核脈沖信號(hào)沖激成形的導(dǎo)數(shù)求解方法

汪雪元 周建斌 何劍鋒 王 明 湯 彬 洪 旭 劉 易

1（成都理工大學(xué)核技術(shù)與自動(dòng)化工程學(xué)院 成都 610059）

2（東華理工大學(xué)核資源與環(huán)境國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南昌 330013）

核脈沖信號(hào)沖激成形常用來獲取入射粒子的數(shù)量信息和時(shí)間信息，廣泛應(yīng)用于核輻射的強(qiáng)度測(cè)量、高分辨能譜分析、高計(jì)數(shù)率能譜校正以及符合反符合測(cè)量。核脈沖信號(hào)的數(shù)字成形是數(shù)字核儀器研制的研究熱點(diǎn)［1-4］。核脈沖信號(hào)的數(shù)字沖激成形是數(shù)字成形中的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)［5］。

文獻(xiàn)［6］基于Z變換給出了一個(gè)核脈沖信號(hào)沖激成形算法，用于高計(jì)數(shù)率場(chǎng)合的核脈沖信號(hào)計(jì)數(shù)率測(cè)量。文獻(xiàn)［7］基于CR 微分成形電路原理給出了一個(gè)核脈沖信號(hào)沖激成形算法，用于X 射線光譜測(cè)量中的計(jì)數(shù)率測(cè)量。文獻(xiàn)［8］中用標(biāo)準(zhǔn)負(fù)指數(shù)函數(shù)描述核脈沖信號(hào)，然后對(duì)信號(hào)進(jìn)行反褶積運(yùn)算，得到?jīng)_激響應(yīng)函數(shù)。文獻(xiàn)［9］給出了一個(gè)基于單指數(shù)輸出信號(hào)模型和一階導(dǎo)數(shù)的輻射測(cè)量系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)。文獻(xiàn)［6-9］中給出的核探測(cè)系統(tǒng)輸出信號(hào)模型比較簡(jiǎn)單，有時(shí)候并不能精確描述要成形的核脈沖信號(hào)?；赯變換的沖激成形算法原理簡(jiǎn)單，但在探測(cè)系統(tǒng)輸出信號(hào)模型較復(fù)雜時(shí)，基于Z變換得到的沖激響應(yīng)數(shù)字解變得復(fù)雜，且得到的數(shù)字解往往是遞歸表達(dá)式，這導(dǎo)致計(jì)算量較大，影響脈沖信號(hào)的成形速度。基于反褶積運(yùn)算的沖激成形算法，在探測(cè)系統(tǒng)輸出信號(hào)模型較復(fù)雜時(shí)，同樣存在計(jì)算量較大的問題。

本文基于單位階躍函數(shù)和單位沖激函數(shù)的微分積分關(guān)系，給出了一個(gè)核脈沖數(shù)字信號(hào)沖激成形的時(shí)域求解方法。應(yīng)用新方法對(duì)模擬核信號(hào)和實(shí)際采樣核信號(hào)進(jìn)行沖激成形，并與基于Z變換的傳統(tǒng)沖激成形方法進(jìn)行了比較。

1 基于導(dǎo)數(shù)的核脈沖信號(hào)沖激成形方法

1.1 核輻射探測(cè)器系統(tǒng)輸出信號(hào)模型

核輻射探測(cè)器系統(tǒng)輸出信號(hào)模型可以用指數(shù)函數(shù)近似描述。常用的有單指數(shù)函數(shù)模型［10-12］和雙指數(shù)函數(shù)模型［6-7］，數(shù)學(xué)描述分別如式（1）和（2）所示。

式中：t為時(shí)間變量，ns；A為常數(shù)；τ1和τ2為時(shí)間常數(shù)，且有A＞0和τ1＞τ2＞0。

文獻(xiàn)［13］給出了一個(gè)半導(dǎo)體探測(cè)器輸出信號(hào)的三指數(shù)函數(shù)模型。本文通過對(duì)核信號(hào)形狀進(jìn)行分析，給出了一個(gè)更為通用的輸出信號(hào)三指數(shù)函數(shù)模型，如式（3）所示。

