加強幾何直觀的培養(yǎng) 發(fā)展數(shù)形結(jié)合的思想

申東陽

當(dāng)今課程改革的重點是培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要包括數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)建模，運算能力，數(shù)據(jù)分析，直觀想象。由此得出幾何直觀在核心素養(yǎng)中的地位和作用可見一斑。

結(jié)合學(xué)校和聲課堂五步教學(xué)模式，在教學(xué)實踐中特別注意用數(shù)形結(jié)合的方式培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，用形象化，符號化的語言提煉出數(shù)學(xué)知識，建立數(shù)學(xué)模型，從而使學(xué)生逐步體會和感知數(shù)學(xué)思想的魅力！

一、將數(shù)形結(jié)合起來，形成概念表征

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)研究的兩個基本對象，利用“數(shù)形結(jié)合”方法能使“數(shù)”和“形”統(tǒng)一起來，借助于“形”的直觀來理解抽象的“數(shù)”、運用“數(shù)”與“式”來細致、入微地刻畫“形”的特征，直觀與抽象相互配合，取長補短，從而順利、有效地解決問題?！皵?shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微”形象生動、深刻地指明了“數(shù)形結(jié)合”思想的價值，也揭示了數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)。

例如在解決雞兔同籠問題，即采用假設(shè)法解題時，運用數(shù)形結(jié)合，可以使極為抽象的假設(shè)法變得直觀形象。教學(xué)中，讓學(xué)生理解雞與兔是兩個變量十分困難，教師單純用語言是無法讓學(xué)生很好的理解的。采用數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生通過想想——畫畫——再想想——再畫畫，幫助學(xué)生理解這雞兔這兩個變量，從而解決問題。同樣在相遇問題、追及問題、和差問題、和倍問題、工程問題、分數(shù)應(yīng)用題、比例應(yīng)用題、列方程解應(yīng)用題等許多解決問題的教學(xué)中，無不充分地運用數(shù)形結(jié)合，把抽象的數(shù)量關(guān)系，通過畫線段圖、集合圖、長方形面積圖、列表格等方式，數(shù)形結(jié)合，呈現(xiàn)為較為具體直觀的數(shù)學(xué)符號，使較復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系簡單明了，有利于分析題中，化難為易，迅速找出解決問題的方法，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

二、加強直觀推理，發(fā)展分析問題的能力

直觀推理作為一種滲透力極強的思維形式，可以說是數(shù)學(xué)直觀的精髓。加強幾何直觀教學(xué)并不是只要求學(xué)生會構(gòu)造示意圖或線段圖，能給出數(shù)學(xué)知識的直觀表征就可以了——因為構(gòu)圖有時只需要關(guān)注一些數(shù)學(xué)對象的局部元素，缺乏對結(jié)構(gòu)的整體把握——還要充分發(fā)揮直觀推理在發(fā)現(xiàn)問題、分析問題過程中的作用，注意為學(xué)生創(chuàng)造主動思考的機會，鼓勵學(xué)生借助幾何直觀進行比較、分析和想象，展開豐富多彩的直觀推理，進而洞察數(shù)學(xué)對象的結(jié)構(gòu)和關(guān)系，獲得數(shù)學(xué)結(jié)論。對學(xué)生而言，純文字形式呈現(xiàn)的問題相對比較抽象，僅憑文字敘述有時很難直接看出題中的數(shù)量關(guān)系。這樣的問題也為學(xué)生學(xué)習(xí)畫圖整理信息、體驗示意圖，在分析數(shù)量關(guān)系過程中的作用提供了極好的素材。

例如，教學(xué)“用畫圖的策略解決實際問題”時，先出示例題：有一塊長形花圃，長8米。在修建校園時，花圃的長增加了3米，這樣花圃的面積就增加了18平方米。原來花圃的面積是多少平方米？我并沒有直接指導(dǎo)學(xué)生畫圖，而是通過富有啟發(fā)性的問題使學(xué)生體會到“光看文字，一下子想不出辦法”，進而誘發(fā)畫圖的需要，引起學(xué)生學(xué)習(xí)和探索畫圖策略的動機。對于畫圖方法的指導(dǎo)，我采用“嘗試——講評——完善”的教學(xué)策略，先放手讓學(xué)生嘗試畫圖，再結(jié)合講評對關(guān)鍵步驟進行適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，幫助學(xué)生學(xué)會在示意圖上表示“增加3米”以及標(biāo)注相關(guān)信息的方法，以完善自己所畫的示意圖。完成畫圖后，我引導(dǎo)學(xué)生通過比較和交流，感受到“看圖形思考比較方便”，進而啟發(fā)學(xué)生看圖進行分析和比較，將題目中的相關(guān)數(shù)量與直觀圖形的意義對應(yīng)起來，找到正確的解題思路，初步體會示意圖對解決問題的作用。列式解答后，讓學(xué)生看圖解釋每一步算式的意思，再一次借助圖形直觀闡釋數(shù)量關(guān)系的含義，理解列式的依據(jù)。最后，引導(dǎo)學(xué)生回顧和反思解決問題的過程，討論“為什么要畫圖”，幫助學(xué)生進一步梳理借助圖形直觀解決問題的經(jīng)驗，感受畫圖策略的學(xué)習(xí)價值。這樣的教學(xué)過程，從解決實際問題的需要出發(fā)，緊緊圍繞“畫圖”和“用圖”展開，使學(xué)生在解決問題的過程中初步學(xué)會畫示意圖整理條件和問題的方法，積累一些借助圖形直觀分析數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗，并獲得對畫圖策略的深刻體驗。

