基于FCM的大規(guī)模群體決策方法

方 越, 吳 濤,2, 劉 帥, 陳 向

(1.安徽大學 數(shù)學科學學院， 合肥 230601； 2.安徽大學 計算機智能與信號處理教育部重點實驗室， 合肥 230039)

0 引 言

對于經(jīng)典的群體決策問題(GDM)，通常假設只有一小部分決策者參與決策過程。但是隨著技術發(fā)展和社會需求的增加，如網(wǎng)絡社交、網(wǎng)絡課程、電子購物和電子商務等網(wǎng)絡需求的提升，越來越多的人可以參與決策過程。由于決策者的個人差異以及知識和文化背景的不同，使GDM活動變得越來越復雜。這種GDM問題通常被稱為大規(guī)模群體決策(LGDM)問題。

由于LDGM問題的決策者很多，成分復雜，針對決策者的聚類問題，很多學者都進行了深入的研究，Zahir，Liu，Ding等[1-3]都提出了自己的聚類方法。針對可能具有聚類結構的大規(guī)模群體，Zahir[1]提出使用相似性度量將個體分組為自然聚類的算法；Liu等[2]利用“利益群體”與實際決策信息相結合的思想，對區(qū)間值直覺模糊環(huán)境中復雜多屬性大群體決策問題中的決策者進行分類，建立部分二元樹DEA-DA循環(huán)分類模型，實現(xiàn)了多組的分類；Ding等[3]提出一種基于稀疏表示的直觀模糊聚類方法來解決大規(guī)模決策問題。

但是在LGDM問題中，決策者在提供語言評估時往往會有一些猶豫和不確定，對于這種在不平衡猶豫模糊語言環(huán)境下的LGDM問題，以上這些聚類方法都顯得有些力不從心。針對這個情況，Rodriguez等[4]首先提出猶豫模糊語言術語集(HFLTS)，這樣一來，就能更好地在猶豫模糊環(huán)境下描述決策者的決策結果；在此基礎上，針對不平衡猶豫模糊語言環(huán)境下的模糊聚類問題，Zhang等[5]提出語言術語分布評估(LDA)概念，之后他又提出可以將不平衡猶豫模糊語言術語集轉化為LDA算法[6]，這種算法很巧妙地將決策者們不平衡的猶豫模糊語言術語轉化成為統(tǒng)一的、方便識別與讀取的基于LDA的語言術語集，這使得模糊聚類算法在不平衡猶豫模糊語言環(huán)境下LDGM中的應用更加方便、可靠。在此基礎上，提出一種不平衡猶豫模糊語言環(huán)境下基于FCM的大規(guī)模群體決策方法，但是這種方法也存在著一定的缺陷，它沒有計算同一集群內(nèi)決策者的偏好權重。本文進一步利用模糊聚類算法產(chǎn)生的信息，通過使用聚類中心，引入了模糊集群中單個決策者偏好權重的概念，提出一種新的計算決策者偏好權重的方法，實驗結果表明該方法的決策結果更可靠。

1 預備知識

定義1[7]設S={s0,s1,…,sg}表示一個語言術語集，其中si表示S中的第i個語言項，而g+1是基數(shù)，一個語言術語集應該滿足以下條件：

(1) 集合滿足：當i>j時，si>sj；

(2) 否定運算符：當j=g-i時，Neg(si)=sj。

定義2[8]S是一個語言術語集，NS(si)是si的數(shù)值尺度，i=1,2,…,g；S如果滿足以下條件，那么它是一個均勻對稱分布的語言術語集：

(1) 存在唯一的常數(shù)λ>0，滿足NS(si)-NS(sj)=λ(i-j)，i,j=0,1,…,g；

(2) 設SR={s|s∈S,s>s*}，SL={s|s∈S,s

如果S是一個均勻對稱分布的語言術語集，則S被稱為關于數(shù)值尺度NS的平衡語言術語集，一般將S記為SB；否則，S被稱為關于數(shù)值尺度NS的不平衡語言術語集。

定義3[9]設S={s0,s1,…,sg}表示一個不平衡語言術語集，稱定義在S上的一個連續(xù)語言術語有序的有限子集Hs是不平衡的猶豫模糊語言術語集。

2 不平衡猶豫模糊語言環(huán)境下的FCM方法

對于LGDM問題，通常需要基于決策矩陣對決策者進行分類集群，以便同一集群中的決策者彼此相似，不同集群中的決策者彼此有較大差異。聚類的方法有很多，這里使用經(jīng)典的模糊均值聚類(FCM)算法，假設有n個方案A1,A2,…,An，m個屬性且要把p個決策者d1,d2,…,dp分成N個集群。

