張瑩，葉國菊*，劉尉，趙大方

（1.河海大學(xué)理學(xué)院,江蘇南京 210098；2.湖北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北黃石 435002）

Zadeh[1]于1965年提出了模糊集理論。該理論可以更好地處理現(xiàn)實(shí)生活中的模糊問題，因此受到了人們的重視，并在各個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。在模糊集的應(yīng)用中，如何對(duì)模糊數(shù)進(jìn)行排序是一個(gè)重要的研究問題。在模糊數(shù)排序方法方面，已有很多學(xué)者提出在近似、決策、優(yōu)化、預(yù)測等模糊應(yīng)用系統(tǒng)中的方法[2?4]，而這些方法中所排序的模糊數(shù)的隸屬函數(shù)為正規(guī)模糊數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，并不是所有問題都適合用正規(guī)模糊數(shù)進(jìn)行描述，例如模糊數(shù)最大隸屬度與1相差較大的情況。因此，Chen等[5]提出了應(yīng)用更為靈活且具有高度的廣義模糊數(shù)，高度為1時(shí)的廣義模糊數(shù)即為正規(guī)模糊數(shù)。之后，許多學(xué)者開始研究廣義模糊數(shù)，且廣義模糊數(shù)在風(fēng)險(xiǎn)控制、決策過程、模式識(shí)別[6?7]等領(lǐng)域有著良好的研究前景。

另一方面，可能性理論[8]作為模糊決策理論的工具之一，在回歸分析、聚類分析、結(jié)構(gòu)優(yōu)化、模糊邏輯、可能性決策、風(fēng)險(xiǎn)分析和數(shù)據(jù)融合方面有著廣泛的應(yīng)用[9?10]。1983年，Dubois等[11]首次將可能性理論用于模糊數(shù)排序，通過4個(gè)排序指標(biāo)來確定兩模糊數(shù)之間的大小關(guān)系。Lee 等[12]提出了基于模糊數(shù)的均值和離散度的模糊數(shù)排序方法，然而當(dāng)模糊均值和模糊分布相同時(shí)，很難對(duì)其排序進(jìn)行清晰的比較。Gu等[13]提出了一種基于可能性理論的廣義模糊數(shù)排序方法，該方法利用可能均值與可能標(biāo)準(zhǔn)差之和對(duì)模糊數(shù)進(jìn)行排序，較以往排序方法而言，計(jì)算簡單且易于應(yīng)用。當(dāng)排序A1=[?8,?3],A2=[?6,?3]這兩個(gè)區(qū)間模糊數(shù)時(shí)，通過該方法得到Mag(A1)=?3以及Mag(A2)=?3，即A1與A2相等，此結(jié)論與直覺不符。2021年，Liu 等[14]基于可能性理論，提出了廣義模糊數(shù)排序的可能度公式，然而在可能均值與可能方差相同情況下，無法對(duì)廣義模糊數(shù)做出合理區(qū)分。此外，在實(shí)際決策問題中，不同決策者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度是不同的，決策者風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度反映著決策者的知識(shí)、背景和經(jīng)驗(yàn)等，為使決策更加合理，在決策過程中應(yīng)對(duì)決策者風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度這一重要影響因素加以考慮。目前已有的模糊數(shù)排序方法中，鮮有提出將可能性理論與決策者風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度綜合考慮的方法，從而使得決策過程中丟失的信息比較嚴(yán)重，最終導(dǎo)致決策結(jié)果不理想。

鑒于以上情況，本文提出一種基于可能性理論和決策者風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的廣義模糊數(shù)排序方法。該方法不僅能彌補(bǔ)已有方法的不足，并且計(jì)算簡單，還可同時(shí)排序不同類型的廣義模糊數(shù)。接著，利用數(shù)值例子與原有廣義模糊數(shù)的排序方法作比較，以分析決策者風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度對(duì)廣義模糊數(shù)排序的影響。最后，采用該方法對(duì)上海銀行間同業(yè)拆放利率所構(gòu)成的模糊數(shù)進(jìn)行排序，進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提出模糊數(shù)排序方法的合理性與有效性。

