具有隨機(jī)擾動(dòng)機(jī)制的改進(jìn)QPSO算法及其應(yīng)用

何 光, 盧小麗

(1.重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400067; 2.重慶工商大學(xué) 長(zhǎng)江上游經(jīng)濟(jì)研究中心，重慶 400067)

0 引 言

在量子粒子群優(yōu)化算法(QPSO)中，粒子的狀態(tài)只需由位置矢量來決定，相比粒子群優(yōu)化算法(PSO)形式更簡(jiǎn)單，計(jì)算速度更快，收斂性能更好。在處理復(fù)雜優(yōu)化問題時(shí)，QPSO算法具有更快的收斂速度和更強(qiáng)的全局搜索性能，被廣泛應(yīng)用于非線性、不可微、非凸的優(yōu)化問題中[1-3]。然而在實(shí)際應(yīng)用中，特別是處理復(fù)雜的多模函數(shù)時(shí)，QPSO算法容易出現(xiàn)早熟和收斂精度低的情況。于是，研究者針對(duì)QPSO算法在迭代后期陷入局部最優(yōu)的情況，提出了相應(yīng)的改進(jìn)手段。Sun 等[4]在分析QPSO算法收斂性時(shí)，討論了迭代公式中參數(shù)的選擇，他們的工作提升了算法的全局搜索能力；Zhang[5]在研究中融合了混沌映射、高斯分布的變異算子以及動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重調(diào)整等技巧，有效地改善了算法的多樣性，使得QPSO算法具有更強(qiáng)的搜索性能；為了提升算法的計(jì)算效率，Yang等[6]提供了一種精細(xì)解搜索方法用于克服原始QPSO算法在搜索過程中出現(xiàn)的缺陷。

雖然已有研究在克服早熟和提升算法全局搜索上有一定的改進(jìn)，但是在算法的收斂速度和局部挖掘能力方面還有待增強(qiáng)，對(duì)于算法整體性能的提升仍有很大的改進(jìn)空間。于是針對(duì)原始QPSO算法在處理復(fù)雜多模函數(shù)時(shí)容易出現(xiàn)早熟和收斂精度低的情況，本文將對(duì)算法作出進(jìn)一步的改良。在粒子的歷史最優(yōu)位置和全局最優(yōu)位置的確定上，借鑒遺傳算法中交叉算子的思想，并結(jié)合隨機(jī)擾動(dòng)操作，以增強(qiáng)算法在迭代后期的收斂性能，維持種群的多樣性；另外，對(duì)收縮-擴(kuò)張因子的結(jié)構(gòu)進(jìn)行非線性調(diào)整，以提高算法的全局收斂速度和精度。然后在仿真應(yīng)用上，將改進(jìn)后的算法用于求解一類具有最小最大風(fēng)險(xiǎn)的投資組合優(yōu)化模型。

1 具有隨機(jī)擾動(dòng)機(jī)制的改進(jìn)算法

在QPSO系統(tǒng)中，設(shè)種群規(guī)模為N，搜索維數(shù)為D，最大迭代次數(shù)為T。在迭代過程中，采用蒙特卡羅法模擬粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，每個(gè)粒子會(huì)聚集到一個(gè)局部吸引點(diǎn)Pi(t)：

Pi(t+1)=φpi(t)+(1-φ)pg(t)

(1)

其中,φ=c1r1/(c1r1+c2r2)，r1和r2表示0～1之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)，pi(t)表示在t次迭代時(shí)第i個(gè)粒子的歷史最優(yōu)位置，pg(t)為在t次迭代時(shí)群體最優(yōu)位置。粒子位置更新公式如下：

xi(t+1)=Pi(t)±β|m(t)-xi(t)|ln[ui(t)]-1

(2)

其中,β稱為收縮-擴(kuò)張因子，m(t)表示在t次迭代時(shí)所有粒子歷史最優(yōu)位置的平均值，ui(t)表示0～1之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)ui(t)大于0.5時(shí)，式(2)中取“+”，否則取“-”。

