搭思維支架 構(gòu)數(shù)學(xué)概念

李鑫 文斌

【摘 要】 數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要構(gòu)成要素.科學(xué)合理的數(shù)學(xué)概念生成過(guò)程是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象最好時(shí)機(jī)之一.基于有效教學(xué)的過(guò)程屬性，以思維型課堂教學(xué)理論為指導(dǎo)，構(gòu)建 以“引發(fā)沖突-生成需要-自主建構(gòu)-形成概念-類化規(guī)則”為核心的數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式，旨在幫助學(xué)生順利構(gòu)建數(shù)學(xué)概念，提升數(shù)學(xué)抽象能力.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)抽象;支架式教學(xué);思維階梯

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要構(gòu)成要素，學(xué)生的抽象思維發(fā)展影響其理性思維發(fā)展與邏輯推理能力水平.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂，以下簡(jiǎn)稱新課標(biāo)）指出“數(shù)學(xué)抽象是從數(shù)量或圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表征……數(shù)學(xué)抽象主要表現(xiàn)之一為獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則[1].”這既是對(duì)數(shù)學(xué)抽象之重要性的肯定，又為數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力指明方向.然而，高中數(shù)學(xué)繁、雜、難的特征使得數(shù)學(xué)課堂過(guò)于追求高分?jǐn)?shù)結(jié)果的落實(shí)，忽視了學(xué)生抽象能力的發(fā)展，特別是學(xué)生數(shù)學(xué)概念的生成過(guò)程被虛化.而數(shù)學(xué)概念是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的最好時(shí)機(jī)之一.因此，探索如何提升數(shù)學(xué)概念教學(xué)質(zhì)量，踐行注重概念生成過(guò)程和學(xué)生抽象能力發(fā)展的教學(xué)道路，是數(shù)學(xué)教育中值得關(guān)注的問(wèn)題.

1 有效教學(xué)的過(guò)程性闡釋

杜威在其教育無(wú)目的論中提到“教育的過(guò)程，在它自身以外沒(méi)有目的，它就是自己的目的”，這是一種實(shí)在的教育過(guò)程論[2].也就是說(shuō)，離開(kāi)了教育過(guò)程，就無(wú)法存在真實(shí)意義上的教育目的，過(guò)程是教育活動(dòng)的存在方式和展開(kāi)形式，故過(guò)程性是教育的基本屬性.教學(xué)作為教育的主要手段，其是教師的教和學(xué)生的學(xué)所構(gòu)成的人類特有的人才培養(yǎng)活動(dòng)，故教學(xué)也是一種人為的過(guò)程性存在[3].要知道教學(xué)結(jié)果“是什么”，或要實(shí)現(xiàn)“是什么”的目標(biāo)，就必須歷經(jīng)結(jié)果是“如何生成的”的過(guò)程.

數(shù)學(xué)概念是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的思維形式，是構(gòu)成數(shù)學(xué)知識(shí)體系的“細(xì)胞”，是建立數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)概念的生成過(guò)程是學(xué)生調(diào)動(dòng)抽象思維，概括事物共同屬性、抽象本質(zhì)特征的過(guò)程，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的契機(jī).從結(jié)果上看，數(shù)學(xué)概念雖是對(duì)本質(zhì)特征“是什么”的闡釋，但這一結(jié)果應(yīng)由生成過(guò)程獲得.因此，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力的發(fā)展只能在教學(xué)過(guò)程中實(shí)現(xiàn)，而非教學(xué)結(jié)果，教學(xué)過(guò)程比教學(xué)結(jié)果更具有價(jià)值.

2 重過(guò)程的數(shù)學(xué)概念教學(xué)探索

思維型課堂教學(xué)理論中指出思維活動(dòng)是課堂教學(xué)的核心活動(dòng)，并提出“認(rèn)知沖突”、“自主建構(gòu)”、“自我監(jiān)控”、“應(yīng)用遷移”四個(gè)基本原理[4].該理論是經(jīng)過(guò)各學(xué)科教學(xué)實(shí)踐證明了的能夠有效提升學(xué)生思維能力的課堂教學(xué)理論.因此，基于思維型課堂教學(xué)理論，提出以“引發(fā)沖突-生成需要-自主建構(gòu)-形成概念-類化規(guī)則”為核心的支架式概念教學(xué)，如圖1所示.

