Kustaanheimo–Stiefel變量與二體問(wèn)題的正規(guī)化

劉延柱

(上海交通大學(xué)工程力學(xué)系，上海 200240)

1 四元數(shù)與Kustaanheimo–Stiefel變量

1843年愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)家哈密頓（Hamilton,W.R.）創(chuàng)造了四元數(shù)，1845年英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊（Cayley, A.）將法國(guó)數(shù)學(xué)家羅德里格（Rodrigues,B.O.）利用半角公式創(chuàng)造的描述剛體姿態(tài)的4個(gè)參數(shù)表達(dá)為四元數(shù)形式，使四元數(shù)成為處理剛體有限轉(zhuǎn)動(dòng)姿態(tài)變化的數(shù)學(xué)工具[1]。

經(jīng)典力學(xué)中的二體問(wèn)題有周知的開(kāi)普勒運(yùn)動(dòng)解析解，但存在引力中心處的奇異性，且不適用于有非中心引力出現(xiàn)時(shí)的受擾情形[2]。受擾二體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是有推力存在時(shí)航天器軌道運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)理論，有重要的實(shí)際意義。1906年意大利數(shù)學(xué)家列維–奇維塔（Levi–Civita, T.） 提出一種變換能使受擾的平面二體問(wèn)題的奇異性消除，轉(zhuǎn)換為線性微分方程求解，稱(chēng)為二體問(wèn)題的正規(guī)化（regularization）[3]。1964年 庫(kù) 斯 坦 海 莫（Kustaanheimo, P.）和斯提費(fèi)（Stiefel, E.）將Levi–Civita變換擴(kuò)展至三維空間。他們提出用4個(gè)Kustaanheimo–Stiefel變量（以下簡(jiǎn)稱(chēng)K–S變量） 描述點(diǎn)在三維空間內(nèi)的位置，能使受擾二體問(wèn)題的非線性三維模型實(shí)現(xiàn)正規(guī)化[4]。K–S 變量的提出比四元數(shù)晚了一個(gè)世紀(jì)，所定義的4個(gè)參數(shù)也不同于四元數(shù)，但與四元數(shù)有著密切的聯(lián)系和類(lèi)似的功能。K–S變量并非憑空產(chǎn)生，而是從四元數(shù)直接轉(zhuǎn)換形成。本文敘述此轉(zhuǎn)換過(guò)程，以及將K–S 變換應(yīng)用于二體問(wèn)題正規(guī)化的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程。

2 四元數(shù)如何表達(dá)笛卡爾坐標(biāo)

四元數(shù)是4個(gè)標(biāo)量λk(k=0,1,2,3) 的組合，或視為標(biāo)量λ0和矢量λ=λ1i+λ2j+λ3k的組合，表示為=λ0+λ。四元數(shù)的乘法運(yùn)算遵循特殊的規(guī)則，可利用矩陣運(yùn)算實(shí)現(xiàn)。將四元數(shù)組成列陣和方陣，即

用空心圓點(diǎn)o表示四元數(shù)的乘法運(yùn)算，將四元數(shù)方陣與另一四元數(shù)列陣相乘，即得到二者的乘積。將基矢量i視為λ0=λ2=λ3=0 ，λ1=1的特殊四元數(shù)，令與相乘，得到

令四元數(shù)中的矢量λ變號(hào)，稱(chēng)為原四元數(shù)的 共 軛 四 元 數(shù)，記 作=λ0?λ。令與相乘，得到

乘積列陣由一個(gè)零元素和3個(gè)非零元素組成。將式（3）中方陣和列陣的第1行轉(zhuǎn)移為第4行，再將方陣的第1列轉(zhuǎn)移為第4列，則乘積結(jié)果變?yōu)?/p>

式（4）與式（3）的區(qū)別僅改變了乘積列陣中元素的順序，使零元素從第1行移至第4行。如令其中3個(gè)非零元素與三維空間的笛卡爾坐標(biāo)x,y,z相等，即可利用四元數(shù)表達(dá)點(diǎn)在三維空間中的位置