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)給出模糊數(shù)理論與可能性理論的基本概念。

1.1 模糊數(shù)理論

1.2 可能性理論

2 基于可能性理論的模糊數(shù)排序方法

定義8對(duì)于一個(gè)廣義L?R模糊數(shù)的大小定義為

其中：λ∈[0,1]反映決策者的態(tài)度，當(dāng)λ∈[0,0.5)時(shí)，決策者對(duì)決策事物持悲觀態(tài)度；當(dāng)λ=0.5時(shí)，決策者對(duì)決策事物持中立態(tài)度；當(dāng)λ∈(0.5,1]時(shí)，決策者對(duì)決策事物持樂觀態(tài)度。

下面本文通過數(shù)值例子的計(jì)算和對(duì)比分析，說明本文所提方法的合理性與有效性。

例1考慮下列4個(gè)廣義三角模糊數(shù)：

具體如圖1所示，試對(duì)其進(jìn)行排序。

圖1 廣義三角模糊數(shù)

下面擬分兩種情況考慮。

1)當(dāng)決策者持樂觀態(tài)度決策時(shí)（取λ=0.8），得到

這個(gè)結(jié)果與文獻(xiàn)[13]和文獻(xiàn)[14]相同與文獻(xiàn)[16]、[17]的最優(yōu)、最劣結(jié)果相同。因此，本文所提出的方法在排序模糊數(shù)上是可行的。

2)當(dāng)決策者持悲觀態(tài)度決策時(shí)（取λ=0.1），得到

當(dāng)決策者態(tài)度不同時(shí)，所得排序結(jié)果就會(huì)不同。由圖1可知，有些模糊數(shù)差異并不是很明顯，但由于本文所提出的方法考慮了決策者態(tài)度，使得結(jié)果更加全面，這可為做出不同決策提供較為全面的參考依據(jù)。因此，將決策者態(tài)度引入排序方法是合理的和必需的。

例2試排序下列兩組模糊數(shù)：

當(dāng)λ=0.8，即決策者持樂觀態(tài)度決策時(shí)，由式（7）得到

現(xiàn)在考慮下列模糊數(shù)：

通過文獻(xiàn)[13]中所提出的模糊數(shù)排序方法，得到

由此，得

而由式(7),當(dāng)λ=0.8，即決策者持樂觀態(tài)度決策時(shí)，得到

注2由上述結(jié)果可得,通過文獻(xiàn)[13]中所提方法無法區(qū)分以及不合理區(qū)分因此，本文所提出的方法在排序模糊數(shù)上是有效的。

例3考慮下列兩組廣義模糊數(shù)，分別對(duì)它們進(jìn)行排序。

現(xiàn)通過不同方法對(duì)S1和S2進(jìn)行計(jì)算，具體結(jié)果如表1所示。

表1 例3不同方法結(jié)果比較

由表1可知，通過這些方法得到的結(jié)果有一些是相互矛盾的，這一現(xiàn)象表明，模糊數(shù)排序是復(fù)雜的；在S1的所有結(jié)果中，我們可以看到排序結(jié)果并不穩(wěn)定，但通過不同方法得到的最劣結(jié)果大多是A2，且本文能克服文獻(xiàn)[16]中不能區(qū)分A1和A2的不足；在S2的所有結(jié)果中，我們可以看到A2永遠(yuǎn)是最優(yōu)的，并且本文所提方法與文獻(xiàn)[16]和文獻(xiàn)[14]一致。

正如在前面的例子中所看到的，所提出的方法的主要優(yōu)點(diǎn)是：它根據(jù)決策者風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度提供了廣義模糊數(shù)的合理全面的排序，并且容易計(jì)算、容易應(yīng)用于實(shí)際問題。