由于原始QPSO算法在迭代后期容易出現(xiàn)早熟和收斂精度低的困境，于是考慮對(duì)粒子歷史最優(yōu)位置和全局最優(yōu)位置的更新方式進(jìn)行改良。因?yàn)檫z傳算法中的交叉算子能夠有效地利用粒子的歷史信息，對(duì)表現(xiàn)較差的個(gè)體進(jìn)行淘汰、更新，從而增強(qiáng)算法的迭代效果。對(duì)于個(gè)體的歷史最優(yōu)位置，借鑒交叉算子思想，在迭代后期運(yùn)用隨機(jī)選擇的粒子進(jìn)行結(jié)合，產(chǎn)生新的個(gè)體，選擇更好地繼續(xù)迭代，具體公式如下：

cpi(t)=r·pi(t)+(1-r)pj(t)

(3)

其中,r表示0～1之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)，j表示1～N之間的隨機(jī)整數(shù)。

對(duì)于全局最優(yōu)位置的更新，將根據(jù)種群的多樣性表現(xiàn)來重新調(diào)整群體的最優(yōu)位置。多樣性指標(biāo)函數(shù)如下：

其中，|S|為粒子個(gè)數(shù)，|A|為粒子搜索的最大距離。當(dāng)diversity(S)低于給定閾值時(shí)，采用以下形式對(duì)當(dāng)前全局最優(yōu)位置進(jìn)行調(diào)整：

cpg(t)=r·pg(t)+(1-r)(pg(t)-pk(t))

(4)

其中,r表示0～1之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)，k表示1～N之間的隨機(jī)整數(shù)。

對(duì)于算法中的收縮-擴(kuò)張因子，考慮如下非線性結(jié)構(gòu)：

(5)

這里β1=1,β2=0.5，T表示最大迭代次數(shù)。在迭代初期β有較大的取值，粒子在整個(gè)目標(biāo)空間中運(yùn)動(dòng)，搜索范圍較廣。當(dāng)β取得最小值時(shí)，粒子的局部探索能力逐漸增強(qiáng)，能夠有效提高算法的搜索速度。在迭代后期，β從最小值變化到β2，粒子聚集到局部吸引點(diǎn)附近，在全局最優(yōu)解周圍進(jìn)行探索，從而提升了算法的精確度。

改進(jìn)后的算法簡(jiǎn)記為MQPSO，其算法流程如下：

Step1 設(shè)定種群規(guī)模N、搜索維數(shù)D和最大迭代次數(shù)T，并初始化種群中粒子的位置；

Step2 計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)度，以適應(yīng)度最優(yōu)的粒子位置作為種群的全局最優(yōu)位置pg(t)；

Step3 根據(jù)式(1)計(jì)算局部吸引點(diǎn)Pi(t)；

Step4 根據(jù)式(5)計(jì)算收縮-擴(kuò)張因子，通過式(2)更新當(dāng)前粒子的位置；

Step5 當(dāng)t>0.8×T時(shí)，利用式(3)得到新個(gè)體位置cpi(t)，將其與pi(t)的適應(yīng)度比較，保留更優(yōu)的作為粒子的歷史最優(yōu)位置；

Step6 運(yùn)用比較原則得到粒子的歷史最優(yōu)位置；

Step7 當(dāng)diversity(S)<0.001時(shí)，利用式(4)得到新的全局最優(yōu)位置cpg(t)，將其與pg(t)的適應(yīng)度比較，保留更優(yōu)的作為全局最優(yōu)位置；

Step8 運(yùn)用比較原則得到全局最優(yōu)位置；

Step9t=t+1，若滿足迭代終止條件，輸出最優(yōu)解，否則，轉(zhuǎn)入Step 2。

2 性能測(cè)試

將FIPS算法[7]、CLPSO算法[8]、DNLPSO算法[9]、HPSO算法[10]與MQPSO算法進(jìn)行性能對(duì)比分析。基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)中，函數(shù)f1-Shpere，f2-Schwefel 2.22以及f3-Schwefel 1.2為高維單模，函數(shù)f4-Rastrigin，f5-Noncontinuous Rastrigin，f6-Rosenbrock，f7-Griewank以及f8-Ackley為高維多模。參數(shù)設(shè)定方面，算法FIPS，CLPSO，DNLPSO以及HPSO均采用相關(guān)文獻(xiàn)中的設(shè)置。5種算法的粒子總數(shù)均為50個(gè)，搜索空間均為30維，最大迭代次數(shù)均為1 000次。每個(gè)測(cè)試函數(shù)獨(dú)立運(yùn)行50次，其結(jié)果取平均值、標(biāo)準(zhǔn)差以及最好值。通過表1中展示的測(cè)試結(jié)果，可見MQPSO算法幾乎在所有函數(shù)測(cè)試中都取得了最好的均值和最小的標(biāo)準(zhǔn)差。

