帶有l(wèi)ogistic源的三維趨化系統(tǒng)弱解的最終光滑性

姜 永 峰

(電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 成都 611731)

0 引 言

生物學(xué)、物理學(xué)和醫(yī)學(xué)等自然科學(xué)中存在著大量的非線性現(xiàn)象，這些非線性現(xiàn)象在數(shù)學(xué)上可利用非線性偏微分方程組來進(jìn)行模擬和刻畫，特別地，對于生物趨化方程組的研究是當(dāng)前數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一個具有意義與價值的研究方向。其中，趨化性是指細(xì)胞朝著有利于自身生長的環(huán)境移動的一個特征。一般地，如果細(xì)胞朝著化學(xué)信號濃度高的方向移動稱為化學(xué)吸引，反之稱為化學(xué)排斥。對于趨化現(xiàn)象，最早是由Keller和Segel[1]在20世紀(jì)70年代提出的一個開創(chuàng)性的描述趨化性的數(shù)學(xué)模型：

(1)

‖u0‖Lq(Ω)<ε、‖v0‖Lp(Ω)<ε

一般地，由于經(jīng)典的Keller-Segel系統(tǒng)式(1)只考慮了細(xì)胞的趨化性和擴(kuò)散。但是，在實(shí)際的生物學(xué)背景下，大多數(shù)情況下都是需要考慮細(xì)胞的產(chǎn)生和死亡，在數(shù)學(xué)模型上體現(xiàn)出來就是 logistic 增長項(xiàng)的出現(xiàn)，因此便得到如下系統(tǒng)：

這里，κ∈和μ>0分別表示出生率和死亡率和參數(shù)α>1。在2015年，Xiang[6]證明了當(dāng)空間維數(shù)d≤2，參數(shù)α=2時，對于任意小的μ>0。 上述系統(tǒng)存在全局一致有界解。

特別地，對于結(jié)構(gòu)簡單的細(xì)胞也會朝著消耗營養(yǎng)物質(zhì)的方向運(yùn)動，故與上述系統(tǒng)相對應(yīng)的一個典型變體是考慮如下具有信號消耗機(jī)制的趨化模型

(2)

基于以上所得到的結(jié)果，研究了當(dāng)1<α<2時，對于任意充分光滑的初始值，如下一類具有 logistic 增長項(xiàng)的趨化方程組在三維情形時弱解的最終光滑性：

(3)

其中，Ω?R3是一個具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域，給定的非負(fù)初值滿足：

(4)

這里首先給出本文的主要結(jié)果。

定理1 設(shè)Ω?R3是一個具有光滑邊界的有界區(qū)域，那么對于滿足式(4)的任意初始值(u0,v0)，系統(tǒng)式(3)的解(u,v)滿足對所有的T>0和γ∈(0,1)，有

1 準(zhǔn)備工作

為了獲得式(3)的弱解的最終光滑性，基于文獻(xiàn)[14]，對任意的ε∈(0,1)，這里首先考慮如下正則化系統(tǒng)：

(5)

(6)

(7)

一方面，由式(7)可以直接得到

(8)

與

(9)

將式(8)、式(9)代入式(7)，有

故而引理1成立。

引理2 設(shè)對任意的ε>0，存在常數(shù)k>0與C>0,使得

(10)

(11)

證明對任意的ε>0和t>0，將式(6)在0-t上積分，可得

特別地，對任意的t>0，有

(12)

另外，由式(12)可以得到

即引理2成立。

引理3 設(shè)對任意的η>0，存在T>0，使得對所有的t>T時，滿足

證明對式(5)的第二個方程在Ω×(0,t)上積分，可得

由文獻(xiàn)[14]中的引理4.1，可知

(13)

一方面，由Poincaré不等式、H?lder可得

(14)

另外，由Gagliardo-Nirenberg不等式、文獻(xiàn)[14]的引理2.4和引理4.1可知，存在正常數(shù)C2，C3，C4，滿足

(15)

故引理3證畢。

接下來，通過應(yīng)用Sobolev最大正則性的方法，可得uε與vε更高階的正則性估計(jì)。

引理4 設(shè)p∈(1,∞)，則存在常數(shù)C>0，ε0>0，T>0，γ∈(0,1)，使得對任意的t>T，ε∈(0,ε0)，滿足

進(jìn)一步，有

證明該引理的證明可以參考文獻(xiàn)[15]中引理3.13的證明。

引理5 設(shè)p∈(1,∞)，則存在常數(shù)C>0，ε0>0，T>0，γ∈(0,1)，使得對任意的t>T，ε∈(0,ε0)，滿足

進(jìn)一步，有

證明類似地，該引理的證明可以參考文獻(xiàn)[15]中引理3.14的證明。

引理6 設(shè)存在常數(shù)γ∈(0,1)，T0>0和序列(εj)j∈N?(0,1)，使得對任意的t>T0，當(dāng)ε=εj→0時，有

此外，存在正常數(shù)C，使得

證明由引理4和引理5直接可證得引理6.

引理7 設(shè)存在常數(shù)γ∈(0,1)，T>0，使得

證明設(shè)ξ:R→[0,1]是一個光滑單調(diào)的函數(shù)，并且在(-∞,0]上滿足ξ≡0，在(1,∞)上滿足ξ≡1.對任意的t0∈R，記ξt0:=ξ(·,-t0). 則ξv是以下方程的解

最后，結(jié)合ξ的定義，可以得到

同樣地，ξu是以下初邊值問題的解：

于是，引理7證畢。

定理1的證明：由引理7可以直接證得定理1。

2 結(jié)論與討論

生物趨化方程組的研究具有重要的理論價值和極強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義。本文利用能量方法、先驗(yàn)估計(jì)等一系列偏微分方程的理論知識研究了一類具有l(wèi)ogistic源的信號消耗型趨化方程組。證明了結(jié)論: 當(dāng)空間維數(shù)d=3時，參數(shù)α滿足1<α<2時，帶有l(wèi)ogistic源的三維趨化系統(tǒng)的弱解在一定的等待時間后變成經(jīng)典解。關(guān)于此類模型解的適定性的研究，目前已有的結(jié)果都是建立在α≥2或者對初值有小性假設(shè)的前提下。而對于logistic 源為次二次增長形式時的結(jié)論還比較少，仍然有許多問題還值得進(jìn)一步地研究。比如:于維數(shù)d>3的情況，該系統(tǒng)的弱解是否是最終光滑的。同樣地，對帶有多孔介質(zhì)趨化系統(tǒng)的解的最終光滑性也是值得進(jìn)行相應(yīng)研究。

對非線性拋物型方程解的適定性進(jìn)行研究，目前是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一個重要的研究方向。一方面，這些非線性的拋物型方程有著重要的理論價值和極強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義。另一方面，也提出了許多具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問題，對于這些問題的研究將會有助于完善數(shù)學(xué)的理論方法。