式中：τ1、τ2和τ3為時(shí)間常數(shù)，且有τ1＞τ2＞τ3＞0；A、B、C為值大于0的常數(shù)。且由合成信號(hào)初始值y3（0）=0，可知A-B+C=0。當(dāng)C=0 時(shí)，有B=A，式（3）與式（2）等價(jià)，即式（2）是式（3）的特例。由式（2）對(duì)核信號(hào)進(jìn)行擬合，得到的解集｛＜A，τ1，τ2＞｝是式（3）的解集的子集。從數(shù)學(xué)理論上可知，式（3）能夠比式（2）更精確地對(duì)核信號(hào)進(jìn)行描述。

同理，可以給出輸出信號(hào)含任意指數(shù)項(xiàng)的通用函數(shù)模型，如式（4）所示。

式中：N≥1。對(duì)于任意i，有τi＞0，Ai＞0。且對(duì)任意j＞i，有τi＞τj。當(dāng)N≥2時(shí)，有

1.2 核脈沖信號(hào)沖激響應(yīng)函數(shù)表達(dá)式

基于單位階躍函數(shù)和單位沖激函數(shù)的微分積分關(guān)系，可以得到指數(shù)信號(hào)的沖激響應(yīng)函數(shù)表達(dá)式。下面給出單指數(shù)輸出信號(hào)沖激成形的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程。式（1）表示的單指數(shù)輸出信號(hào)模型可以表示為：

式中：ε（t）為單位階躍函數(shù)。對(duì)式（5）的兩端求導(dǎo)，得：

式中：δ（t）為單位沖激函數(shù)。移項(xiàng)，得：

式（8）顯示，單指數(shù)輸出信號(hào)模型的沖激響應(yīng)函數(shù)可以表示為輸入信號(hào)y1（t）和其一階導(dǎo)數(shù)的線性組合。

通過上述過程可以得到雙指數(shù)、三指數(shù)及任意指數(shù)項(xiàng)輸出信號(hào)模型的沖激響應(yīng)函數(shù)表達(dá)式，分別如式（9）、（10）和（11）所示。

1.3 核脈沖信號(hào)沖激響應(yīng)數(shù)字遞推解

令Y［n］為探測(cè)器輸出信號(hào)，P［n］為要得到的沖激信號(hào)。則式（8）、（9）和（10）的數(shù)字遞推解分別如式（12）、（13）和（14）所示。

類推，也可以得到任意指數(shù)項(xiàng)輸出信號(hào)模型沖激響應(yīng)的數(shù)字遞推解。從式（12）、（13）和（14）可以看到，基于導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的沖激成形算法的數(shù)字遞推解非遞歸，且只含時(shí)間常數(shù)。

1.4 數(shù)字遞推解中時(shí)間常數(shù)的確定

沖激響應(yīng)表達(dá)式（8）、（9）和（10）為連續(xù)函數(shù)，當(dāng)其轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的離散數(shù)字遞推解時(shí)，時(shí)間常數(shù)會(huì)發(fā)生微小畸變。當(dāng)決定信號(hào)上升沿寬度的時(shí)間常數(shù)值較大時(shí)，微小畸變對(duì)信號(hào)沖激成形的影響較小。而當(dāng)決定信號(hào)上升沿寬度的時(shí)間常數(shù)值較小時(shí)，微小畸變會(huì)對(duì)信號(hào)沖激成形產(chǎn)生較大影響，從而導(dǎo)致成形后的沖激信號(hào)產(chǎn)生下沖［7］。為了消除沖激信號(hào)的下沖，本文基于RC積分成形電路原理，建立了一種確定核信號(hào)沖激響應(yīng)數(shù)字遞推解中時(shí)間常數(shù)的方法。

RC電路是一種低通濾波電路，常用于核信號(hào)的積分成形。一階RC積分成形電路和沖激信號(hào)的RC積分成形信號(hào)如圖1（a）和（b）所示。

圖1 RC積分成形電路和RC積分成形信號(hào)(a)一階RC積分成形電路，(b)沖激信號(hào)RC積分成形（Amp=10 000,K1=100,K2=50,K3=20）Fig.1 RC integral shaping circuit and RC integral shaping signal(a)First-order RC integral shaping circuit,(b)RC integral shaping of impulse signal(Amp=10 000,K1=100,K2=50,K3=20)

