guān)分析理論

相關(guān)分析是用于評價(jià)有限元模型預(yù)測的結(jié)果與參考數(shù)據(jù)的接近程度，從而確定有限元結(jié)果和參考數(shù)據(jù)對應(yīng)的模態(tài)對，可用以驗(yàn)證有限元模型的可靠性。模態(tài)置信準(zhǔn)則(modal assurance criterion，MAC)，是工程上應(yīng)用最為廣泛的模態(tài)相關(guān)性分析方法。MAC基于模態(tài)向量之間的加權(quán)正交性，通過計(jì)算兩個(gè)模態(tài)向量之間夾角余弦值的平方來判斷模態(tài)對，其定義如下：

(14)

式中：φr和φq分別代表第r階和第q階模態(tài)向量；*代表共軛轉(zhuǎn)置。MAC值介于0～1之間，其>0.9說明兩個(gè)模態(tài)向量有很好的一致性，兩階對應(yīng)的模態(tài)為相關(guān)的模態(tài)對；若接近0則說明兩階模態(tài)向量有較大的差異，不是對應(yīng)模態(tài)。在工程中，若兩階模態(tài)的MAC值>0.6，就可認(rèn)為二者是相關(guān)模態(tài)對。

2 機(jī)匣薄層單元連接建模

2.1 機(jī)匣連接簡化模型

機(jī)匣螺栓連接簡化模型如圖 2所示，上安裝法蘭1與下安裝法蘭3通過螺栓2a連接。實(shí)體薄層單元的簡化模型如圖 3(a)所示，上安裝法蘭1與下安裝法蘭3通過實(shí)體薄層2b連接。虛擬薄層單元的簡化模型如圖 3(b)所示，上安裝法蘭1與下安裝法蘭3通過虛擬薄層2c連接。薄層單元連接結(jié)構(gòu)的各部分的軸向剛度表達(dá)式為

圖2 螺栓連接簡化模型

圖3 薄層連接簡化模型

(15)

式中：Ei為被連接件的彈性模量；Ai為有效橫截面積；Li為結(jié)構(gòu)的軸向長度。

把上安裝法蘭1、薄層單元2b(2c)和下安裝法蘭3視為串聯(lián)的彈簧結(jié)構(gòu)，可得薄層單元連接結(jié)構(gòu)的軸向剛度表達(dá)式為

(16)

由式(15)和式(16)可得薄層等效彈性模量

(17)

式中：k為螺栓連接剛度，具體的計(jì)算方法可參照文獻(xiàn)[9]；k1、k3為安裝法蘭的軸向剛度；A2是薄層與法蘭的接觸面積；L2是薄層的厚度。

2.2 機(jī)匣連接有限元模型

航空發(fā)動機(jī)機(jī)匣大多是帶有凸臺、凹槽或者肋板等細(xì)節(jié)特征的薄壁圓筒結(jié)構(gòu)。建立機(jī)匣連接結(jié)構(gòu)有限元模型時(shí)，忽略這些細(xì)節(jié)特征可以有效提高計(jì)算效率。本文建立的機(jī)匣虛擬薄層連接有限元模型如圖 4所示。機(jī)匣與薄層均為各向同性材料，彈性模量為210GPa，密度為7 800kg/m3，泊松比為0.3。根據(jù)參考文獻(xiàn)[9]，薄層單元厚度均設(shè)置為1mm。實(shí)體薄層連接的機(jī)匣將產(chǎn)生1mm的軸向位置偏移，虛擬薄層連接的機(jī)匣可以有效地避免這個(gè)誤差，而且虛擬薄層的厚度可以設(shè)置為實(shí)常數(shù)，修改實(shí)常數(shù)值能夠方便快捷地研究薄層厚度的改變對連接剛度的影響。

圖4 機(jī)匣虛擬薄層連接有限元模型

3 相關(guān)分析

對兩種薄層連接模型分別計(jì)算自由狀態(tài)下前5階模態(tài)，忽略重模態(tài)，得到的各階模態(tài)頻率如表 1所示。可見與實(shí)體薄層連接模型比較，虛擬薄層連接模型各階頻率有所降低，最大誤差為-4.5%，最小誤差為-0.1%。如圖 5所示，兩種模型各階匹配模態(tài)振型基本一致，振型相關(guān)性較好。前5階主要是后面機(jī)匣的節(jié)徑振動，隨著頻率的增大，節(jié)徑數(shù)逐漸增多。連接處未出現(xiàn)局部振動模態(tài)，說明薄層連接剛性足夠，與實(shí)際螺栓連接情況相符。如圖 6所示，各階MAC值均>0.8，說明兩種連接模型接近程度非常高。

表1 機(jī)匣實(shí)體/虛擬薄層連接模型前5階頻率

圖5 機(jī)匣實(shí)體/虛擬薄層連接模型前5階振型

圖6 薄層連接模型相關(guān)分析MAC值

4 結(jié)語

本文針對航空發(fā)動機(jī)機(jī)匣螺栓連接結(jié)構(gòu)建模方法展開研究。在實(shí)體薄層基礎(chǔ)上，提出虛擬薄層代替螺栓連接的建模方法，并用相關(guān)分析理論驗(yàn)證虛擬薄層連接模型的可靠性。研究結(jié)果表明：虛擬薄層單元法建立的連接模型比實(shí)體薄層單元法建立的連接模型各階頻率略有降低，最大誤差為-4.5%，各階模態(tài)MAC值均>0.8。該建模方法能較好地模擬機(jī)匣螺栓連接，并能有效避免實(shí)體薄層單元法所產(chǎn)生的機(jī)匣軸向位置偏移。虛擬薄層連接模型各階頻率偏低可能是虛擬薄層自身剛度偏低所致，后續(xù)可以對虛擬薄層的彈性模量進(jìn)行調(diào)整，減小頻率誤差，提高連接模型的可靠度。