異分母分式加減運算中的通分技巧

謝射紅

異分母分式的加減運算，一般是將異分母分式轉(zhuǎn)化為同分母分式，轉(zhuǎn)化過程中就需要通分.但由于分式的結(jié)構(gòu)特征不同，所運用的通分技巧也會有所差異.因此，同學(xué)們除了要掌握分式通分的一般方法外，還應(yīng)學(xué)會根據(jù)題目的具體情況，采取靈活多樣的通分技巧，從而達(dá)到避繁就簡的解題目的.

技巧一：先提負(fù)號，再通分

當(dāng)兩個異分母分式相加減時，若這兩個分式的分母互為相反數(shù)，則需要先把其中一個分式的分母負(fù)號提出，再將其轉(zhuǎn)化為相同的分母進(jìn)行通分化簡.

例1計算：+ .

分析：觀察本題分式的結(jié)構(gòu)，很容易看出題中兩個分式的分母互為相反數(shù)，因此在計算時要注意先提負(fù)號，再去通分計算.

原式= - =

例2計算：x 2+ 4x +2 x 2- 2x +1+2x +5 2x -1 - x 2.

分析：觀察本題分式的結(jié)構(gòu)，可知異分母 x 2- 2x +1與2x -1 - x 2其實是一對相反數(shù)，所以要注意先把其中一個分式的分母的負(fù)號提出，再進(jìn)行通分化簡，使之化為相同分母的分式.

解：原式= x 2+ 4x +2 x 2- 2x +1-2x +5 x 2- 2x +1 = x 2+ 4x +2-2x -5 x 2- 2x +1 = x 2+ 2x -3 x 2- 2x +1=（x -1）（x +3）（x -1）2 = x +3 x -1.

評注：在數(shù)學(xué)運算中，負(fù)號極易被忽略.所以，在異分母分式相加減時，同學(xué)們不要急于去通分，而是要先弄清兩個分式中的異分母是否互為相反數(shù)，若是，則要先提取負(fù)號，再通分.

技巧二：先分組，再通分

當(dāng)四個或四個以上的異分母分式相加減時，同學(xué)們可以觀察題目中各個分母之間是否存在一定的規(guī)律，如某種對稱關(guān)系.若分母之間有一定的關(guān)聯(lián)，則可以先按照某一標(biāo)準(zhǔn)將多個分式分好組，每組分別通分后，再整體通分.

例3計算：1 x +5-1 x +6-1 x +7+1 x +8.

分析：本題是四個異分母分式相加減，在通分前，需要先進(jìn)行分組.分組方式多樣，可以把兩個分式的分母相加，按照和相同的方式分組通分，也可以按照從小到大的順序，把分母相差為1的兩個分式組合起來再通分等.

解法1：把兩個分式的分母相加，按照和為13的方式分組通分.

原式=（ + ）-（ + ）

x +8+x +5x +7+x +6

=（x +5）（x +8）-（x +6）（x +7）

2x +132x +13

=（x +5）（x +8）-（x +6）（x +7）

（2x +13）（x +6）（x +7）

=（x +5）（x +8）（x +6）（x +7）-

（2x +13）（x +5）（x +8）

（x +5）（x +8）（x +6）（x +7）

（2x +13）（x2+13x +42-x2+13x -40）

=（x +5）（x +8）（x +6）（x +7）

4x +26

=（x +5）（x +8）（x +6）（x +7）.

解法2：把兩個分母相減，按照從小到大，分母相差為1的方式分組通分.

原式=（ - ）-（ - ）

x +6-x -5x +8-x -7

=（x +5）（x +6）-（x +7）（x +8）

11

=（x +5）（x +6）-（x +7）（x +8）

（x +7）（x +8）

=（x +5）（x +6）（x +7）（x +8）-

（x +5）（x +6）

（x +5）（x +6）（x +7）（x +8）

x2+15x +56-x2-11x -30

=（x +5）（x +6）（x +7）（x +8）

4x +26

=（x +5）（x +6）（x +7）（x +8）

評注：當(dāng)有四個（或以上）分母有大小順序的分式相加減時，可以先兩兩分成一組，分別通分后再把每組計算所得的分式加減.

技巧三：先換元，再通分

在進(jìn)行異分母分式加減時，若分式中存在相同部分，同學(xué)們不妨把相同部分設(shè)為新輔元，先換元，再進(jìn)行通分.這樣可以極大地降低運算難度，簡化解題過程.

例4計算： y - z （x + y）（x + z）+ z - x （y + z）（y + x）+ x - y （z + x）（z + y）+1.

分析：本題直接通分難度較大，觀察分式結(jié)構(gòu)，可以看出它們中含有相同部分，若能利用換元法，將這些相同部分先換元后再通分計算，則可以化難為易.

解：

例5

分析：本題直接通分，十分棘手，仔細(xì)觀察本題的分式結(jié)構(gòu)，可以看出，每個分式中均含有 m2+m +1，這樣不妨將 m2+m +1設(shè)為新元，待換元后再通分計算，即可輕松解題.

解：

評注：換元通分是分式運算中一種重要的通分方法.對于分式中相同部分較多的式子，先換元再通分可以大大簡化運算過程.

總之，異分母分式相加減離不開通分，選擇恰當(dāng)?shù)耐ǚ旨记桑墒谷唛L、繁雜、令人感到枯燥的通分計算變得簡單容易.通分的技巧也不止以上三種，同學(xué)們可以在以后的學(xué)習(xí)中不斷地探究和總結(jié)，讓解題更高效.