圖1中，Vi為輸入信號(hào)，Vo為輸出信號(hào)。取足夠小的時(shí)間間隔，可以將Vi數(shù)字化為X［n］，Vo數(shù)字化為Z［n］，dt為采樣時(shí)間間隔，n=1，2，3，…。通過基爾霍夫電流定律可以得到圖1（a）所示RC電路的微分方程，進(jìn)而得到一階RC積分電路的遞推數(shù)字解，如下所示［14］：

令K為100，應(yīng)用式（15），對(duì)幅值為10 000 沖激信號(hào)進(jìn)行積分成形，得到的一階RC積分成形信號(hào)。令K為50，應(yīng)用式（15），對(duì)一階RC積分成形信號(hào)進(jìn)行積分成形，得到的二階RC積分成形信號(hào)。令K為20，應(yīng)用式（15），對(duì)二階RC 積分成形信號(hào)進(jìn)行積分成形，得到的三階RC積分成形信號(hào)，結(jié)果如圖1（b）所示。

可以采用最小二乘曲線、遺傳算法等方法，用一階、二階或三階RC積分成形信號(hào)擬合目標(biāo)核信號(hào)，求得數(shù)字解的時(shí)間常數(shù)。

2 沖激成形實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

2.1 實(shí)驗(yàn)條件與實(shí)驗(yàn)流程

實(shí)驗(yàn)中使用的硅漂移探測(cè)器（Silicon Drift Detector，SDD）為Amptek 設(shè)計(jì)的FAST-SDD 探測(cè)器（XR-100 SDD）。探測(cè)器的能量分辨率為125 eV，峰值為5.89 keV。使用銀（Ag）為靶材的X射線管照射錳（Mn）樣品，X 射線管的電流設(shè)置為8 μA，而電壓保持在35 kV。用真空泵抽真空，真空度約為0.09 mPa。數(shù)字系統(tǒng)中采用的模數(shù)轉(zhuǎn)換器為AD9235，轉(zhuǎn)換速率為20 MHz，分辨率為12位。

硅漂移探測(cè)器輸出信號(hào)經(jīng)線性放大器放大，然后由模數(shù)轉(zhuǎn)換器進(jìn)行采樣。從模數(shù)轉(zhuǎn)換器采集的原始脈沖數(shù)據(jù)，用于實(shí)驗(yàn)中的擬合與沖激成形。本文中的擬合與沖激成形，均為離線處理。實(shí)驗(yàn)中所用電腦配備了16 GB 內(nèi)存和Intel CPU 內(nèi)核（i5-6200U）。

核脈沖信號(hào)沖激成形的實(shí)驗(yàn)流程如下：

1）根據(jù)信號(hào)形狀特征、系統(tǒng)精度要求，以及成形速度要求，選擇沖激脈沖的一階、二階、三階或更高階RC積分信號(hào)對(duì)核信號(hào)進(jìn)行擬合。本文中采用遺傳算法求解，得到N階RC積分電路遞推數(shù)字解中常數(shù)Ki，其中i=1，2，…，N。

2）令時(shí)間常數(shù)τi=Ki，其中i=1，2，…，N。

3）應(yīng)用核脈沖信號(hào)沖激成形數(shù)字解，如式（12）、（13）或（14），對(duì)核脈沖信號(hào)進(jìn)行沖激成形。

2.2 模擬信號(hào)的沖激成形實(shí)驗(yàn)

令式（2）中A=10 000，τ1=37，τ2=2，得到上升沿較短的雙指數(shù)模擬信號(hào)。對(duì)沖激信號(hào)進(jìn)行二階RC積分成形，得到二階RC積分信號(hào)。用二階RC積分信號(hào)與雙指數(shù)模擬信號(hào)擬合，擬合結(jié)果如圖2（a）所示。得到的二階RC 積分時(shí)間常數(shù)K1和K2分別為37 和1.55。令τ1=37，τ2=1.55，由式（13）得到雙指數(shù)模擬信號(hào)的沖激信號(hào)，如圖2（b）所示。

