蔡少毅

王平華（福建省泉州師范學(xué)院數(shù)計(jì)學(xué)院競(jìng)賽數(shù)學(xué)研究中心362000）

【摘要】探討鐘表上時(shí)針和分針關(guān)于整點(diǎn)的對(duì)稱問題，對(duì)原有時(shí)針和分針的夾角公式作進(jìn)一步拓展，推導(dǎo)出的對(duì)稱問題的求解公式并舉例應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】時(shí)針;分針;夾角;對(duì)稱

公務(wù)員考試的行測(cè)試題中經(jīng)常出現(xiàn)關(guān)于鐘表的問題，例如：“當(dāng)5點(diǎn)剛過多少分時(shí)，時(shí)針和分針離“5”的距離相等，并且在“5”的兩邊？”（下稱例1），等等.這就是鐘表上時(shí)針和分針的“對(duì)稱”問題.本文借助時(shí)針和分針的夾角公式，作進(jìn)一步拓展，得出用于解決鐘面問題中的時(shí)針和分針對(duì)稱的一般的求解公式，并舉例應(yīng)用.

在鐘表上，時(shí)針與分針是同時(shí)作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng).每小時(shí)時(shí)針轉(zhuǎn)過30°，同時(shí)分針轉(zhuǎn)過360°，時(shí)針與分針的轉(zhuǎn)速比為1：12.本文中把時(shí)間的h點(diǎn)m分記為h：m，并且當(dāng)m≥60時(shí)，h：m=（h+1）：（m-60）;

當(dāng)m<0時(shí)，h：m=（h-1）：（m+60）.

首先介紹夾角公式.

公式1設(shè)時(shí)間h：m時(shí)，分針相對(duì)于時(shí)針的夾角為θ°，則

事實(shí)上，如果定義了夾角的方向，即按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)針位于分針前面時(shí)，該關(guān)系式可改寫為

60h-5.5m=θ，②

30h-5.5m=m.③

把h=5代入式③得

1關(guān)于水平線對(duì)稱

例2早晨7點(diǎn)到晚上7點(diǎn)的12個(gè)小時(shí)內(nèi).

①鐘面上時(shí)針與分針第一次關(guān)于水平線（“3”與“9”的連線）對(duì)稱是幾點(diǎn)幾分？

②時(shí)針與分針有幾次關(guān)于水平線對(duì)稱？

解從9點(diǎn)到7點(diǎn)，即時(shí)針倒退2小時(shí)，相應(yīng)分針增加120分鐘，把式③改寫為

30（h-2）-5.5m+120=m，④

并把h=9代入式④得

依照上述方法，本文可依次倒退若干小時(shí)（0小時(shí)至12小時(shí)），得到13個(gè)關(guān)于與水平線相應(yīng)的對(duì)稱時(shí)間.

2對(duì)稱公式

受上面的例子和公式的啟發(fā)，本文進(jìn)一步探討時(shí)針和分針關(guān)于整點(diǎn)對(duì)稱問題，給出求解公式.

公式2設(shè)時(shí)針和分針關(guān)于整點(diǎn)刻度線l（l=0，1，2，…，11）對(duì)稱，則分m和時(shí)h有關(guān)系式：

時(shí)旋轉(zhuǎn)至為兩針關(guān)于l為對(duì)稱位置時(shí)的時(shí)間是h：m.下面分別討論分針與時(shí)針的相對(duì)位置兩種情況：

由于時(shí)針和分針旋轉(zhuǎn)的速度比為1：12，則

[30×（l-h）-θ]°+30l°.

例1的解：把h=5，l=5代入式⑤得

例2的解：①把l=9，h=7代入公式②，得

②把l=3，h=0，1，2，3，…，12.這13個(gè)數(shù)依次代入公式②，得到13次水平對(duì)稱依次為：

例3有一天課間休息時(shí)，小明看了一下墻上的掛鐘，時(shí)間是9點(diǎn)多，他發(fā)現(xiàn)時(shí)針和分針正好處在關(guān)于鉛垂線對(duì)稱位置，則此時(shí)是9點(diǎn)________分.（要精確值）.

由于6點(diǎn)和12（0）點(diǎn)都在鉛垂線上，所以可求關(guān)于l=12（0）或求關(guān)于l=6的對(duì)稱.

解①把l=12，h=8代入式（7）

②把l=0，h=10代入式（7）

③把l=6，h=9代入式（7）