引發(fā)沖突是支架式概念教學(xué)的起始階段.依據(jù)思維型課堂教學(xué)理論，引發(fā)認(rèn)知沖突是指學(xué)生在認(rèn)知發(fā)展過(guò)程中，因原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與現(xiàn)實(shí)情境不相符而在心理上所產(chǎn)生的沖突或矛盾[5].這是一種內(nèi)部矛盾或內(nèi)部動(dòng)機(jī)，促使學(xué)生進(jìn)行積極思維和主動(dòng)思考，是學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力發(fā)展的動(dòng)力.因此，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，為學(xué)生搭建“引發(fā)沖突”的支架，創(chuàng)設(shè)能夠產(chǎn)生學(xué)生認(rèn)知沖突或與已有經(jīng)驗(yàn)和現(xiàn)實(shí)生活相矛盾的情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新概念、參與思維活動(dòng)的欲望.

恩格斯曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)像所有其他的科學(xué)一樣，起因于人們的需要.”新課標(biāo)將數(shù)學(xué)文化融入到課程內(nèi)容中，提出數(shù)學(xué)文化包含“數(shù)學(xué)的思想、精神、語(yǔ)言、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展…… ”等多方面的內(nèi)涵.因此，在引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突的基礎(chǔ)之上，為學(xué)生搭建“生成需要”的思維支架，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)真理歷程的思考.一個(gè)數(shù)學(xué)概念不會(huì)憑空產(chǎn)生，其一定是來(lái)源于現(xiàn)實(shí)社會(huì)生活的思考與需要，當(dāng)現(xiàn)實(shí)生活與未來(lái)應(yīng)然生活之間產(chǎn)生不滿足感、欠缺感，于是需要便產(chǎn)生了.在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，以數(shù)學(xué)概念的起源激發(fā)學(xué)生對(duì)概念生成的需要，引導(dǎo)學(xué)生像科學(xué)家一樣思考，是數(shù)學(xué)概念習(xí)得的關(guān)鍵，也是對(duì)新課標(biāo)對(duì)學(xué)生提出的要求的落實(shí).

自主建構(gòu)是支架式概念教學(xué)的核心階段，也是學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力得以鍛煉的關(guān)鍵階段.建構(gòu)主義理論認(rèn)為學(xué)習(xí)是學(xué)生從已有知識(shí)結(jié)構(gòu)出發(fā)，進(jìn)行自主建構(gòu)知識(shí)體系的過(guò)程;知識(shí)建構(gòu)與思維建構(gòu)同步進(jìn)行，且只有知識(shí)的建構(gòu)和思維的建構(gòu)協(xié)同發(fā)展，知識(shí)才會(huì)被接受、理解、內(nèi)化為能力.在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，為學(xué)生搭建“自主建構(gòu)”的支架，目的是讓學(xué)生的思維從形象思維向抽象思維過(guò)渡，引導(dǎo)其概括感性材料的共同屬性、抽象出所學(xué)概念的本質(zhì)特征.基于數(shù)學(xué)概念自身的特殊性，即大都有抽象的文字符號(hào)構(gòu)成，因此，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)將符號(hào)轉(zhuǎn)化為圖像等具體的易于理解的思維形式至關(guān)重要.

形成概念是學(xué)生完成對(duì)感性材料的抽象過(guò)程，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，形成對(duì)先前矛盾或沖突的正確解釋，并用準(zhǔn)確簡(jiǎn)練的文字或符號(hào)化語(yǔ)言表達(dá).在此階段，學(xué)生已經(jīng)通過(guò)分析、抽象、概括、綜合等思維品質(zhì)經(jīng)歷如何得出這個(gè)數(shù)學(xué)概念的過(guò)程，進(jìn)而得出這個(gè)概念是什么的結(jié)果.除此之外，教師也應(yīng)該在此階段引導(dǎo)學(xué)生回顧探究概念的過(guò)程，回答三個(gè)問(wèn)題：（1）為什么要引入這一概念;（2）怎么樣生成這一概念;（3）概念在學(xué)科結(jié)構(gòu)中的地位或作用是什么.這是引導(dǎo)學(xué)生反省總結(jié)得出這一概念的思想方法，將內(nèi)隱的思維過(guò)程外顯化，同時(shí)為概念的遷移應(yīng)用打下思維基礎(chǔ).