圖2 雙指數(shù)模擬信號(hào)的擬合與沖激成形(a)雙指數(shù)模擬信號(hào)的擬合，(b)雙指數(shù)模擬信號(hào)的沖激成形Fig.2 Fitting and impulse response shaping(IRS)of dual-exponential simulated signal(a)Fitting of dual-exponential simulated signal,(b)IRS of dual-exponential simulated signal

從圖2（b）可以看到，成形后的沖激脈沖寬度為1，且基本沒有下沖。這表明本文提出的基于導(dǎo)數(shù)的核脈沖信號(hào)沖激成形方法在理論上是可行的。

2.3 實(shí)際采樣信號(hào)的沖激成形實(shí)驗(yàn)

用沖激信號(hào)的二階RC積分信號(hào)對(duì)SDD實(shí)際采樣信號(hào)進(jìn)行擬合，得到時(shí)間常數(shù)τ1、τ2。將τ1、τ2代入式（13），得到實(shí)際采樣信號(hào)的沖激信號(hào)。結(jié)果如圖3所示。

從圖3 可以看出，用本文提出方法對(duì)實(shí)際采樣信號(hào)進(jìn)行沖激成形所得到的沖激信號(hào)沒有拖尾，且?guī)缀鯖]有下沖。這表明本文提出的基于導(dǎo)數(shù)的核脈沖信號(hào)沖激成形方法可以用于實(shí)際核脈沖信號(hào)的沖激成形。

圖3 SDD實(shí)際采樣信號(hào)的擬合與沖激成形(a)實(shí)際采樣信號(hào)的擬合與沖激成形，(b)高計(jì)數(shù)率場(chǎng)合實(shí)際采樣信號(hào)的沖激成形Fig.3 Fitting and IRS of acquired SDD signals(a)Fitting and IRS of acquired SDD signals,(b)IRS of acquired SDD signals in high-counting rate environments

2.4 實(shí)際采樣信號(hào)沖激成形結(jié)果線性分析

在相同實(shí)驗(yàn)條件下，用SDD半導(dǎo)體探測(cè)器對(duì)標(biāo)準(zhǔn)樣品錳（Mn）、鋅（Zn）、鋼和銅合金進(jìn)行測(cè)量，用模數(shù)轉(zhuǎn)換器進(jìn)行采樣，獲得100 s連續(xù)采樣數(shù)據(jù)。應(yīng)用本文提出方法，對(duì)實(shí)際采樣信號(hào)進(jìn)行沖激成形。由沖激脈沖幅度得到標(biāo)準(zhǔn)樣品的能譜數(shù)據(jù)。對(duì)標(biāo)準(zhǔn)樣品能譜進(jìn)行尋峰，得到各個(gè)標(biāo)準(zhǔn)樣品中所含元素特征峰信息。各個(gè)標(biāo)準(zhǔn)樣品中主要元素K系特征X射線能量和對(duì)應(yīng)特征峰道址如表1所示。

表1 標(biāo)準(zhǔn)樣品中特征峰道址及能量Table 1 Channel and energy of characteristic peaks for standard samples

用x表示道址，y表示能量，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)樣品能譜特征峰尋峰結(jié)果進(jìn)行線性擬合，擬合結(jié)果如圖4所示。

圖4中，R2的值為0.999 98，表明標(biāo)準(zhǔn)樣品特征峰尋峰結(jié)果向量幾乎完全相關(guān)。這表明本文提出的沖激成形方法對(duì)能譜沒有顯著影響，即沖激成形后的脈沖幅度與原脈沖幅度是線性相關(guān)的。

圖4 標(biāo)準(zhǔn)樣品能譜尋峰結(jié)果線性擬合Fig.4 Linear fitting of peak finding results for energy spectrum of standard samples

3 沖激成形方法的比較與分析

在核信號(hào)處理過程中，基于Z變換的核脈沖信號(hào)沖激成形是一種傳統(tǒng)的數(shù)字沖激成形方法?；赯變換的沖激成形算法原理簡(jiǎn)單，且成形效果良好。應(yīng)用基于Z變換的傳統(tǒng)方法和本文提出的新方法對(duì)模擬信號(hào)和實(shí)際采樣信號(hào)進(jìn)行沖激成形，然后對(duì)成形結(jié)果進(jìn)行比較與分析。