決策者屬于集群的隸屬度由定義4和定義5計算。

k=0,1,…,p

(1)

定義5[6]Zk,Zr,l和Cr,l的定義與定義4相同，則決策者dk與集群Cr,l的隸屬度如式(2)所示：

k=1,2，…,p；r=1,2，…,N

(2)

其中，b是簇的模糊度，即b值越大，簇就越模糊。在這里，b是區(qū)間[1.5,2.5]中的一個常數(shù)。

基于隸屬度，可以通過定義6進一步計算更新的集群中心的決策矩陣。

(3)

t=0,1,…,g；i=0,1,…,n

j=1,2,…,m；r=1,2,…,N

最后，兩次迭代之間的隸屬度變化[6]如式(4)所示：

(4)

在這里，μ(dk,Cr,l)和μ(dk,Cr,l+1)分別表示dk與Cr,l，dk與Cr,l+1的隸屬度。可以事先設定一個閾值ε>0，如果Varl>ε，則迭代繼續(xù)；否則，迭代終止，dk將被分配給隸屬度最大的集群。

聚類過程：

第一步：首先確定閾值ε>0，讓迭代數(shù)l為0，并隨機生成第l次迭代的集群中心(由一些LDA決策矩陣表示)；

第二步：通過式(1)(2)計算隸屬度；

第三步：通過式(3)更新中心決策矩陣；

第四步：令l=l+1，并更新隸屬度；

第五步：計算式(4)，如果Varl>ε，則返回第二步，繼續(xù)迭代；否則，迭代終止，dk將被分配給隸集群Cr，使得：μ(dk,Cr,l)=maxu∈{1,2,…,N}{μ(dk,Cu,l)}。

3 一種新的大規(guī)模群決策方法

3.1 決策問題描述

假設有方案集{A1,A2,…,An}，屬性集{U1,U2,…,Um}，現(xiàn)在邀請來自不同領域，有著不同文化背景的決策者d1,d2,…,dp，使用平衡語言術語集S={s0,s1,…,sg}，就不同屬性對方案進行決策，選出最優(yōu)方案。

3.2 群決策中同一個集群決策者偏好權重度量方法

在文獻[6]中，作者認為同一個集群的決策者是“平等”的，他給予同一集群的決策者相同的權重，但這其實不太妥當，因為即便是同一集群的決策者，他們的決策結果也存在差異，甚至這種差異有時很大，這些決策者之所以被分到同一個集群僅僅是因為在算法看來，其決策結果相對于其他人來說比較接近。所以，為了提高決策結果的可靠性，應該更進一步，對同一個集群內(nèi)的決策者賦予偏好權重，而定義偏好權重，需要一個標準。

聚類中心就是一個很好的標準，一個集群的聚類中心可以在一定程度上展示這個集群的平均特征，因此，與聚類中心越接近，與所屬集群之間的隸屬度越大，樣本點的可靠性越好，越能代表所在的集群，所以相應的偏好權重也理應越大；與聚類中心越遠，與所屬集群之間的隸屬度越小，則樣本點的偏好權重就越小。

(5)

(6)

其中，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m；r=1,2,…,N。

3.3 群決策中不同集群差異權重的度量方法

經(jīng)過之前的計算，現(xiàn)在已經(jīng)得到了不同集群的決策矩陣Z1,Z2,…,ZN，第r(r=1,2,…,N)個集群中決策者比例如公式(7)所示，第r個集群的模糊指數(shù)如式(8)所示：

(7)

r=1,2,…,N

(8)

由式(7)，可以得到第r個集群的歸一化指數(shù)[6](r=1,2,…,N)，如式(9)所示：

(9)

再由式(7)、式(9)，定義第r個集群標準化指數(shù)如式(10)所示(r=1,2,…,N)：

PAr=ηpropr+(1-η)Accr

(10)

其中，η∈[0,1]，是一個常數(shù)。

定義集群間的差異權重為v=(v1,v2,…,vN)，其中，vr如式(11)所示：

r=1,2,…,N

(11)