3 實(shí)例分析

例4[18]上海銀行間同業(yè)拆放利率(Shibor)是銀行在上海批發(fā)(或“銀行間”)貨幣市場上向其他銀行提供無擔(dān)保資金的每日參考利率。它是一種簡單的、無擔(dān)保的批發(fā)利率，由18家銀行提供的利率計(jì)算而來，去掉4個(gè)最高和4個(gè)最低的利率，然后將剩下的10個(gè)利率取平均值。2014年前五個(gè)月的數(shù)據(jù)如表2所示?？紤]到整個(gè)月指數(shù)的變化，它們被描述為模糊數(shù)，可視化數(shù)據(jù)如圖2所示。Shibor作為貨幣市場參考利率，左右市場決策者的決策，從而間接影響了貨幣市場的發(fā)展。

表22014 年1月至5月上海銀行同業(yè)拆息的模糊數(shù)，ω=1

圖22014 年1月至5月上海銀行間同業(yè)拆放利率模糊數(shù)

當(dāng)決策者持樂觀態(tài)度時(shí)，取λ=0.8。

步驟1：由表1數(shù)據(jù)可知，表中為廣義三角模糊數(shù)，計(jì)算廣義三角模糊數(shù)的可能均值，得

步驟2：計(jì)算廣義三角模糊數(shù)的可能標(biāo)準(zhǔn)差，得

不同 λ取值時(shí)的結(jié)果，即決策者持不同態(tài)度時(shí)，所得結(jié)果不同，排序結(jié)果如表3所示。

表3 不同λ取值時(shí)所得排序結(jié)果

由表3可知：當(dāng)決策者持悲觀態(tài)度（即λ<0.5，認(rèn)為由Shibor促進(jìn)市場發(fā)展穩(wěn)健緩慢才是最好的）時(shí)，最優(yōu)月份是二月；當(dāng)決策者持中立與樂觀態(tài)度（即，認(rèn)為由Shibor促進(jìn)市場迅速但不一定穩(wěn)健發(fā)展是好的）時(shí)，最優(yōu)月份是一月。

由此可見，在應(yīng)用可能性理論對(duì)模糊數(shù)進(jìn)行排序進(jìn)一步達(dá)到?jīng)Q策目的時(shí)，考慮決策者態(tài)度的決策方法更全面合理而且與實(shí)際情況更吻合。

通過不同方法對(duì)銀行5個(gè)月份的數(shù)據(jù)進(jìn)行排序?qū)Ρ?，排序結(jié)果如表4所示。

表4 不同方法所得排序結(jié)果

由表4可知：

1)文獻(xiàn)[14]考慮到了可能均值比可能標(biāo)準(zhǔn)差更重要，所以文獻(xiàn)[14]排序結(jié)果與本文決策者樂觀時(shí)的排序結(jié)果一致；但是，由于本文引入變異系數(shù)與決策者風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，因此本文在排序時(shí)更加全面。

2)文獻(xiàn)[13]與文獻(xiàn)[18]排序最優(yōu)結(jié)果與本文決策者樂觀時(shí)的排序最優(yōu)結(jié)果一致，都是一月，而它們之間的排序結(jié)果的不同主要體現(xiàn)在的順序的不同。由圖2可知，當(dāng)排序施加決策者態(tài)度影響時(shí)，排序結(jié)果將有所不同。文獻(xiàn)[13]與文獻(xiàn)[18]沒有考慮決策者態(tài)度，而本文的排序結(jié)果可以體現(xiàn)決策者態(tài)度對(duì)排序結(jié)果的影響。

4 結(jié)論

排序問題是模糊決策理論的核心內(nèi)容之一，很多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了廣泛的研究。本文基于可能性理論，并考慮決策者風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，給出了排序廣義模糊數(shù)的公式，并在此基礎(chǔ)上提出了一種新的廣義模糊數(shù)排序方法。該方法不僅有效利用模糊數(shù)在可能性理論方面的信息與決策者態(tài)度信息，還能彌補(bǔ)已有方法的不足，并且計(jì)算簡單，可同時(shí)排序不同類型的廣義模糊數(shù)。最后本文采用該方法對(duì)上海銀行間同業(yè)拆放利率構(gòu)成的模糊數(shù)進(jìn)行排序，驗(yàn)證了本文所提廣義模糊數(shù)排序方法的合理性和有效性。此外，該方法可以應(yīng)用于各種決策模型和模糊應(yīng)用系統(tǒng)。