表1 5種算法的測(cè)試結(jié)果

在單模函數(shù)f1—f3上，由于MQPSO算法在進(jìn)化過程中考慮了非線性收縮擴(kuò)張因子，使得算法在收斂精度上有了更好的改善，表現(xiàn)為在f1和f2兩個(gè)函數(shù)上取得了理論最優(yōu)值，同時(shí)，在f3的測(cè)試上也比其他4個(gè)算法獲得了更好的收斂結(jié)果。f4—f8等5個(gè)多模函數(shù)主要用于測(cè)試算法在克服早熟現(xiàn)象方面的表現(xiàn)能力。從f4—f63個(gè)函數(shù)的測(cè)試結(jié)果上看，各個(gè)算法都無一例外地陷入了局部最優(yōu)，其中MQPSO與HPSO兩種算法表現(xiàn)得相對(duì)較好；在函數(shù)f7上，MQPSO與HPSO的算法優(yōu)勢(shì)更明顯，其中MQPSO算法在迭代后期運(yùn)用了隨機(jī)擾動(dòng)機(jī)制，使得算法在多峰函數(shù)的尋優(yōu)方面表現(xiàn)得更有特色，甚至有機(jī)會(huì)找到全局最優(yōu)點(diǎn)；而在f8的測(cè)試結(jié)果上，可以明顯感覺到MQPSO算法在對(duì)抗早熟問題時(shí)的優(yōu)勢(shì)，其他4種算法均不能完全擺脫局部最優(yōu)的困境，而MQPSO算法則在每次運(yùn)行中都取得了理論最優(yōu)值，表現(xiàn)優(yōu)異。

從8個(gè)測(cè)試函數(shù)的整體結(jié)果來看，MQPSO算法相比其他4種算法無論在收斂精度上，還是在尋優(yōu)結(jié)果的穩(wěn)定性方面均占有明顯優(yōu)勢(shì)。接下來，借助中國(guó)證券市場(chǎng)的真實(shí)數(shù)據(jù)對(duì)MQPSO算法的實(shí)際應(yīng)用效果進(jìn)行檢驗(yàn)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

運(yùn)用均值-方差模型來分析證券投資組合選擇時(shí)，除了股票的歷史收益率外，還需要分析各只股票之間的相關(guān)性，計(jì)算相應(yīng)的協(xié)方差矩陣。隨著組合規(guī)模的擴(kuò)大，對(duì)矩陣計(jì)算的要求也相應(yīng)增加，從而會(huì)提高模型的計(jì)算復(fù)雜度。于是在仿真環(huán)節(jié)中，借鑒Teo模型[11]的風(fēng)險(xiǎn)度量方式，并結(jié)合實(shí)際的一些約束條件，建立了如下模型：

Li≤xi≤Ui

(1)

其中，Rit為第i只股票在t時(shí)刻的收益率，E(Rit)表示Rit的期望，T0表示每只股票的觀測(cè)時(shí)限，ri為第i只股票的預(yù)期收益率，μ表示投資組合的預(yù)期收益率，Li和Ui分別表示第i只股票投資占比的下限和上限。