類化規(guī)則是支架式概念教學(xué)的最后階段.“類化”依據(jù)心理學(xué)生的解釋為：“概括當(dāng)前問(wèn)題與原有知識(shí)的共同本質(zhì)特征，將所要解決的問(wèn)題納入到原有的同類知識(shí)結(jié)構(gòu)中去，將問(wèn)題加以解決.”在其他學(xué)科教學(xué)中，類化通常是在概念得出之前，使學(xué)生易于對(duì)新概念的理解，將新概念與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的舊概念進(jìn)行類化.而在支架式概念教學(xué)過(guò)程中，最后為學(xué)生搭建“類化規(guī)則”階梯，其原因是數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)運(yùn)算與應(yīng)用的基礎(chǔ)，在學(xué)生習(xí)得概念之后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念進(jìn)行運(yùn)算規(guī)律或命題等進(jìn)行類化.

3 支架式概念教學(xué)的實(shí)踐——以《復(fù)數(shù)的概念》為例

支架式概念教學(xué)細(xì)化了學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)概念的過(guò)程，將有效教學(xué)的理念由重結(jié)果轉(zhuǎn)向重過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的發(fā)展，可實(shí)現(xiàn)教育的過(guò)程價(jià)值.復(fù)數(shù)是一類重要的運(yùn)算對(duì)象，相較于實(shí)數(shù)是一個(gè)較抽象的概念，讓學(xué)生理解引入復(fù)數(shù)的必要性、了解數(shù)系的擴(kuò)充進(jìn)而掌握復(fù)數(shù)的概念需要經(jīng)歷思維的加工過(guò)程.因此，基于支架式概念教學(xué)，以《復(fù)數(shù)的概念》為例展開(kāi)教學(xué)實(shí)踐.

【引發(fā)沖突】

師 先讓學(xué)生求解方程1：x2=1;后求解方程2：x2=-1.

生 對(duì)于方程1可以輕易說(shuō)出答案，而對(duì)于方程2的求解“舉棋不定”，有的人認(rèn)為無(wú)解，有的人認(rèn)為答案是……

師 繼續(xù)拋出問(wèn)題：兩根之和為10，兩根之積為40，那么這兩個(gè)數(shù)、分別是多少呢？

生 順利列出方程組，但因根的判別式而無(wú)法求解.

設(shè)計(jì)意圖 巧設(shè)兩個(gè)問(wèn)題，超出學(xué)生的認(rèn)知范圍，但又在“最近發(fā)展區(qū)”之內(nèi).其中，第一個(gè)問(wèn)題是根據(jù)數(shù)學(xué)家歐若拉在其《代數(shù)基礎(chǔ)》中提到的以負(fù)數(shù)的平方根引入虛數(shù)概念;第二個(gè)問(wèn)題是根據(jù)五百多年前意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹的“分十”問(wèn)題設(shè)置[6].重現(xiàn)經(jīng)典數(shù)學(xué)史問(wèn)題，產(chǎn)生思想碰撞，激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，使學(xué)生帶著疑問(wèn)與目標(biāo)學(xué)習(xí).

【生成需要】

師 從求解方程的視角，板書(shū)幫助學(xué)生回顧認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的數(shù)域的擴(kuò)張過(guò)程，如圖2所示.

生 回顧數(shù)域擴(kuò)充的過(guò)程.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)回顧數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程，使學(xué)生生成進(jìn)一步擴(kuò)充數(shù)系、引入新的數(shù)學(xué)概念的需要，同時(shí)，從求解方程的視角，運(yùn)用類比思想，清晰地呈現(xiàn)了數(shù)系的擴(kuò)充規(guī)則.這一階段是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象能力的契機(jī).

【自主建構(gòu)】

師 ?呈現(xiàn)本節(jié)課目標(biāo)，即解決兩個(gè)“？”的問(wèn)題.

生 引入的新數(shù)，使得這個(gè)數(shù)的平方和是1.

師 ?提出虛數(shù)單位，是數(shù)學(xué)家歐拉引入并使為的解.

生 習(xí)得新數(shù).（解決第一個(gè)“？”）

師 引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比思想，將實(shí)數(shù)系的運(yùn)算方法與虛數(shù)單位相結(jié)合.并完成實(shí)數(shù)與虛數(shù)的組合問(wèn)題：（1）實(shí)數(shù)：-1、0、2、5 ;（2）新數(shù).