3 K–S變量與K–S變換

將式（4）左側(cè)列陣的各元素依次改用uk(k=1,2,3,4) 表示，令

將uk(k=1,2,3,4) 稱(chēng)為K–S變量，令其代替式（4）左側(cè)方陣中的各個(gè)元素，得到的方陣記作L(u) ，所排成的列陣記作u，即

L(u) 與u的乘積由笛卡爾坐標(biāo)x,y,z及零元素構(gòu)成，記作r，即

其中

則x，y，z組成的三維向量被轉(zhuǎn)換為四維向量u。將L(u) 的第4行元素改變符號(hào)，在不影響式（8）的乘積情況下，使得第1列與列陣u相同，形式更為整齊。改造后的方陣L(u) 定義為K–S矩陣。

利用四維K–S變量表達(dá)點(diǎn)在三維空間中的笛卡爾坐標(biāo)稱(chēng)為K–S變換。

4 K–S矩陣的性質(zhì)

K–S矩陣有以下特殊性質(zhì)。

（1）K–S矩陣的第1列等于列陣u。

（2）正交性

其中I為單位陣，r為K–S變量的范數(shù)，與矢徑r=xi+yj+zk的模相等

（3）K–S矩陣的微分等于各元素微分后的矩陣

（4）互易性

若四維函數(shù)u和w滿足雙線性條件

則函數(shù)u和w存在互易性

5 二體問(wèn)題的正規(guī)化

討論衛(wèi)星與地球組成的二體問(wèn)題，在動(dòng)力學(xué)方程內(nèi)增加單位質(zhì)量的擾動(dòng)力p，寫(xiě)作

其中μ為地球的引力參數(shù)，r為二體的距離。擾動(dòng)力p以四維向量表示為p=(pxpypz0)T。無(wú)擾動(dòng)時(shí)p=0 ，存在能量積分

因橢圓形軌道的積分常數(shù)為負(fù)值，增加負(fù)號(hào)后使常數(shù)E為正值。

將時(shí)間變量t置換為新自變量s，滿足

將式（8）和式（12）表示的r和r變換為K–S變量，計(jì)算其對(duì)s的導(dǎo)數(shù)。以撇號(hào)作為對(duì)s的導(dǎo)數(shù)符號(hào)，利用K–S變量u和u′的互易性（15），導(dǎo)出

上述u與u′的互易性應(yīng)在滿足雙線性條件（14）的前提下成立，證明過(guò)程從略。令r對(duì)t求導(dǎo)計(jì)算衛(wèi)星的速度v。以點(diǎn)號(hào)作為對(duì)t的導(dǎo)數(shù)符號(hào)，列出

利用正交性（11），導(dǎo)出

代入能量積分（18），得到

有擾動(dòng)存在但擾動(dòng)力p遠(yuǎn)小于引力時(shí)，可近似使用無(wú)擾狀態(tài)的能量積分計(jì)算該瞬時(shí)的密切開(kāi)普勒軌道，軌道參數(shù)視為時(shí)間t的慢變函數(shù)。機(jī)械能?E對(duì)t的變化率?等于擾動(dòng)力p的功率。計(jì)算?E對(duì)s的導(dǎo)數(shù)，將式（22）代入，得到

令式（22）再對(duì)t求導(dǎo)計(jì)算衛(wèi)星的加速度，其中r′以式（21）代入，得到

令各項(xiàng)左乘LT(u) ，利用式（11）和式（16）簡(jiǎn)化，得到

令二體運(yùn)動(dòng)方程（17）左乘r3LT(u) ，將式（27）代入，得到

將其中的參數(shù)μ和E′以式（24）和（25）代入，整理后得到正規(guī)化的二體運(yùn)動(dòng)方程

其中

除上述二體問(wèn)題以外，K–S變換也可用于其他引力中心存在奇異性的正規(guī)化問(wèn)題，例如限制性三體問(wèn)題[5]。