根據(jù)滬深證券市場(chǎng)中的行業(yè)板3塊，選擇了信息技術(shù)和通信設(shè)備制造領(lǐng)域15家上市公司，包括中國(guó)聯(lián)通(600050)、中國(guó)衛(wèi)通(601698)、深信服(300454)等10家在內(nèi)的信息技術(shù)類企業(yè)以及 兆易創(chuàng)新(603986)、士蘭微(600460)、工業(yè)富聯(lián)(601138)等5家通信設(shè)備制造公司。在仿真實(shí)驗(yàn)中，收集了這15家上市公司的股票在241個(gè)交易日內(nèi)的歷史收盤價(jià)格。MQPSO算法的參數(shù)設(shè)定與前面性能測(cè)試中一致，在求解時(shí)選擇粒子總數(shù)為50個(gè)，搜索空間為15維，最大迭代次數(shù)為1 000次，獨(dú)立運(yùn)行取30次后取最優(yōu)解的均值。實(shí)驗(yàn)中不允許股票賣空，Li和Ui分別取0和0.5，T0取30。

通過表2的結(jié)果，可見在不同的預(yù)期收益率下利用MQPSO算法得到了投資組合的最優(yōu)解，15只股票的投資占比能夠清晰地展現(xiàn)出來，投資者可以根據(jù)相應(yīng)的股票投資份額進(jìn)行及時(shí)地投資調(diào)整。隨著預(yù)期收益率的增大，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)值也隨之增加，意味著追求更高回報(bào)率的同時(shí)，需要承擔(dān)更多的投資風(fēng)險(xiǎn)。

表2 不同預(yù)期收益率下的最優(yōu)投資組合

為進(jìn)一步凸顯MQPSO算法在求解投資組合模型I時(shí)的優(yōu)勢(shì)，考慮比較4種具有代表性的群智能優(yōu)化算法：粒子群優(yōu)化算法(PSO)、量子粒子群優(yōu)化算法(QPSO) 、布谷鳥搜索(CS)和蝙蝠算法(BA)。對(duì)比實(shí)驗(yàn)中，預(yù)期收益率取10%，各種算法的種群規(guī)模均為50，搜索空間均為15維，最大迭代次數(shù)均取1 000次，每個(gè)算法分別獨(dú)立運(yùn)行30次，統(tǒng)計(jì)相應(yīng)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、最好值和最差值，具體結(jié)果見表3。

表3 不同算法的優(yōu)化結(jié)果比較

根據(jù)表3中顯示的計(jì)算結(jié)果，可見CS和BA兩種算法在仿真實(shí)驗(yàn)中的表現(xiàn)相對(duì)其他3種粒子群類算法要差些，同時(shí)QPSO算法又優(yōu)于PSO算法。MQPSO算法無論在均值、標(biāo)準(zhǔn)差，還是在最好值和最差值上，都表現(xiàn)得更為出色，在尋優(yōu)結(jié)果的精度和穩(wěn)定性方面比其余4種算法都更有優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié)束語

為挖掘QPSO算法的全局搜索和局部探索能力，增強(qiáng)算法的整體性能，本文提出了一種改進(jìn)的QPSO算法(MQPSO)。在改進(jìn)算法中，首先借鑒遺傳算法中交叉算子的思想，并結(jié)合隨機(jī)擾動(dòng)操作，對(duì)單個(gè)粒子的歷史最優(yōu)位置和全局最優(yōu)位置進(jìn)行重新設(shè)定，以增強(qiáng)算法在迭代后期的收斂性能，同時(shí)維持種群的多樣性；其次，對(duì)算法中的重要參數(shù)收縮-擴(kuò)張因子，進(jìn)行非線性結(jié)構(gòu)調(diào)整，以提高算法的全局收斂速度和精度；隨后，通過8個(gè)測(cè)試函數(shù)，將MQPSO算法與4個(gè)現(xiàn)有的改進(jìn)算法進(jìn)行對(duì)比，分析結(jié)果顯示無論在計(jì)算精度還是在穩(wěn)定性方面，MQPSO算法表現(xiàn)更好；最后，在仿真應(yīng)用上，根據(jù)中國(guó)證券市場(chǎng)中15只股票的歷史數(shù)據(jù)，分別運(yùn)用粒子群優(yōu)化算法、量子粒子群優(yōu)化算法、布谷鳥搜索、蝙蝠算法和MQPSO算法對(duì)一類具有最小最大風(fēng)險(xiǎn)的投資組合優(yōu)化模型進(jìn)行數(shù)值求解，結(jié)果表明MQPSO算法在風(fēng)險(xiǎn)控制和穩(wěn)定性上均優(yōu)于其他4種群智能算法。