生 自由組合出多個(gè)數(shù)：-1+2、-1+5、5-、5+2、2、0……

師 引導(dǎo)學(xué)生尋找規(guī)律，將組合的數(shù)寫成統(tǒng)一的數(shù)學(xué)表達(dá)式.

生 小組討論，各組展示答案.

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生對(duì)本節(jié)課的目標(biāo)已經(jīng)非常清晰明朗.通過(guò)引入新數(shù)解決無(wú)解的問(wèn)題，再通過(guò)學(xué)生對(duì)實(shí)數(shù)與虛數(shù)單位的任意組合，為學(xué)生創(chuàng)造積極思考、主動(dòng)探索的空間.對(duì)自由組合數(shù)進(jìn)行形式的統(tǒng)一概括，為建構(gòu)“復(fù)數(shù)”概念提供支撐，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)歸納與數(shù)學(xué)抽象能力.

【形成概念】

生 確定組合數(shù)的統(tǒng)一形式：.

師 對(duì)同學(xué)的回答進(jìn)行補(bǔ)充與規(guī)范，引出復(fù)數(shù)的概念：形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)通常用字母表示.

生 閱讀教材，自主探究復(fù)數(shù)的虛部和實(shí)部，形成概念結(jié)構(gòu)圖，如圖3所示.

師 ?向?qū)W生提出三個(gè)問(wèn)題：（1）復(fù)數(shù)是什么？（2）為什么引入復(fù)數(shù)？（3）如何引入復(fù)數(shù)的？

生 ?小組討論交流三個(gè)問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖 對(duì)學(xué)生的探究結(jié)果予以肯定的同時(shí)，進(jìn)行補(bǔ)充，形成最終復(fù)數(shù)的概念.將新的復(fù)數(shù)概念納入到原有認(rèn)知體系中，產(chǎn)生有意義聯(lián)系使得學(xué)生的所學(xué)概念不再是孤立的，形成完整的知識(shí)體系.最后引導(dǎo)學(xué)生回顧概念引入的作用與生成過(guò)程.

【類化規(guī)則】

師 ?引出下一節(jié)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行填寫復(fù)數(shù)運(yùn)算方法和運(yùn)算規(guī)律的表格，如表1所示.

生 根據(jù)類比規(guī)律填寫表格.

師 答案將在下一節(jié)課揭曉，鼓勵(lì)學(xué)生做好預(yù)習(xí).

設(shè)計(jì)意圖 自然引出下節(jié)課對(duì)復(fù)數(shù)運(yùn)算方法與運(yùn)算規(guī)律的探究，既給學(xué)生預(yù)留足夠的時(shí)間對(duì)新概念進(jìn)行遷移應(yīng)用，又對(duì)下一節(jié)內(nèi)容留足懸念.從原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，再一次鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的類比與方法的遷移.

4 總結(jié)

教學(xué)既是一門科學(xué)，又是一門藝術(shù).支架式概念教學(xué)依照學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，將概念教學(xué)細(xì)節(jié)化、過(guò)程化，以搭建支架式的方式授之學(xué)生以“漁”.從慢節(jié)奏的概念引入，引發(fā)認(rèn)知沖突、生成對(duì)概念學(xué)習(xí)的需要，到以學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)為腳手架，進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu)概念，最終習(xí)得概念.同時(shí)，支架式概念教學(xué)以數(shù)學(xué)概念“是什么”為目標(biāo)，以數(shù)學(xué)概念“如何生成”為過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升.

【基金項(xiàng)目：1.2020年黑龍江省高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目《高校數(shù)學(xué)課程教學(xué)與“思政教育”有機(jī)融合研究與實(shí)踐》（SJGY20200694）;2.2020年佳木斯大學(xué)教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目《高校數(shù)學(xué)課程教學(xué)與“思政教育”有機(jī)融合研究與實(shí)踐（2020JY1-04）】

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]郭元祥.論教育的過(guò)程屬性和過(guò)程價(jià)值——生成性思維視域中的教育過(guò)程觀[J].教育研究，2005（09）：3-8.

[3]羅祖兵.有效教學(xué)的過(guò)程性闡釋[J].教育研究，2017，38（09）：99-105.

[4]林崇德，胡衛(wèi)平.思維型課堂教學(xué)的理論與實(shí)踐[J].北京師范大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版），2010（01）：29-36.

[5] 狄邁，汪曉勤.美英早期代數(shù)教科書(shū)中的復(fù)數(shù)引入方式[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2021（05）：1-6.