3.1 基于Z變換的沖激成形方法

設(shè)輸入信號(hào)Vi（t）如式（1）所示，Vo（t）為輸出信號(hào)，得到系統(tǒng)函數(shù)如下：

當(dāng)Vi（t）如式（2）時(shí)，可以得到系統(tǒng)沖激響應(yīng)的時(shí)域數(shù)字解如下［6］：

當(dāng)Vi（t）如式（3）時(shí)，得到的系統(tǒng)時(shí)域數(shù)字解如下：

應(yīng)用基于單指數(shù)輸出信號(hào)模型得到的數(shù)字解，即式（17），對(duì)實(shí)測(cè)信號(hào)進(jìn)行沖激成形時(shí)，沖激信號(hào)拖尾嚴(yán)重。而從式（19）可以看到，基于三指數(shù)輸出信號(hào)模型得到的數(shù)字解中參數(shù)較多，使得獲取參數(shù)值的擬合過程較為復(fù)雜。且式（19）的右式存在遞歸項(xiàng)P［n-2］。遞歸項(xiàng)的存在使得計(jì)算過程中的誤差會(huì)累積傳遞，并影響最終結(jié)果。遞歸項(xiàng)的存在也限制了測(cè)量信號(hào)的高速流水線處理。實(shí)驗(yàn)中，式（19）對(duì)實(shí)際采樣信號(hào)的沖激成形不夠理想，沖激信號(hào)存在下沖、且噪聲較大。在實(shí)際應(yīng)用中，基于雙指數(shù)輸出信號(hào)模型的Z變換沖激成形算法，即式（18），常用于核信號(hào)的沖激成形。本研究中，對(duì)高計(jì)數(shù)率環(huán)境下的核脈沖信號(hào)，應(yīng)用雙指數(shù)Z變換沖激成形算法及本文提出的基于導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的沖激成形算法進(jìn)行成形，并對(duì)成形結(jié)果進(jìn)行比較。

3.2 重疊模擬信號(hào)沖激成形比較

令（A，τ1，τ2，loc）的值為（10 000，37，2，10）和（8 000，37，2，12）。其中l(wèi)oc為信號(hào)起始位置。由式（2）得到重疊雙指數(shù)模擬信號(hào)。運(yùn)用基于Z變換的傳統(tǒng)方法和本文提出的新方法，對(duì)模擬重疊信號(hào)進(jìn)行沖激成形，結(jié)果如圖5所示。

圖5 重疊雙指數(shù)模擬信號(hào)的沖激成形(a)基于Z變換的沖激成形，(b)基于導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的沖激成形Fig.5 IRS of overlapping dual-exponential simulated signal(a)IRS based on Z-transform,(b)IRS based on derivative operations

從圖5 可以看出，本文提出的沖激成形方法與基于Z變換的沖激成形方法，都能夠分辨出嚴(yán)重重疊信號(hào)。但從圖5 還可以看到，由導(dǎo)數(shù)沖激成形得到的原始沖激脈沖比由Z變換沖激成形得到的原始沖激脈沖幅值更大。

3.3 實(shí)際采樣信號(hào)沖激成形比較

用SDD 半導(dǎo)體探測(cè)器對(duì)錳（Mn）標(biāo)準(zhǔn)樣品進(jìn)行測(cè)量，用模數(shù)轉(zhuǎn)換器進(jìn)行采樣，獲得100 ms 的連續(xù)采樣數(shù)據(jù)。運(yùn)用Z變換沖激成形、二階導(dǎo)數(shù)沖激成形、三階導(dǎo)數(shù)沖激成形算法，即式（18）、（13）和（14），對(duì)獲得的連續(xù)采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行沖激成形，然后統(tǒng)計(jì)有效沖激脈沖數(shù)目。本文使用基于斜率、峰高兩個(gè)閾值的尋峰算法確定有效沖激脈沖數(shù)目。基于Z變換的沖激成形方法獲得了30 039個(gè)有效沖激脈沖。二階導(dǎo)數(shù)沖激成形方法，獲得30 070個(gè)有效沖激脈沖，與基于Z變換的沖激成形方法效果基本一致；三階導(dǎo)數(shù)沖激成形方法，獲得30 150個(gè)有效沖激脈沖，總計(jì)數(shù)增加了0.369%。重疊嚴(yán)重的核信號(hào)沖激成形的局部效果如圖6所示。