三、利用直觀探究，發(fā)展解決問題的能力

幾何直觀在解決問題的過程中起著提示解題思路、預(yù)測結(jié)果的作用，是探索數(shù)學(xué)規(guī)律、解決數(shù)學(xué)問題的有力幫手。學(xué)生在開始接觸數(shù)學(xué)問題時，往往會習(xí)慣性地對問題作出一種直觀判斷，這種直觀的判斷起初只是一種直覺、猜想或猜測，也正是這種直覺或猜想以及追求真理的愿望，引領(lǐng)學(xué)生展開進一步的探究，并最終解決問題。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要充分發(fā)揮幾何直觀在解決問題過程中的作用，注意引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷利用幾何直觀把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題的過程，特別是一些可以利用直觀來描述的問題，不必急于給出解決問題的方法，而要鼓勵學(xué)生借助直觀提出猜想或猜測，并盡可能地從中找到解決問題的思路或直接利用直觀手段求解，以幫助學(xué)生不斷積累利用直觀進行思考的經(jīng)驗，發(fā)展幾何直觀能力和解決問題的能力。

例如引導(dǎo)學(xué)生“怎樣把一個正六邊形分割成6個大小相等、形狀相同的圖形”時，孩子們就借助直觀圖形產(chǎn)生了以下的分法和想法：

方法一：把正六邊形平均分成6個完全一樣的等邊三角形。

方法二：先畫出正六邊形的6條對稱軸，然后去掉經(jīng)過對邊中點的對稱軸，

得到第一種分法;或去掉經(jīng)過頂點的對稱軸，得到第二種分法。

方法三：先把正六邊形分成3個完全相同的平行四邊形，再把每個平行四邊形分成兩個完全相同的部分，這樣可以得到3種分法。

方法四：只要先找到正六邊形的3條對稱軸，再把3條對稱軸繞中心點旋轉(zhuǎn)一個角度，就可以得到一種分法，這樣就有無數(shù)種分法。

方法五：先把正六邊形分成3個完全一樣的平行四邊形，再畫出它們的一條對角線，這是一種分法，然后把對角線繞它的中點任意旋轉(zhuǎn)一個角度，只要每次旋轉(zhuǎn)的方向和度數(shù)相同，也一樣得到無數(shù)種分法。

師總結(jié)：第一種思路是先畫出正六邊形的對稱軸，得到一種分法，再旋轉(zhuǎn)得到無數(shù)種分法;第二種思路是先把正六邊形分成3個完全一樣的平行四邊形，再把對角線進行旋轉(zhuǎn)。盡管分法都有無數(shù)種，但解決問題的思路只有兩種，所以也可以看做是兩種不同的方法。案例中，從把正六邊形平均分成6份到發(fā)現(xiàn)圖形旋轉(zhuǎn)的規(guī)律，幾何直觀作為有效的表達工具始終伴隨著學(xué)生的解題活動，并啟迪著學(xué)生的空間思維，引領(lǐng)學(xué)生的思維不斷走向深刻。在分的過程中，無論是由12等分去尋找6等分，還是由3等分去尋找6等分，學(xué)生把思考的過程和結(jié)果畫出來都是成功解決問題的關(guān)鍵。更為難得的是學(xué)生在兩種解題思路的啟發(fā)下，對分割六邊形的問題有了更深刻、更富有創(chuàng)造性的思考，并得到了無數(shù)種分法。而這一過程中，幾何直觀依然是促進并引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的主角。最后，組織學(xué)生比較兩種思路的不同，使學(xué)生對兩種思路獲得更概括、更理性的認識。整個教學(xué)過程中，學(xué)生的精彩表現(xiàn)既得益于教師的啟發(fā)，更得益于幾何直觀的引領(lǐng)?？傊?，“用圖形說話”，用圖形描述問題，用圖形討論問題，這是一種基本的數(shù)學(xué)素質(zhì)。

幾何直觀已經(jīng)成為數(shù)學(xué)界和數(shù)學(xué)教育界關(guān)注的問題，在中學(xué)階段如何更好的培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，還有待于我們進一步研究，所以平日的工作中要善于觀察、善于思考、善于總結(jié)，力爭做一名研究型的教師，培養(yǎng)出能用數(shù)學(xué)眼光觀察生活，數(shù)學(xué)語言去表達生活，數(shù)學(xué)思考去感受生活！871D0703-EFF0-4BF9-9871-6B855483795C