在這里，Q(x)=xλ,0≤λ≤1，σ是1,2,…,N的一種按照PAσ(r)≥PA(r+1),?r=1,2,…,N-1規(guī)則排序的排列。

3.4 群決策中屬性權重的度量方法

與決策者群內(nèi)權重和決策者群間權重類似，為了使決策結果更可靠，還需要計算不同屬性間的權重，屬性權重的計算方法如下所示：

定義8[6]假設有屬性集{U1,U2,…,Um}，定義屬性間的權重如式(12)所示：

j=1,2,…,m

(12)

(13)

3.5 方案的優(yōu)勢度

定義9 假設有方案集{A1,A2,…,An}，則Ai比Aj的優(yōu)勢程度如式(14)所示：

pij=

(14)

i,j=1,2,…,n

(15)

方案Ai的負流量[10]如式(16)所示：

(16)

再由式(15)、式(16)，方案Ai的凈流量[10]公式如式(17)所示：

φ(Ai)=φ+(Ai)-φ-(Ai)，i=1,2,…,n

(17)

3.6 決策流程

步驟1 邀請決策者就所有屬性針對備選方案提供其決策矩陣；

步驟2 將所有決策者的決策矩陣轉換為LDA決策矩陣；

步驟3 使用模糊聚類算法，將決策者分為N個集群；

步驟4 使用式(5)計算每個集群內(nèi)決策者的偏好矩陣，并根據(jù)式(6)計算每個集群的決策矩陣；

步驟5 根據(jù)式(7)—式(11)計算每個集群的權重，并使用PA-IOWA算子將集群的決策矩陣合成一個總決策矩陣；

步驟6 由式(12)計算出每個屬性的權重；

步驟7 根據(jù)式(13)計算出每個方案的集體評估；

步驟8 由式(14)—式(17)計算出每個方案的凈流量，以此得到最佳方案。

4 實例運用與分析

本文中的數(shù)據(jù)均來源于文獻[11]。假設中國某市政府打算在公共交通系統(tǒng)中新增一條地鐵線路，經(jīng)過相關專家的商議后確定了4個備選方案A1,A2,A3,A4，以供進一步選擇，現(xiàn)在，有來自不同領域，不同學術背景的20位決策者d1,d2,d3,…,d20，他們將會就4個不同的屬性U1(社會影響)，U2(環(huán)境影響)，U3(資金預算)，U4(技術可行性)，對4個備選方案進行選擇。

首先，按照文獻[6]將決策者們的決策矩陣轉化為基于LDA的決策矩陣Z1,Z2,…,Z20，在這里，使用的是一個平衡語言術語集S={s0,s1,…,s9}，然后使用FCM算法對其進行聚類，并由式(5)計算每個決策者在集群中的比重，結果如下：

然后，由式(6)，分別計算3個集群的決策矩陣，并且假設η=0.5，則3個集群的標準化精度指標分別為PA1=0.291 6,PA2=0.366 7,PA3=0.341 7。

設Q(x)=x1/2，則集群之間的權重為v=(0.158 3,0.605 6,0.236 1)，根據(jù)PA-IOWA算子，可以計算出總體的決策矩陣，如表1所示。

表1 總體決策矩陣

表2 每個方案的集體評估

由式(12)，可以得到屬性權重為ω=(0.263 3,0.380 4,0.205 8,0.150 5)，再由式(13)，計算出每個方案的集體評估，如表2所示。

再由式(14)，可以計算得到優(yōu)勢度矩陣：

由式(15)—式(17)，易知φ(A1)=-0.082 9，φ(A2)=0.035 6，φ(A3)=-0.024 6，φ(A4)=0.071 9，則有A4?A2?A3?A1，這與文獻[6]得到的結果有些不同。在文獻[6]中，方案A2強于方案A4，但由于本文考慮了同一集群中單個決策者的偏好權重這一因素，導致決策結果不同。

5 總 結

聚類中心是聚類算法的重要參數(shù)，聚類中心可以提供很多信息，但是人們在利用聚類進行決策的過程中，往往會忽略聚類中心的重要性。本文在文獻[6]決策的基礎上進行了改進，對聚類完成后同一個集群的決策者賦予偏好權重，最大限度地利用聚類所帶來的信息，相對于文獻[6]，多考慮了同一集群內(nèi)決策者偏好權重這一因素，這使得決策結果更加可靠。