圖6 SDD實(shí)際采樣信號(hào)沖激成形(a)基于Z變換法的沖激成形，(b)基于二階導(dǎo)數(shù)的沖激成形，(c)基于三階導(dǎo)數(shù)的沖激成形Fig.6 IRS of acquired SDD signals(a)IRS based on Z-transform,(b)IRS based on second derivative,(c)IRS based on third derivative

圖5中，橫軸坐標(biāo)20~30之間的沖激信號(hào)由兩個(gè)沖激脈沖重疊而成。可以看到，二階導(dǎo)數(shù)沖激成形與基于Z變換的沖激成形，得到的重疊沖激脈沖分離度基本一致。而三階導(dǎo)數(shù)沖激成形所得到的沖激脈沖峰形更明顯，重疊的沖激脈沖分離度更高。從圖5還可以看出，導(dǎo)數(shù)法相比Z變換法，沖激成形得到的信號(hào)噪聲變大了。導(dǎo)數(shù)階數(shù)越高，噪聲越大，但重疊信號(hào)的分離度也越高。

實(shí)際采樣信號(hào)的沖激成形實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，Z變換沖激成形與導(dǎo)數(shù)沖激成形的成形效果基本一致。但本文提出的導(dǎo)數(shù)沖激成形方法，在嚴(yán)重重疊核脈沖信號(hào)的成形能力上優(yōu)于基于Z變換的傳統(tǒng)沖激成形方法。

4 結(jié)語

本文基于沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)的微分積分關(guān)系，給出了核信號(hào)沖激響應(yīng)的離散數(shù)字遞推解。并基于RC 積分成形電路原理，給出了一個(gè)求沖激響應(yīng)數(shù)字遞推解中時(shí)間常數(shù)的方法。對(duì)模擬核信號(hào)和SDD 實(shí)際采樣核信號(hào)進(jìn)行沖激成形。從實(shí)際采樣核脈沖信號(hào)的數(shù)據(jù)處理結(jié)果可以看出，基于文中構(gòu)建的新算法可以得到穩(wěn)定的核脈沖信號(hào)沖激成形結(jié)果，沖激脈沖的寬度在1~3 個(gè)采樣點(diǎn)之間，反沖很小，拖尾幾乎沒有。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，與基于Z變換的傳統(tǒng)沖激成型算法相比，新算法在重疊核信號(hào)的識(shí)別方面，分辨能力更強(qiáng)。對(duì)采樣時(shí)間為100 ms的標(biāo)準(zhǔn)樣品錳（Mn）的連續(xù)采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行沖激成形。相較于基于Z變換的傳統(tǒng)沖激成形方法，基于三階導(dǎo)數(shù)的沖激成形得到的有效沖激脈沖總計(jì)數(shù)增加了0.369%。文中給出的核脈沖信號(hào)沖激成形數(shù)字遞推解，形式簡(jiǎn)單，非遞歸，只含時(shí)間常數(shù)。新方法適合不同精度要求和成形速度要求的應(yīng)用場(chǎng)合，尤其適合高計(jì)數(shù)率場(chǎng)合的沖激成形。新方法對(duì)于建立高分辨能譜測(cè)量系統(tǒng)，符合反符合測(cè)量系統(tǒng)以及高計(jì)數(shù)率校正系統(tǒng)都有一定的意義。

作者貢獻(xiàn)聲明汪雪元、周建斌、王明：材料準(zhǔn)備、數(shù)據(jù)收集和分析；汪雪元：論文初稿撰寫；所有作者都對(duì)本研究的概念和設(shè)計(jì)做出了貢獻(xiàn)、對(duì)最終稿的前幾個(gè)版本進(jìn)行了評(píng)論、都閱讀并同意了最終稿。